Факультатив для одаренных детей

«Факультатив для одаренных детей «Логарифмы»

На протяжении последних лет визитной карточкой гимназии № 6 являются показатели достижений учащихся в предметных олимпиадах всех уровней: городских, областных и республиканских, а также высокий уровень подготовки учащихся гимназических классов, что позволяет добиваться 100% поступления в престижные вузы: МГУ, Институт нефти им. Губкина, НГУ, НГТУ. Такие высокие результаты стали возможны благодаря разработке и внедрению комплексной программы «Одаренные дети».

При разработке и реализации программы «Одаренные дети» мы исходили из следующих понятий: одаренность – это своеобразное сочетание способностей человека, развивающихся в соответствующей деятельности и позволяющих достичь высоких результатов в одной или нескольких сферах. Исходя из теоретических посылок, мы реализуем различные виды деятельности учащихся с целью выявления, стимулирования и развития их способностей.

Хотелось бы остановиться на факультативных занятиях по математике.

Известно, что вступительные экзамены в вузы имеют значительные различия в содержании проверяемого учебного материала. Это естественно, потому что в разных вузах в процессе обучения требуется разный объем знаний по математике. Трудность вступительных экзаменов для подавляющего большинства состоит в следующем. Программа 10-11 классов очень сильно отличается от программы вступительных экзаменов. В школе в течение двух последних лет изучают элементы математического анализа, который школьники очень плохо осваивают, а этот материал не входит в программу вступительных экзаменов. Материал изучается при полном отсутствии понятия предела. Поэтому школьники вынуждены зазубривать все о производных, касательных, экстремумах, интегралах. Учителя вынуждены много времени уделять технике дифференцирования. В связи с этим времени на освоение тригонометрии, показательных и, особенно, логарифмических функций остается в обрез. Задач на эти темы решается мало, а уж повышенной трудности тем более. Вот этим мы и занимаемся на занятиях факультатива.

Мы рассмотрим свойства логарифмов, которые необходимы для решения задач, но отсутствуют в большинстве учебников.

Неравенство вида [pic] .

Рассмотрим неравенство [pic] , где a – заданное положительное число, отличное от 1. ОДЗ: [pic] .

Если [pic] , то [pic] тогда и только тогда, когда [pic] , т.е. [pic] .

Если [pic] , то [pic] тогда и только тогда, когда [pic] , т.е. опять [pic] .

И, наоборот, если [pic] , то

при [pic] имеем [pic] , а тогда [pic] ;

при [pic] имеем [pic] , тогда [pic] .

Следовательно, имеет место условие равносильности

[pic]

Можно записать полное условие равносильности

[pic]

Условие равносильности верно и для нестрогого неравенства

[pic]

Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения, даже если неравенство простое, состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Кроме того, нет необходимости писать фразы о той или другой монотонности.

Правило. Знак [pic] совпадает со знаком произведения [pic] в ОДЗ.

Пример1. [pic]

Пример 2. Решим неравенство [pic]

ОДЗ:

[pic]

Решим неравенство методом интервалов.

Ответ: [pic]

Для сравнения можно решить это неравенство обычным способом.

Рассмотрим функцию [pic]

ОДЗ:

[pic]

Нули знаменателя: [pic]

[pic]

Неравенство вида [pic] , где [pic] .

Рассмотрим неравенство [pic] , где [pic] .

ОДЗ определяется системой [pic]

- Если [pic] , то [pic] тогда и только тогда, когда [pic] , т.е. [pic] .

- Если [pic] , то [pic] тогда и только тогда, когда [pic] , т.е. опять [pic] .

И, наоборот. Если [pic] , то

при [pic] имеем [pic] , а тогда [pic] .

при [pic] имеем [pic] , а тогда опять [pic] .

Мы получили условие равносильности

[pic]

Можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ.

[pic]

Отсюда следует

Правило. Знак разности [pic] совпадает со знаком произведения [pic] в ОДЗ.

При решении простейших логарифмических неравенств, конечно, можно не использовать это правило, однако, оно дает возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует больше вычислений.

Например, теперь можно очень просто решить неравенства вида

[pic] .

Условие равносильности верно и для нестрогого неравенства

[pic]

Более сложные неравенства

Рассмотрим неравенство [pic] , где [pic] . ОДЗ выражений, входящих в неравенство, определяется системой [pic] .

Решение неравенства определяется знаками множителей. Воспользуемся тем, что в ОДЗ знак разности по правилам совпадает.

[pic]

Замечательно то, что мы освобождаемся от всех логарифмов за один шаг!

Пример. Решим неравенство: [pic]

Решение:

Найдем ОДЗ:

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Воспользуемся правилом в ОДЗ:

[pic]

Теперь с учетом ОДЗ получаем ответ.

Ответ: [pic] .

Решим неравенство обычным способом.

[pic]

ОДЗ: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Заменим равносильным неравенством:

[pic]

[pic] или [pic]

[pic]

Ответ: [pic] .

Рассмотренные примеры наглядно показывают об экономии времени при решении логарифмических неравенств любой сложности. Поэтому выбор темы «Логарифмы» не случаен. Практически нет ни одной вступительной работы по математике, которая не содержала задания по решению логарифмического уравнения или неравенства, либо их систем. Этим и определяется содержание факультатива.