Урок на тему Биквадратные уравнения

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: Изучить и закрепить способ решения квадратных и биквадратных уравнений,учить составлять алгоритм решения задания по образцу вспомнить и закрепить прямую и обратную теорему Виета, ее применение для нахождения и проверки корней квадратного уравнения,развивать умения раб...

«Ум человеческий только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил.»
Л.Н. Толстой.

Тип урока: изучение новых знаний.

Цели урока:

  • познакомить учащихся с новым видом уравнения с одной переменной;

  • изучить и закрепить способ решения биквадратных уравнений;

  • продолжать работу по развитию речи учащихся;

  • учить составлять алгоритм решения задания по образцу;

  • развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания.

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

II. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы: “ Квадратные уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с новым видом уравнения, приводимого к квадратному, поэтому повторим изученное, вспомнив основные определения, формулы и теоремы.Проведем экскурс в тему. Задача отвечающего ученика у доски, донести до слушателей логичный рассказ по изученным вопросам темы, задача остальных учащихся внимательно слушать и дополнить рассказ.
Ученик: (у доски рассказывает о «квадратных» уравнениях).
Перед учащимися демонстрируются формулы, рассказывается об истории вопроса, напоминается прямая и обратная теорема Виета, ее применение для нахождения и проверки корней квадратного уравнения.
На доске помещена тематическая газета. Ученик сопровождает свой рассказ с опорой на готовый материал. 
Учитель: Дополнения (к классу)...
Вопросы к учащимся:

  • Устно решите уравнения, назовите корни этих уравнений, если они есть: 
    (Демонстрирует карточки с условиями уравнений).

[pic]

Учитель оценивает устную работу учащихся на уроке. Акцентирует внимание учащихся на том, что они должны уметь решать неполные и полные квадратные уравнения на “ отлично” для успешного усвоения новой темы.

III. Мотивация обучения. (3 мин, кроссворды лежат на партах у всех учащихся)

Учитель: Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, который научимся решать на уроке. Работаем по цепочке. Учащиеся читают вопрос вслух по цепочке, допускаются хоровые ответы. Записывает ответ учащийся I варианта, учащиеся II варианта - читают вопрос вслух.
Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “ биквадратные”. 
Учитель: Вам предстоит изучить эту тему самостоятельно с опорой на учебник и учебный модуль. Время на изучение темы отводится один урок. Цели и задачи по теме вы прочитаете в учебном модуле.
Запишем тему урока в тетрадях. ( Учитель пишет тему на доске, учащиеся в тетрадях).

IV. Самостоятельное изучение новой темы по модульной программе.

Учитель: Приступайте к изучению новой темы по учебному модулю.

  1. УЭ -0 - 1 мин.

  2. УЭ- 1 - 4 мин.

  3. Защита составленного алгоритма решения биквадратного уравнения.
    (3 мин коллективная работа)

Учитель (после сигнала учащихся о готовности к работе) во фронтальной беседе с учащимися проговаривают определениебиквадратного уравнения, составленный алгоритм решения нового вида уравнения.
Затем, сверяют составленный самостоятельно «алгоритм», с алгоритмом записан ном заранее на срытой части доски. Еще раз читают его по пунктам. Идет вторичное осмысление алгоритма.
Учитель: Проверьте составленный алгоритм. 
Кто сможет решить сам биквадратное уравнение по этому алгоритму?
Ученик решает у доски, комментируя свои действия по алгоритму. 
Закрепление действий учащихся по алгоритму. Показ образца решения.

  • Задача учителя: дать образец записи решения нового упражнения через ученика.

  • Задача ученика: используя алгоритм по шагам дойти до конца, решив новое упражнение.

Остальные учащиеся работают в тетрадях.
Учитель: (классу после решения уравнения)
Обратите внимание на форму записи на доске нового типа уравнения. 
Есть ли затруднения при его решении?

V. Формирование навыков решения биквадратного уравнения.

Учитель: Учимся применять полученные знания. Выполните следующий учебный элемент. Работайте парами. УЭ-2- 15 мин.
Учащиеся работают самостоятельно над решением биквадратных уравнений по вариантам, решая по 3 уравнения. Примеры уравнений подобраны так, чтобы охватить разные случаи решения. В учебном элементе 2 перед учащимися стоят задачи:

  1. Применять полученные знания по алгоритму;

  2. Провести взаимоконтроль с соседним вариантом;

  3. Заполнить таблицу по результатам решенных уравнений из двух вариантов;

  4. Сделать вывод о числе решения биквадратных уравнений;

  5. Провести исследование по новой теме.

