Методическая разработка по алгебре 7 класс Система алгоритмов решения основных задач за курс 7 класса

Алгоритмы алгебра 7 класс

составила учитель математики ГБОУ гимназии №1925 Антонова Л.В.

Оглавление

1. Линейное уравнение с одной переменной

2. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

3. Системы линейных уравнений с 2-мя переменными.

4. Решение системы линейных уравнений с 2-мя переменными методом подстановки.

5. Решение системы линейных уравнений с 2-мя переменными методом алгебраического решения.

6. Графическое решение системы уравнений с 2-мя переменными.

7. Разложение на множители. Способы разложения на множители:

• Вынесение общего множителя за скобки.

• Способ группировки.

• Разложение на множители с помощью ФСУ.

8. Справочный материал

1. Линейнoe уравнение с одной переменной.

1.Определение

Уравнение вида ax+b=0, где a и b - некоторые числа, причём a ≠ 0 , называется линейным уравнением с одной переменной.

2.Решить линейное уравнение с одной переменной – это значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

3.Определение

Корень уравнения – это значения переменных, обращающих уравнение в верное числовое равенство.

4.Графиком линейного уравнения с одной переменной является прямая (множество точек координатной плоскости , координаты которых являются решениями данного уравнения).

5.Алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной

-2х+10+3х-12=4х-1

2. Собираем неизвестные слагаемые в одну часть, а известные в другую:

Переписываем слагаемые, сохраняя знак;

Переносим слагаемые, меняя на знак противоположный.

-2х+3х-4х=1-10+12

3. Упрощаем левую и правую части уравнения;

Уравнение должно иметь вид ах=b

-3х=3

4)Находим корень уравнения, делением правой части на множитель перед х

х= b:a

х=3: (-3)

х=-1

5)Ответ: …

Ответ:-1

Примечание:

1.Если уравнение имеет вид 0х=0, то х –любое число;

2. Если уравнение имеет вид 0х=а, где а – число а≠0, тогда корней нет;

Задания для тренировки

1)0.5x=15;

x=36;

3)x=49;

4) 6x-12=4x-8;

5) 5y-8=2y-5;

6) (2x-5)-(3x-7)=4;

7) (4x-7)-(2+3x)=-10;

8) 1.2x-0.8=0.4;

9) 2(x-1.5)+X=6;

10) 5(x-1.2)-2=3x

11) - 1x=0

12) 10-9(a - )=7a

13) 2(x-0.5)-(x+0.3)=-1.3

14) 0.4(3x-5)+0.7=0.6(x-1)

2.Линейное уравнение с двумя переменными

и его график.

1.Определение

Уравнение вида ax+by+c=0, где x,y- переменные, a,b,c –некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными

2. Решением уравнения с двумя переменными называют всякую пару чисел (x,y), удовлетворяющая данному уравнению, т.е. обращающая данное уравнение в верное числовое равенство.

3. Графиком уравнения с двумя переменными ax+by+c=0 является прямая (множество точек на плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения).

Построение графика уравнения с двумя переменными:

Придать переменной x конкретное значение x=x1 и подставить его в уравнение, найти соответствующие значение y=y1;

График – прямая; составим таблицу

a)x=1; 5∙1+2y+3=0

2y=-8

y=-4

б)x=-1; 5∙(-1)+2y+3=0

2y=2

3)Построить на координатной плоскости x0y точки (x1;y1) и (x2;y2);

Провести через эти точки прямую – она и будет графиком уравнения

[pic]

Примечание.

Для составления таблицы можно выразить одну из переменных через другую (чаще y через x), а затем перейти к пункту 2.

3.Системы линейных уравнений с двумя переменными. Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.

a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2; где a,b,c- некоторые числа, x,y-переменные

Решить систему линейных уравнений с двумя переменными - это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Решением системы линейных уравнений называют пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений.

Решением уравнения ах+bу+c=о называют всякую пару чисел (х;у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает уравнение в верное числовое равенство.

Методы решения системы линейных уравнений с 2-мя переменными:

1. Метод подстановки;

2. Метод алгебраического сложения;

3. Графический метод.

3.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ

a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2;

4x + 3y=6,

2x + y= 4;

1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую (из которого проще).

2x + y= 4 │ : 2

y = 4-2x

2. Подставляем выраженную переменную в другое уравнение системы. Решаем полученное уравнение, находим одну из переменных.

4x + 3(4 – 2x) = 6

4x +12 – 6x = 6

-2x = 6 - 12

-2x= -6

x= - 6 │:(- 2)

x= 3

3. Подставляем найденное значение переменной в выражение для другой переменной и вычисляем её.

у=4 – 2 ∙3 = 4 – 6 = -2

4. Возвращаемся к системе.

х=3,

у=5= -2.

5. Ответ (х; у)

Ответ: (3; - 2)

4.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ

a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2;

2) Путем домножения одного из уравнений (или обоих), добиваемся перед одной из переменных в уравнениях системы противоположных коэффициентов.

3)Почленно складываем левые и правые части уравнений системы.

4)Находим значение одной из переменных.

5)Подставляем найденное значение переменной в любое уравнение системы, находим значение второй переменной.

