Решение.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Имеем: [pic] Так как [pic] , [pic] и [pic] — общая треугольника ABD и BDC. Из равенства треугольников следует, что [pic] . Таким образом, [pic] .
Ответ: 95.
Ответ: 95
17. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,8 м? [pic]
Решение.
Найдём синус угла, на который поднимается длинное плечо:
[pic]
Угол подъема длинного плеча равен углу на который опустится короткое плечо. Пусть x — высота, на которую опустится короткое плечо, имеем:
[pic]
Таким образом, короткое плечо опустится на 0,6 м.
Ответ: 0,6.
Ответ: 0,6
18 На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей. [pic] Какое из следующих утверждений неверно?
1) Пользователей из России больше, чем пользователей из Белоруссии и Украины вместе.
2) Пользователей из Украины больше, чем пользователей Латвии.
3) Примерно две трети общего числа пользователей — из России.
4) Пользователей из Украины больше 3 миллионов.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение.
Разъясним каждый вариант ответа:
1) Очевидно, что пользователей из России больше, чем пользователей из Украины и Белоруссии вместе.
2) Сектор «Украина» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Латвия» включена в «Другие страны», имеем: пользователей из Украины больше, чем пользователей из Латвии.
3) Сектор в две трети диаграммы отсекается углом в 2·360°/3 = 240°. Очевидно, что угол, отсекающий сектор «Россия» примерно равен 240°, значит примерно две трети общего числа пользователей — из России.
4) Видно, что пользователей из Украины меньше четверти всех пользователей, значит, меньше 12/4=3 миллионов.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
Решение.
Вероятность благоприятного случая( [pic] ) — отношение количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. В данной задаче благоприятным случаем является старт спортсмена не из России под номером 1. Всего благоприятных случаев 2 + 5 = 7, а количество всех случаев 13 + 2 + 5 = 20. Отношение соответственно равно [pic]
Ответ: 0,35.
Ответ: 0,35
20. Площадь трапеции [pic] можно вычислить по формуле [pic] , где [pic] — основания трапеции, [pic] — высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту [pic] , если основания трапеции равны [pic] и [pic] , а её площадь [pic] .
Часть 2
Решение.
Выразим высоту трапеции из формулы площади:
[pic]
Подставляя, получаем:
[pic]
Ответ: 4.
Приведём другое решение.
Подставим в формулу известные значения величин:
[pic]
Ответ: 4
21. Разложите на множители [pic] .
Решение.
Имеем:
[pic]
[pic] .
Ответ: [pic] .
22.Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?
23.Постройте график функции [pic] и определите, при каких значениях [pic] прямая [pic] имеет с графиком ровно три общие точки.
-
Решение.
Раскрывая модуль, получим, что график функции можно представить следующим образом:
[pic]
Этот график изображён на рисунке:
[pic]
Из графика видно, что прямая [pic] имеет с графиком функции ровно три общие точки при [pic] и [pic]
Ответ: 0; 4.
24. Диагонали [pic] и [pic] трапеции [pic] пересекаются в точке [pic] . Площади треугольников [pic] и [pic] равны соответственно [pic] и [pic] . Найдите площадь трапеции.
-
Решение.
[pic] Заметим, что площади двух треугольников, общей вершиной которых является точка пересечения диагоналей трапеции, а основаниями — боковые стороны, равны. Это следует, например, из того, что площади треугольников [pic] и [pic] равны (поскольку эти треугольники имеют общее основание [pic] , и их высоты, проведенные к этому основанию, равны как высоты трапеции), а [pic] . По условию, [pic] , поэтому [pic] и [pic] являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники [pic] и [pic] подобны по двум углам, и отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия [pic] . Поэтому [pic] . Поскольку треугольники [pic] и [pic] имеют общую высоту, проведённую из вершины [pic] , то отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. [pic] . Значит, [pic] . Поэтому и [pic] . Но тогда [pic] .
Ответ: [pic] .
25.В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC.
-
Решение.
[pic] Проведём высоту [pic] так, чтобы она проходила через точку [pic] Углы [pic] и [pic] равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, [pic] Рассмотрим треугольники [pic] и [pic] , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки [pic] и [pic] . Таким образом, [pic]
Площадь параллелограмм равна [pic] а площадь треугольника [pic]
[pic]
26. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
-
-
-
-
ВАРИАНТ № 2
Часть 1 МОДУЛЬ «АЛГЕБРА»
-
1. Вычислите: [pic]
Решение.