Во время самостоятельной работы учитель помогает в случае необходимости учащемуся индивидуально, контролирует ход работы, оценивает отдельных учащихся за работу на уроке по новой теме.
По мере решения уравнений, после проверки учителем работы ученика, ученики записывают результат, заполняя таблицу. 15 минут класс работает самостоятельно.

VI. Взаимопроверка задания.

Результаты работы постепенно появляются в таблице на доске и на партах учащихся.
Учитель: Заполните таблицу. Обсудите полученные данные в парах. Выполните УЭ -3 (6 мин). 
Подготовьтесь для обобщения проведенного исследования.
Учитель: Подведем итоги самостоятельной работы над новыми уравнениями. Поговорим о числе решений биквадратных уравнений.
Ученики: (анализируют данные таблицы) - фронтальный метод.

VII. Итог урока.

Учитель: Оцените, достигли ли вы намеченных целей и задач урока? (УЭ -0)
Ученики читают п. 1-3, отвечая на вопросы.
Учитель:

  1. Какие же уравнения называются биквадратными? (Определение)

  2. Алгоритм решения биквадратного уравнения?

  3. От чего зависит число решений биквадратного уравнения?

VIII. Домашнее задания.

Запишем д/з. Стр. 123-124, № 468 ( 2,4), 469 (2,4). Дополнительно 474*(2)

Учитель: Домашние упражнения аналогичны классным, кроме одного, № 474*(2).
Это упражнение для тех ребят, кто хочет углубить свои знания по изученной теме, работает над своим образованием.
Мы разберем приемы решения подобных упражнений на следующем уроке. 
Сегодня на уроке выполнены все задачи. В оставшееся время - выполняйте УЭ – 4. 
УЭ – 4 дан для тех учащихся, кто быстро выполняет задания в классе, легко понимает и применяет алгоритм решения.

Оцените свою работу на уроке в листе самоконтроля

Устные ответы

на уроке

УЭ-1

алгоритм

УЭ-2

решение уравнений

УЭ-3

выводы

УЭ-4

дополн. упр-е

Итоговая

оценка

1.

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

…

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичный лист контроля на столе у учителя, где по ходу урока он работает, оценивая учащихся.

Модульная программа по теме: “Биквадратные уравнения».
(раздаточный материал каждому ученику для работы на уроке)

Интегрируемая цель:

  1. Познакомиться с новым видом уравнения с одной переменной.

  2. Учиться составлять алгоритм решения заданий по готовому образцу.

  3. Научиться приему решения биквадратного уравнения.

  4. Освоение данного модуля будет способствовать развитию вашего логического мышления, умений работать самостоятельно с учебной литературой.

У Э - О (установочный) - 1 мин.
В процессе работы над УЭ - 1, УЭ - 2 вы должны:

  1. Выучить определение биквадратного уравнения;

  2. Научиться решать биквадратные уравнения, используя составленный вами алгоритм.

У Э - 1 - 5 мин.
Цели: изучив УЭ - 1 , вы должны

  1. Познакомиться с новым видом уравнения с одной переменной.

  2. Составить алгоритм решения биквадратного уравнения по готовому образцу в учебнике.

  3. Уметь объяснять решение уравнения, используя учебник.

Работайте с учебником стр. 123., пример 1.

Задание 1.

а) Прочитайте определение биквадратного уравнения.
б) Запишите определение в тетрадь.
в) Расскажите определение друг другу.
г) Существенно ли замечание, что а не равно нулю?

Задание 2.

а) Разберите решенное уравнение в учебнике. Устно составьте алгоритм решения этого уравнения.
б) Работайте парами. Обсудите составленный алгоритм друг с другом.
в) Подготовьтесь к защите составленного алгоритма у доски.

Дайте учителю сигнал о готовности к защите задания 2, подняв руку.
Составив алгоритм, до обсуждения его в классе, продолжайте работать над вопросами по самоконтролю.

Вопросы для самоконтроля:

1. “БИ” - дважды, биквадратное - дважды квадратные. Как это проявляется в алгоритме?
2. Можно ли назвать метод решения биквадратного уравнения - “метод замены переменной”?
3. Сможете ли вы по составленному алгоритму решить аналогичное уравнение?
4. Примите участие в обсуждении составленного алгоритма в классе.

 

УЭ - 2 - 15 мин.
Изучив УЭ - 2 , вы должны:

а) Научиться приему решения биквадратного уравнения.
б) Научиться записывать решение уравнения.
в) Сделать вывод о числе решений биквадратных уравнений.

Учимся применять полученные знания.

Задание 3. Решайте задания по вариантам

В.1

1. х4 + 7х2 + 12 = 0

2. 2х4 + х2 + 3 = 0

3. х4 + 4х2 = 0

В.2

1. 9х4 + 5х2 - 4 = 0

2. х4 - 3х2 + 2 = 0

3. х4 + 2х2 + 1 = 0

УЭ -3. – 5 минут.