6)Ответ: (x;y)

y+3x=1,

2x-5y=-22;

3х+у=1, |∙5

2х-5у=-22;

15х+5у=5

2х-5у=-2

(15x+2x)+(5y + (-5y))= 5+(-22)

17x= -17

x=17 : (-17)

x= -1

x= -1,

y+3 ∙ (-1)=1;

x= -1,

y-3=1;

Ответ:(-1;4)

Пример.

Решить систему уравнений методом алгебраического сложения

x– 5 = 3y,

3x + 2y =4;

x – 3y =5,│∙(-3)

3x + 2y =4;

-3x + 9y= -15,

3x + 2y= 4 ;

11y = -11 │:11

y = -1

y= -1,

x – 5 = 3y ;

y = -1

x = 3∙ (-1) + 5;

y= -1,

x= 2;

Ответ: (2; -1)

5.Методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2;

2)В одной системе координат построить графики уравнений системы

а) a1x+b1y=c1

b) a2x+b2y=c2

Графики- прямые, для построения составляем таблицы из двух (трех) точек.

.

3)Находим координаты точки пересечения графиков или убеждаемся, что их нет.

4. Ответ: (x;y)

1)

х+у=-5,

3х-у=-7;

2) В одной системе координат построить графики уравнений:

а) х+у=-5

у=-5-x график-прямая

x|0|-5

y|-5|0

б) 3х-у=-7

у=3х+7 график-прямая

х|0|2

у|7|13

[pic]

Ответ: (-3;-2)

Примечание. Если координаты точки пересечения приближенные,

то в ответ пишем x… ; y…

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

Разложить на множители значит – представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.

Способы разложения:

1. Вынесение общего множителя за скобки ;

2. Способ группировки ;

3. Формулы сокращенного умножения;

4. Комбинация способов 1-3.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ ВЫНЕСЕНИЕМ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

2. 5a⁴ -5a³ + 15a⁵ = 5a³(a-1+3a²)=

= 5a³(3a² + a - 1)

2. Остатки в скобках получаем путем деления каждого одночлена данного многочлена

(если одночлен выносится весь, то в скобках остается 1)

Примечание:

В роли общего множителя может быть многочлен в виде одинаковой скобки.

1. 15x(a +2b)-8(a+2b)=(a+2b)(15x-8)

2. a(b-c)+c(c-b)=a(b-c)-c(b-c)=(b-c)(a-c)

Запомнить:

a+b=b+a

a-b+-(b-a)

6.РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ

Сгруппировать слагаемые в скобки. Если перед скобкой знак плюс, то слагаемые в скобках сохраняют знак, а если минус – меняют на противоположный.

2a² – 6a – ab + 3b = (2a² – 6a) – (ab-3b) =

2.

Из каждой скобки вынесем общий множитель

(группировка успешна, если после вынесения получается одинаковые скобки).

= 2a(a-3)-b(a-3)=

3.

Выносим за скобки общий множитель (скобку).

=(a-3)(2a-b).

Примечание:

Если в заданном многочлене есть различные скобки, то их надо раскрыть и выполнить новую группировку.

Запомнить:

a-b=-(b-a)

(a-b)²=(b-a)²

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

1.Разность квадратов

a² – b² = (a-b)(a+b)

а) 4-=(2-x)(2+x)

б) 25-1=(5m-1)(5m+1)

в) -=(y-(1+y)(y+(1+y))=

(y-1-y)(y+1+y)=-1(2y+1)

-16=(t-6-4t)(t-6+4t)=

(-3t-6)(5t-6)=(3t+6)(6-5t)

2.Квадрат суммы

(a-b)²= a² + 2ab + b²

а) =(

б)4+12a+9=

в)1++2b=

г)-2n-1=-(+2n+1)=

3.Квадрат разности

(a-b)²= a² + 2ab + b²

а) =(

б)=

в)+=

г)10x-25-=-(-10x+25)=

4.Сумма кубов

a³+b³=(a+b)(a² –ab+b²)

а) =)

б)+64==(2c+1+4)∙

∙(-4(2c+1)+16)=

=(2c-3)(+4c+1-8c-4+16)=(2c-3)(

5.Разность кубов

a³-b³=(a-b)(a² +ab+b²)

a) 64-=-=(4-x)(16+4x+

б) -=(3)(

Степень. Свойства степеней

Определения

Определение 1. n-ой степенью числа а, где n=2,3,4,5,… называется произведение n одинаковых множителей , каждый из которых равен а.

аⁿ = а ∙ а ∙ а∙ … ∙а ,

где аⁿ – степень, а – основание степени, n – показатель степени

Определение 2. а¹ = а

Определение 3. а⁰ = 1

aⁿ∙a^k=a^n+k

(xy)³ ∙ (x-y)² = (x-y)⁵

2.При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а показатели вычитаются

aⁿ:a^k=a^n-k , где n ›k

=

=

3.При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются

(aⁿ)^m = a^nm

=

=

4.При умножении степеней с одинаковыми показателями основания перемножаются, а показатель остается тем же

а^пbⁿ = (ab)ⁿ

∙

5.При делении степеней с одинаковыми показателями основания делятся, а показатель остается тем же

aⁿ:bⁿ = (a:b)ⁿ

=

6.Чтобы произведение возвести в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень

7. Чтобы дробь возвести в степень, надо числитель и знаменатель возвести в эту степень

= =

Справочный материал.

1. Таблица квадратов.

[pic]

2. Таблица основных степеней.

[pic]

3.

[pic]