Приведём к общему знаменателю:
[pic]
Ответ: 3,7.
Ответ: 3,7
2.На координатной прямой отмечены числа a, b и c:
[pic]
Значение какого из следующих выражений отрицательно?
1)−a 2)a+c 3)b−c 4) c − a
Решение.
Заметим, что −2 < a < −1, 1 < b < 2 и 3 < c < 4. Тогда выражение −a положительно. Для выражения a + c верно двойное неравенство 1 < a + c < 3. Для выражения b − c верно двойное неравенство −2 < b − c < −1. Для выражения c − a верно двойное неравенство 4 < c − a < 6.
Таким образом, отрицательным является выражение b − c.
Правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
3.В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь [pic] ?
1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic]
Решение.
Упростим дробь:
[pic]
Правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
4. Решите уравнение (x + 2)2 = (x − 4)2.
Решение.
Последовательно получаем:
[pic]
Ответ: 1.
Приведем другое решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
[pic]
Приведем другое решение.
Воспользуемся формулой разности квадратов:
[pic]
Ответ: 1
5.График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
[pic]
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
Решение.
Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1
Графику соответствует вариант под номером 1.
Ответ: 1
6. Геометрическая прогрессия [pic] задана формулой n - го члена [pic] . Укажите третий член этой прогрессии.
-
Решение.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии имеем: [pic]
Ответ: 12.
Ответ: 12
7.Представьте в виде дроби выражение [pic] и найдите его значение при [pic] . В ответ запишите полученное число.
Решение.
Упростим выражение:
[pic]
Найдем значение выражения при [pic]
[pic]
Ответ: −10.
Ответ: -10
8.Решите неравенство: [pic]
1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic]
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»
-
Решение.
Решим неравенство: [pic] Корнями уравнения [pic] являются числа -23 и 0. Поэтому
[pic]
Правильный ответ указан под номером 4.
Ответ: 4
9. [pic] Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.
Решение.
Сумма смежных углов параллелограмма равна 180°. Тогда величина меньшего угла параллелограмма будет равна:
[pic]
Ответ: [pic]
Ответ: 65
10. В окружности с центром в точке [pic] проведены диаметры [pic] и [pic] , угол [pic] равен 25°. Найдите величину угла [pic] . [pic]
Решение.
Углы OCD и OAB являются вписанными и опираются на одну дугу BD. Таким образом, [pic]
Ответ: 25.
Ответ: 25
11. [pic] Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: 7 · 4 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
12. Найдите тангенс угла [pic] треугольника [pic] , изображённого на рисунке. [pic]
Решение.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник ABC — прямоугольный, поэтому [pic]
Ответ: 0,75.
Ответ: 0,75
13.Какие из следующих утверждений верны?
1) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.
2) В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.
3) Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
4) В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.
МОДУЛЬ «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
Решение.
Проверим каждое из утверждений:
1)«Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.» — неверно, так как если [pic] имеем, что [pic] [pic] [pic]
2) «В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.» — неверно, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
3)«Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.» — неверно, равенство определяется по трем элементам.
4)«В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.» — верно, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Ответ: 4.
Ответ: 4
14. Учёный Иванов выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 10:00. В таблице дано расписание ночных поездов Москва — Санкт-Петербург
Номер поезда
Отправление из
Москвы
Прибытие в
Санкт-Петербург
-
-
-
026А
23:00
06:30
002А
23:55
07:55
038А
00:44
08:46
016А
01:00
08:38
Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят учёному Иванову.
1)026А 2)002А 3)038А 4) 016А
-
Решение.
Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 08:30. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 026А и 002А. Из них позже отправляется поезд под номером 002А.
Правильный ответ указан под номером 2.
Ответ: 2
15.В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
Вещество Дети от 1 года
до 14 лет
Мужчины
Женщины
Жиры
40—97
70—154
60—102
Белки
36—87
65—117
58—87
Углеводы
170—420
257—586
Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов 7-летней девочкой можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 42 г жиров, 35 г белков и 190 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.
1) Потребление жиров в норме.
2) Потребление белков в норме.
3) Потребление углеводов в норме.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проанализируем каждое утверждение.
1) Для семилетней девочки нормой является употребление от 40 до 97 граммов жиров в сутки, 42 грамма укладываются в этот промежуток. Первое утверждение верно.