Задание 4.

1. Обсудите полученные результаты самостоятельной работы..
2. Сверьте записи в ваших тетрадях с образцом.
3. Проведите взаимоконтроль. Примените теорему Виета для проверки корней уравнения.
4. Заполните таблицу.
5. Проанализируйте таблицу. 
6. Обсудите в парах результаты своей работы. 
7. Оцените свою работу в оценочном листе.

Дайте учителю сигнал о готовности к защите задания 3, подняв руку.
До обсуждения задания 3 и 4 в классе, продолжайте работать над вопросами по самоконтролю.

Задание 5. Проведите самоконтроль, ответив на вопросы:

1. Сколько решений может иметь биквадратное уравнение?
2. От чего зависит число решений биквадратного уравнения?
3. Может ли биквадратное уравнение иметь ровно 3 действительных корня?
4. Самостоятельно оцените: достигли ли вы цели работы на уроке. Для этого вернитесь к началу модуля УЭ - 0.
5. Участвуйте в обсуждении работы по исследованию числа решений биквадратных уравнений.

Запишите домашнее задание к следующему уроку: стр. 123-124, № 468 (2 ,4 ), № 469 (4 ), 
Вы должны знать алгоритм и уметь применять прием решения биквадратного уравнения.
Дополнительно 474*(2).
Испытайте себя. Сможете, ли вы применить изученный метод замены переменной в более сложной ситуации?

УЭ -4. Дополнительное задание:
Если у вас осталось время на уроке, начните решать новое уравнение:

( х2 + 2х) 2 - (х2 + 2х) = 56.

Решение.

Пусть t = ( . . . ), тогда t2=( . . . )2 .
Составлю …

Кроссворд. Если вписать верные слова, то получится название одного из видов уравнений.

[pic]



Кроссворд.

  1. Третья степень числа.

  2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения.

  3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство.

  4. Уравнения, имеющие одинаковые корни.

  5. Равенство с переменной

  6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю.

  7. Многочлен в правой части квадратного уравнения.

  8. Равенство, содержащее числа и переменные.

  9. Французский математик.

  10. Числовой множитель - в произведении.

  11. Один из видов квадратного уравнения.

  12. Множество корней уравнения.

































Алгоритм решения биквадратного уравнения. Метод решения - замены переменной.

1. Ввести замену переменной: пусть х2 = t, 
2. Составить квадратное уравнение с новой переменной: аt2 + bt + с = 0 (2)
3. Решить новое квадратное уравнение (2).
4. Вернуться к замене переменной.
5. Решить получившиеся квадратные уравнения.
6. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.
7. Записать ответ.

Таблица для исследования числа решения биквадратных уравнений

Примерный текст выступление ученика.

«Ум человеческий только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил.»
Л.Н. Толстой.

Знаете ли вы, что квадратные уравнения умели решать еще 4000 лет назад, например, в Древнем Вавилоне, Древней Греции?
Думаете, им был известен способ, который мы изучали на уроках алгебры? Скорее всего, нет.
Древние все известные им алгебраические приемы решения уравнений выражали в геометрической форме.
Геометрическую алгебру в решении уравнений широко применял еще Евклид в своих «Началах».
Только в XIX веке, когда Ф. Виет ввел буквенную символику, под влиянием Декарта и Ньютона исторический процесс перехода к алгебре в нашем понимании был в основном завершен.
Теперь мы легко решаем любые квадратные уравнения, применяя общую формулу, умеем определять число корней уравнения по дискриминанту. А когда-то поиск решения отдельных видов квадратных уравнений затягивался на века.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе «c», в знаменателе «а».
И сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта,
Что за беда – 
В числителе «b», в знаменателе «а».

Франсуа Виет. Отец современной буквенной алгебры. А между тем, Виет по образованию и профессии юрист. А его знаменитая теорема дает нам возможность часто устно найти корни квадратного уравнения и всегда проверить их верность.

Кроссворд.

  1. Третья степень числа. (Куб)

  2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант)

  3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень)

  4. Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные)

  5. Равенство с переменной. (Уравнение)

  6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю. (Приведенное)

  7. Многочлен в правой части квадратного уравнения. (Трехчлен)

  8. Равенство, содержащее числа и переменные. (Формула)

  9. Французский математик. (Виет)

  10. Числовой множитель - в произведении. (Коэффициент)

  11. Один из видов квадратного уравнения. (Неполное)

  12. Множество корней уравнения. (Решения)
Читать полностью »