Олимпиадные задания по математике
9 класс.
9.1.Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?
9.2. Сколько цифр содержит число ?
9.3. Сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел?
9. 4. Можно ли купюру в 50 рублей разменять 15 монетами достоинством 1 и 5 рублей?
9.5. В четырехугольнике три тупых угла. Докажите, что из двух его диагоналей большей является та, которая проведена из вершины острого угла.
9 класс. Решение.
9.1.Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый?
9.1. Ответ: 39 рублей
Вместе первый и второй мальчики купили пенал,2 ластика и карандаш, заплатив 52рубля за всю покупку. Так как третий мальчик заплатил 50 рублей за пенал, карандаш и две тетради, то ластик дороже тетради на 1 рубль. Поскольку пенал и ластик стоят 40 рублей, то пенал и тетрадь будут стоить 39 рублей.
9.2. Сколько цифр содержит число ?
9.2. Ответ: 13 цифр
=()==1 250 000 000 000.
9.3. Сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел?
9.3. Ответ: 9+10 +11 + 12 +13 + 14 +15 +16 =100 или
18 + 19+ 20 +21 +22 =100
9. 4. Можно ли купюру в 50 рублей разменять 15 монетами достоинством 1 и 5 рублей?
9. 4. Ответ: Нет, так как 15 нечетных слагаемых дадут в сумме нечетное число, а число 50 четное.
9.5. В четырехугольнике три тупых угла. Докажите, что из двух его диагоналей большей является та, которая проведена из вершины острого угла.
9.5. Ответ: На диагонали m, выходящей из вершины острого угла, строим как на диаметре, круг. Две вершины, не лежащие на этом диаметре, являются вершинами тупых углов и лежат внутри круга. Диагональ, соединяющая эти вершины, меньше диаметра, т.е.диагонали m.