2) Для семилетней девочки нормой является употребление от 36 до 87 граммов белков в сутки, 35 граммов не укладываются в этот промежуток. Второе утверждение неверно.
2) Для семилетней девочки нормой является употребление от 170 до 420 граммов углеводов в сутки, 190 граммов укладываются в этот промежуток. Третье утверждение верно.
Ответ: 1; 3.
Ответ: 1; 3
16.Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 га и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5:3. Сколько гектаров занимают овощные культуры?
Решение.
Овощные культуры занимают:
[pic]
Ответ: 9.
Ответ: 9
17. Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см [pic] 40 см?
Решение.
Найдем объем доски : 350 · 20 · 2 = 14 000 см3. Найдем объем балки: 1050 · 30 · 40 = 1 260 000 см3.
Поэтому количество досок равно 1 260 000 : 14 000 = 90.
Ответ: 90.
Ответ: 90
18. [pic] На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.
Какое из следующих утверждений неверно
1) По площади территории Австралия занимает шестое место в мире.
2) Площадь территории Бразилии составляет 7,7 млн км2.
3) Площадь Индии меньше площади Китая.
4) Площадь Канады меньше площади России на 7,1 млн км2.
В ответе запишите номер выбранного утвержденияРешение.
Проверим каждое утверждение:
1) На диаграмме видно, что Австралия — шестая по площади страна в мире. Значит первое утверждение верно.
2) Из диаграммы видно, что площадь Бразилии — 8,5 млн км2. Второе утверждение неверно.
3) Из диаграммы видно, что площадь Индии меньше площади Китая. Третье утверждение верно.
4) Из диаграммы видно, что площадь Канады меньше площади России на 17,1-10,0=7,1 млн км2. Четвёртое утверждение верно.
Неверным является утверждение под номером 2.
Ответ: 2
-
Решение.
Проанализируем все утверждения.
1) Пользователей из России больше всех, тем самым, их больше чем пользователей из Украины.
2) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Швеция» включена в «Другие страны» пользователей из Беларуси больше чем пользователей из Швеции.
3) Сектор в треть диаграммы имеет угол 360° : 3 = 120°. Угол сектора «Украина» меньше 90°, следовательно, меньше трети пользователей сети из Украины.
4) Пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9 : 2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.
Ответ:3.
Ответ: 3
19. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5?
Решение.
Чисел от 15 до 29 - 15 штук. Среди них на 5 делится только 3 числа. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5 равна [pic]
Ответ: 0,2
20.Объём пирамиды вычисляют по формуле [pic] , где [pic] — площадь основания пирамиды, [pic] — её высота. Объём пирамиды равен 40, площадь основания 15. Чему равна высота пирамиды?
-
Часть 2
Решение.
Выразим высоту пирамиды из формулы для ее объема:
[pic]
Подставляя, получаем:
[pic]
Ответ: 8.
Ответ: 8
21.Сократите дробь [pic] , если [pic] .
Решение.
Имеем:
[pic]
Ответ: 1.
22.Пристани [pic] и [pic] расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Решение.
Пусть [pic] км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению равна [pic] км/ч, а скорость движения против течения равна [pic] км/ч. Обозначим [pic] расстояние между пристанями. Время, затраченное на весь путь, равно
[pic] .
По условию средняя скорость равна 8 км/ч, а весь путь равен [pic] . Следовательно,
[pic] .
Решим это уравнение:
[pic]
Получаем: [pic] или [pic] . Корень −1 не является решением задачи. Значит, скорость лодки равна 9 км/ч.
Ответ: 9 км/ч.
23.Постройте график функции
[pic]
и определите, при каких значениях [pic] прямая [pic] будет иметь с графиком единственную общую точку.
Решение.
Построим график функции (см. рисунок).
[pic]
[pic]
Из графика видно, что прямая [pic] будет иметь с графиком функции единственную точку пересечения при [pic] принадлежащем множеству [0; 1).
Ответ: [0; 1).
24. Медианы треугольника [pic] пересекаются в точке [pic] . Найдите длину медианы, проведённой к стороне [pic] , если угол [pic] равен 47°, угол [pic] равен 133°, [pic] .
Решение.
Обозначим середину стороны [pic] за [pic] . Продлим [pic] на свою длину за точку [pic] до точки [pic] . Четырёхугольник [pic] — параллелограмм, потому что [pic] и [pic] . Значит, [pic] = 133°, поэтому четырёхугольник [pic] — вписанный. Тогда [pic] .
