Костанайская область
Узункольский район
КГУ «Троебратская средняя школа»
Мастер-класс по алгебре и началам анализа 11 класс
Тема: «Степень с рациональным показателем и ее свойства»
«Рационал көрсеткіш дәржесі»
The degree of a rational number and it is index.
Учитель математики
категория 1
Батуева Н.И.
Дидактические единицы: степень с произвольным действительным показателем и ее свойства, преобразование и вычисление значений показательных выражений.
Тип занятия: урок усвоения нового материала.
Применяемая технология: технология сотрудничества, информационно – компьютерная технология с использованием презентации к уроку.
Методы обучения:
по источникам знаний: практический;
по характеру познавательной деятельности: репродуктивно-поисковые.
Форма организации занятия: групповая, индивидуальная, фронтальная.
Оборудование: оценочные листы, карточки с заданиями, дешифраторами, мультимедийное оборудование, электронные презентации.
Цели занятия:
образовательная
способствовать запоминанию новой терминологии;
способствовать осознанию основных понятий, правил, законов на определение степени с натуральным и рациональным показателем;
способствовать формированию умений при применении основных понятий, правил, законов на определение степени с натуральным и рациональным показателем в стандартных условиях, в измененных и нестандартных условиях;
создать условия для заинтересованности каждого учащегося в работе;
развивающая
способствовать формированию логического мышления учащихся;
способствовать развитию познавательной активности учащихся;
способствовать расширению кругозора учащихся в историческом аспекте;
воспитательная
воспитание чувства ответственности за результаты своего труда;
воспитание умения работать в коллективе;
формирование эстетического отношения к выполнению работы;
воспитывать интерес к предмету, к истории математики.
Дидактическая цель: составление мониторинга качества сформированных умений и навыков при применении основных понятий, правил, законов на определение степени с натуральным и рациональным показателем.
ХОД УРОКА
I.Создание коллаборативной среды
Посмотрите друг на друга, подарите друг другу свою улыбку и пожелайте того, чего вы сами ожидаете от сегодняшнего урока.
Организационный момент.
На столе у каждого из вас есть оценочный лист. В него вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока вы выставите средний балл за урок.
II. Мозговой штурм – математический диктант.
Корень шестой степени из 64=2
The root of the third degree of the eight=2
Үшінші дәрежелі түбір жиырма жетіден=3
Корень третьей степени из 729=9
The root of the fourth degree of ten thousand=10
Бесінші дәрежелі түбір екі жүз қырық үштен=3
Корень четвертой степени из 0,0001=0,1
The root of the fourth degree of six hundred and twenty five=5
Төртінші дәрежелі түбір он алтыдан=2
Проверка и оценивание результатов математического диктанта
III. Этап усвоения новых знаний.
Объяснение ведется экспертной группой учащихся из числа одаренных учащихся (Грабовская А., Утегенов Ж.)
[pic]
[pic]
IV . Актуализация знаний учащихся.
Закрепление изученного материала по заданиям учебника. Применять дифференсацию при выборе учащихся для решения заданий
Стр. 55 № 91 – Раднова К., Кенжетаев А. уровень А
Стр. 56 № 93 – Бучко А., Улыбаева А. уровень В
Стр. 56 № 97 класс решает самостоятельно уровень В
Проверка решений у доски, устная проверка самостоятельного решения класса.
Стр. 57 № 100 – Москвин М., Васильев В. Уровень В
Стр. 57 № 99 (3) – класс решает самостоятельно Уровень В
Экспертная группа решает в паре № 103 (1) Уровень С
Проверка решения у доски, устная проверка самостоятельного решения класса.
V. Физ минутка, если показанное мной выражение не имеет смысла вы остаетесь сидеть, если имеет смысл, то встаете.
V I. Осознание и осмысление учебной информации.
Работа в группах
Задание (1группа). Решив уравнения и составив слово 1234567, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который положил начало буквенных записей степени.
Х1/3=4 у-1=3/5
а1/2= 2/3
х-0,5 х1,5 = 1
у1/3 =2
а2/7а12/7 = 25
а1/2 : а = 1/3
Ответ: 1234567 (Диофант)
Задание(2 группа). Решив уравнения и составив слово 1234567, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который ввел название показатель.
-81/3
811/2
(3/5)-1
(5/7)0
27-1/3
(2/3)-2
161/2 * 1251/3
Ответ: 1234567 (Штифель)
Задание(3 группа). Решив уравнения и составив слово 123451, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который дал определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем.
1. а2\7а12\7 = 25 2. (х-12)1\3 =2
3. х-0,7 х3,7 = 8
4.а1\2 : а = 1\3
5. а1\2= 2\3
Ответ: 123451 (Ньютон)
Задание (4 группа). Выполнив это задание и составив слово 123456, используя дешифратор узнаете фамилию этого математика, который ввел современную запись степени.
Х1/3=4
у-1= 3
(х+6)1/2 = 3
у1/3 =2
(у-3)1/3=2
а1/2 : а = 1/3
Ответ: 123456 (Декарт)
V II. Исторические сведения о развитии понятия степени (проект подготовленный учащимися) Раднова К., Мелешко А.
Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком [pic] с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.
Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоритм пропорций”.
Равенство, а0 =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.
Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у Симона Стевина. Симон Стевин предположил подразумевать под а1/n корень [pic] .
Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а0=1 при [pic] и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень.
В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт.
Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).
О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.
Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.
Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства). В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.
V III. Самостоятельное применение полученных знаний.
Затем происходит проверка данных заданий с помощью проектора (Слайд 6). Качество своего выполнения учащиеся определяют друг друга, выставляя друг другу отметку в оценочный лист.
Итог урока
Вычислите свою среднюю арифметическую оценку за урок. Поднимите руки кто оценил свои знания на «3», на «4», на «5» ,а кто вообще никак не оценил свои знания? В тетрадях отметьте те этапы урока, которые вызвали у вас затруднения. Итог на «»5» - … , на «4» – …,на «3» - …,и конечно нужно поработать над данной темой.
Попрошу сдать оценочные листы, и оценки будут выставлены в журнал.
Домашнее задание стр. 56 № 95
Рефлексия установите стикер на тот пейзаж, который соответствует вашему настроению на момент окончания нашего урока.
Всем спасибо за плодотворное сотрудничество, до новой встречи.