[pic]
Ответ: 6.
25. [pic] В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём СF = АM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
Решение.
[pic] Противоположные стороны параллелограмма равны и по условию [pic] [pic] следовательно:
[pic]
[pic]
В параллелограмме противоположные углы равны: [pic] , [pic] Рассмотри треугольники [pic] и [pic] , в этих треугольниках [pic] , [pic] , [pic] следовательно эти треугольники равны, а значит, [pic] . Аналогично равны треугольники [pic] и [pic] а следовательно равны отрезки [pic] и [pic] Противоположные стороны четырехугольника [pic] равны, следовательно, по признаку параллелограмма, этот четырёхугольник — параллелограмм.
26.Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
-
-
-
-
ВАРИАНТ № 3
Часть 1 МОДУЛЬ «АЛГЕБРА»
1. Вычислите:
[pic]
Решение.
Приведём к общему знаменателю:
[pic]
Ответ: 1,03.
Ответ: 1,03
2.На координатной прямой отмечены числа [pic] и [pic] Какое из следующих утверждений неверно?
[pic]
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
Решение.
Заметим, что [pic] и [pic] , и проверим все варианты ответа:
1) [pic] — неверно.
2) [pic] — верно, поскольку каждый множитель отрицателен.
3) [pic] — верно.
4) [pic] — верно.
Неверным является утверждение 1.
Ответ: 1
3. Какое из чисел больше: [pic] или [pic] ?
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
Решение.
В силу цепочки неравенств
[pic]
первое число меньше второго.
Правильный ответ указан под номером 1.
Ответ: 1
4. Найдите корни уравнения [pic]
Если корней несколько, в ответе запишите их сумму.
Решение.
Перенесём всё в уравнении в одну сторону:
[pic]
По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно −12. Тем самым, это числа −3 и 4.
Ответ: −3; 4.
Ответ: -3;4
5.Укажите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. [pic]
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке
А Б
В
Решение.
Определим вид графика каждой из функций.
1) [pic] уравнение прямой, которая пересекает ось абсцисс в точке 2 ; ось ординат в точке −2.
2) [pic] уравнение степенной функции с положительным дробным показателем. График проходит через точку (1; 0).
3) [pic] уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.
4) [pic] уравнение степенной функции с положительным дробным показателем. График проходит через точку (−1; 0).
Таким образом, искомое соответствие: A — 4, Б — 3, В — 1.
Ответ: 431.
Ответ: 431
6. Последовательность задана условиями [pic] , [pic] . Найдите [pic] .
-
Решение.
Будем вычислять последовательно: [pic]
Данная последовательность образует арифметическую прогрессию. Найдем разность арифметической прогрессии:
[pic] [pic] тогда [pic]
Примечание.
Зная разность и первый член арифметической прогрессии, можно найти [pic] посредственно:
[pic]
Ответ: −9.
Ответ: -9
7. Сократите дробь [pic]
Решение.
Сократим дробь:
[pic]
Ответ: 84.
Ответ: 84
8.На каком рисунке изображено множество решений неравенства [pic]
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
-
-
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»
9.В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите [pic] . [pic]
Решение.
В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят уголы пополам, поэтому [pic] = [pic] = [pic] Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому [pic] Вертикальные углы равны, следовательно, [pic]
Ответ: 120.
Ответ: 120
10 . [pic] Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.
Решение.
Угол AOB является центральным углом, ACB — вписанным. Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, угол AOB в два раза больше угла ACB.
Ответ: 24.
Ответ: 24
11. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.
-
Решение.
Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей ромба, а гипотенузой — сторона ромба, по теореме Пифагора найдем половину неизвестной диагонали: [pic] Тогда вся неизвестная диагональ равна 8.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
[pic]
Ответ: 24.
Ответ: 24
12. [pic] Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.
-
Решение.
Опустим перпендикуляр BH на отрезок OA и рассмотрим прямоугольный треугольник OBH:
[pic]
Ответ: 2.
Ответ: 2
13.Какие из следующих утверждений верны?
1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.
3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
-
МОДУЛЬ «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
-
14. В таблице представлены нормативы по технике чтения в 3 классе.
[pic]
Какую отметку получит третьеклассник, прочитавший в апреле 68 слов за минуту?
1)«2» 2)«3» 3)«4» 4) «5»
Решение.
Проверка техники чтения происходила во втором полугодии. Из таблицы видно, что 68 прочитанных за минуту слов попадают в интервал «69 и менее» слов. Это соответствует отметке «2».
Правильный ответ указан под номером 1.
Ответ: 1
15.В таблице приведены результаты двух полуфинальных забегов на дистанцию 60 м. В финальном забеге 6 участников. Из каждого полуфинала в финал выходят два спортсмена, показавших первый и второй результаты. К ним добавляют еще двух спортсменов, показавших лучшее время среди всех остальных участников полуфиналов. [pic] Запишите в ответ номера спортсменов, не попавших в финал.
Решение.
В полуфинале 1, лучшее время у спортсмена №4 и у спортсмена №1, таким образом, они выходят в финал.
В полуфинале 2, лучшее время у спортсмена №6 и у спортсмена №7 таким образом, они также выходят в финал.
Лучшее время из оставшихся спортсменов у спортсмена №2 и №5. таким образом таким образом, они тоже выходят в финал.
Таким образом, в финал не попали спортсмены под намерами 3 и 8.
Ответ: 38|3,8|8,3|83
16.На молочном заводе пакеты молока упаковываются по 12 штук в коробку, причём в каждой коробке все пакеты одинаковые. В партии молока, отправляемой в магазин «Уголок», коробок с полуторалитровыми пакетами молока втрое меньше, чем коробок с литровыми пакетами. Сколько литров молока в этой партии, если коробок с литровыми пакетами молока 45?
Решение.
Найдём количество коробок с полуторалитровыми пакетами молока: 45 : 3 = 15. Теперь рассчитаем количество литров молока в этой партии: 45 · 12 · 1 + 15 · 12 · 1,5 = 810 л.
Ответ: 810.
Ответ: 810
17. [pic] На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?
Решение.
[pic] Пусть неизвестное расстояние равно х м. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, выделенные на рисунке красным и зелёным. Они имеют общий угол и, следовательно, подобны. Поэтому отношения их катетов равны:
[pic]
Тем самым, искомое расстояние равно 3,5 м.
Ответ: 3,5.
Ответ: 3,5
18.На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей. [pic] Какое из следующих утверждений неверно?
1) Пользователей из Беларуси меньше, чем пользователей из Украины.
2) Пользователей из России больше 4 миллионов.
3) Пользователей из Украины больше четверти общего числа пользователей.
4) Пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Финляндии.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Решение.
Разъясним каждый вариант ответа.
1) Очевидно, что пользователей из Беларуси меньше, чем пользователей из Украины.
2) Видно, что пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9/2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.
3) Сектор в четверть диаграммы отсекается углом в 360°/4 = 90°. Очевидно, что угол, отсекающий сектор «Украина» меньше 90°, значит, меньше четверти пользователей сети — из Украины.
4) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Финляндия» включена в «Другие страны», имеем: пользователей из Белоруссии больше, чем пользователей из Финляндии.
Ответ: 3.
Ответ: 3
19. В фирме такси в данный момент свободна 21 машина: 11 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. Полученный ответ округлите до сотых.
Решение.
Вероятность того, что приедет зеленая машина равна отношению количества зеленых машин к общему количеству машин: [pic]
Ответ: 0,38.
Ответ: 0,38
20.Площадь параллелограмма [pic] можно вычислить по формуле [pic] , где [pic] — стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма, если его стороны 10 м и 12 м и [pic] .
Часть 2
-
Решение.
Подставим в формулу известные значения величин: [pic]
Ответ: 60.
Ответ: 60
21.Решите систему уравнений: [pic]
Решение.
Сложим два уравнения системы:
[pic]
откуда получаем [pic] или [pic]
Вычтем из первого уравнения системы второе: [pic]
Таким образом, решения систему [pic]
Ответ: [pic]
22. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение.
По условию первая труба за одну минуту наполняет [pic] часть бассейна, а две трубы вместе за одну минуту наполняют [pic] часть бассейна. Таким образом, одна вторая труба за минуту наполняет [pic] часть бассейна, то есть она наполнит весь бассейн за 15 часов.
Ответ: 15.
23.При каком значении [pic] прямая [pic] имеет с параболой [pic] ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении [pic] .
Решение.
График функции изображён на рисунке. [pic]
Запишем условие общей точки: [pic]
Прямая [pic] будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: [pic] откуда [pic] Подставив значение параметра в уравнение, находим [pic]
Ответ: (-2;0).
24. [pic] Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.
Решение.
[pic] Проведём радиус OA. Треугольник AOC — прямоугольный, ∠A = 90°. ∠COA = 180° − ∠AOD = 180° − 140° = 40°; ∠ACO = 90° − 40° = 50°.
Ответ: 50.
25.Дана равнобедренная трапеция [pic] . Точка [pic] лежит на основании [pic] и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что [pic] — середина основания [pic] .
Решение.
Треугольник [pic] равнобедренный. Поэтому [pic] .
В равнобедренной трапеции [pic] .
Отсюда следует, что [pic] . Значит, треугольники [pic] и [pic] равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, [pic] . [pic]
26. Диагонали четырёхугольника [pic] , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке [pic] . Известно, что [pic] = 74°, [pic] = 102°, [pic] = 112°. Найдите [pic] .
-
-
ВАРИАНТ № 4
Часть 1 МОДУЛЬ «АЛГЕБРА»
1.Найдите значение выражения [pic] .
Решение.
Вынесем общий множитель за скобки:
[pic]
Ответ: −3.
Ответ: -3
2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу [pic] . Какая это точка?
[pic]
1) точкаM 2) точкаN
3) точкаP 4) точка Q
Решение.
Возведём в квадрат числа [pic] 6, 7, 8:
[pic]
Число 45 лежит между числами 36 и 49 и находится ближе к числу 49, поэтому [pic] соответствует точке N.
Правильный ответ указан под номером 2.
Ответ: 2
3 Какое из чисел больше: [pic] или [pic] ?
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
Решение.
В силу цепочки неравенств
[pic]
первое число меньше второго.
Правильный ответ указан под номером 1.
Ответ: 1
4.Найдите корни уравнения [pic] .
Если корней несколько, запишите в ответе наименьший.
5.На одном из рисунков изображен график функции [pic] . Укажите номер этого рисунка.
1) [pic]
2)
[pic]
3)
[pic]
4)
[pic]
Решение.
График функции [pic] проходит через точку (1; 0). Этому условию удовлетворяет только график, изображённый на рисунке 4.
Таким образом, верный ответ указан под номером 4.
Ответ: 4
6. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
-
Решение.
Для члена [pic] имеем: [pic] По формуле нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеем:
[pic]
Первое число, которое удовлетворяет этому условию, число 6. Следовательно, первым отрицательным членом прогрессии является [pic]
Таким образом, правельный ответ указан под номером 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
7.Найдите значение выражения [pic] при [pic] .
-
Решение.
Упростим выражение:
[pic]
Найдем значение выражения при [pic]
[pic]
Ответ: 2,5.
Ответ: 2,5
8.На каком рисунке изображено множество решений неравенства [pic] ? [pic]
1)1 2)2 3)3 4) 4
-
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»
-
9.Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°, четвертый угол равен 360° − 300° = 60°.
Ответ: 60.
Ответ: 60
10.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
Воспользуемся теоремой косинусов:
[pic]
Здесь [pic] и [pic] — боковые стороны равнобедренного треугольника, [pic] — основание.
Диаметр описанной окружности вычислим по формуле:
[pic]
Ответ: 10.
Ответ: 10
11. [pic] Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Решение.
Площадь трапеции вычисляется по формуле [pic] где [pic] и [pic] — основания, а [pic] — высота трапеции.
[pic]
Ответ: 270.
Ответ: 270
12. [pic] Найдите тангенс угла С треугольника ABC , изображённого на рисунке.
-
Решение.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
[pic]
Ответ: 0,75.
Ответ: 0,75
13. Какие из следующих утверждений верны?
1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
4) Около любого ромба можно описать окружность
-
МОДУЛЬ «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
14. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей.
Какое из следующих утверждений неверно?
[pic]
1) Пользователей из Украины больше, чем пользователей из Беларуси.
2) Пользователей из Украины меньше четверти общего числа пользователей.
3) Пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Эстонии.
4) Пользователей из России больше 8 миллионов.
Решение.
Проверим каждое утверждение:
1) Из диаграммы видно, что число пользователей из Украины больше, чем пользователей из Беларуси. Первое утверждение верно.
2) Из диаграммы видно, что пользователей из Украины меньше четверти общего числа пользователей. Второе утверждение верно.
3) Из диаграммы видно, что пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из "других стран", а значит, и больше, чем пользователей из Эстонии. Третье утверждение верно.
4) Из диаграммы видно, что пользователей из России примерно две трети от общего числа пользователей. Всего пользователей 9 млн, значит пользователей из России около 6 млн, что меньше 8 млн. Четвёртое утверждение неверно.
Неверным является утверждение под номером 4.
Ответ: 4
15.На графике показано, сколько человек зарегистрировалось с 25 декабря 2012 года по 13 февраля 2013 года в качестве участников конференции. По горизонтали указаны числа месяцев, а по вертикали — количество человек.
[pic]
Во сколько раз возросло количество зарегистрировавшихся с 4 января по 3 февраля?
Решение.
Из графика видно, что число зарегестрировавшихся на4 января состваляло 30 человек, а 3 февраля — 270. Следовательно, число зарегистрировавшихся возросло в 270 : 30 = 9 раз.
Ответ: 9.
Ответ: 9
16. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?
Решение.
Пусть x голосов приходится на одну часть, тогда 5x приходится на второго кандидата, а 3x - на первого. Зная, что в голосовании участвовало 120 человек составим уравнение:
[pic]
Таким образом, победитель получил:
[pic]
.
Ответ: 75.
Ответ: 75
17. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 10 мин?
Решение.
Часовыми делениями циферблат разбит на 12 круговых секторов. Угол каждого из них равен 360° : 12 = 30°. Между минутной и часовой стрелкой два часовых деления. Они образуют угол 60°.
Ответ: 60.
Ответ: 60
18. Рок-магазин продаёт значки с символикой рок-групп. В продаже имеются значки пяти цветов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Данные о проданных значках представлены на столбчатой диаграмме.
[pic]
Определите по диаграмме, значков какого цвета было продано меньше всего. Сколько примерно процентов от общего числа значков составляют значки этого цвета?
1) 5 2) 10 3) 15 4) 20
Решение.
Из диаграммы видно, что было продано меньше всего значков зелёного цвета в количестве 150 штук. Определим сколько процентов от общего числа составляют зелёные значки:
[pic]
Значит зелёных значков примерно 15% от общего числа.
Ответ: 3.
Ответ: 3
19. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками
Решение.
Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна [pic]
Ответ: 0,64
20. Из закона всемирного тяготения
[pic]
выразите массу [pic] и найдите её величину (в килограммах), если [pic] [pic] [pic] и гравитационная постоянная [pic]
-
Часть 2
-
Решение.
Выразим массу: [pic] Подставим значения переменных:
[pic]
Ответ: 1000.
Ответ: 1000
21. Решите неравенство [pic]
-
Решение.
Умножим на 10, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:
[pic]
[pic]
Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:
[pic]
Ответ: [pic]
22. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?
Решение.
Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.
Ответ: 2.
23.Постройте график функции [pic] и определите, при каких значениях [pic] прямая [pic] имеет с графиком ровно три общие точки.
-
Решение.
Раскрывая модуль, получим, что график функции можно представить следующим образом:
[pic]
Этот график изображён на рисунке:
[pic]
Из графика видно, что прямая [pic] имеет с графиком функции ровно три общие точки при [pic] и [pic]
Ответ: 0; 4.
24. Диагонали [pic] и [pic] трапеции [pic] пересекаются в точке [pic] . Площади треугольников [pic] и [pic] равны соответственно [pic] и [pic] . Найдите площадь трапеции.
-
Решение.
[pic] Заметим, что площади двух треугольников, общей вершиной которых является точка пересечения диагоналей трапеции, а основаниями — боковые стороны, равны. Это следует, например, из того, что площади треугольников [pic] и [pic] равны (поскольку эти треугольники имеют общее основание [pic] , и их высоты, проведенные к этому основанию, равны как высоты трапеции), а [pic] . По условию, [pic] , поэтому [pic] и [pic] являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники [pic] и [pic] подобны по двум углам, и отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия [pic] . Поэтому [pic] . Поскольку треугольники [pic] и [pic] имеют общую высоту, проведённую из вершины [pic] , то отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. [pic] . Значит, [pic] . Поэтому и [pic] . Но тогда [pic] .
Ответ: [pic] .
25.В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC.
-
Решение.
[pic] Проведём высоту [pic] так, чтобы она проходила через точку [pic] Углы [pic] и [pic] равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, [pic] Рассмотрим треугольники [pic] и [pic] , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки [pic] и [pic] . Таким образом, [pic]
Площадь параллелограмм равна [pic] а площадь треугольника [pic]
[pic]
26. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
-
-
-
-
