Пояснительная записка
Важная задача общеобразовательных учреждений состоит в том, чтобы не только дать учащимся сумму конкретных знаний, но и научить делать самостоятельные выводы на базе этих знаний, прививать навыки научно-теоретического мышления. Один из путей решения данной задачи состоит в формировании умения рассуждать.
Формирование умения рассуждать происходит в процессе обучения всем школьным предметам, в процессе всей жизни школьника. Однако ведущая роль здесь принадлежит математике. Математическому рассуждению присущ ряд специфических качеств: доминирование логической схемы рассуждения, четкая расчлененность его хода, полноценная аргументация, логическая интуиция.
Содержание курса математики предоставляет большие возможности для систематической работы по развитию у учащихся способности рассуждать. Основными компонентами в этой работе являются:
систематическое и целенаправленное формирование умения находить общее в отдельных частных примерах, строить индуктивные умозаключения;
воспитание потребности в дедуктивных умозаключениях;
формирование умения выполнять отдельные виды дедуктивных умозаключений, строить небольшую цепочку умозаключений;
формирование умения различать доказательные и правдоподобные рассуждения, находить логические ошибки в рассуждениях.
Традиционно формирование умения рассуждать связывают с геометрией. Однако алгебраический материал открывает не меньшие возможности для развития этой способности у учащихся и даже имеет некоторые преимущества. Рассуждения в курсе алгебры приводятся, как правило, с опорой на минимальное число определений и теорем, они коротки и нетрудны для восприятия. Доказательства, приводимые в курсе алгебры, компактны, лаконичны, короче и проще, чем геометрические. Логическая структура доказательств легко обозрима. На алгебраическом материале легче воспитать потребность в доказательстве, так как в геометрии чертеж является для многих учащихся убедительным подтверждением истинности математического предложения и поэтому для них всякие рассуждения кажутся излишними. Овладение простейшими рассуждениями на алгебраическом материале служит хорошей пропедевтикой для проведения более сложных рассуждений в геометрии.
Решение алгебраических задач является одним из важнейших элементов учебной деятельности школьника. Задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их свойств, усвоению терминологии и символики; раскрытию взаимосвязи одного понятия с другими. В процессе изучения теорем задачи выполняют такие функции, как выявление закономерностей, отраженных в теоремах; помогают усвоению содержания теоремы; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязь изучаемой теоремы с другими теоремами. Некоторые алгебраические задачи являются целью обучения в том смысле, что учащиеся должны овладеть приемами их решения. Такие задачи, как правило, называют стандартными. Однако в процессе обучения математике важное место отводится не только формированию знаний, умений и навыков, но и формированию опыта творческой деятельности, развитию познавательного интереса, мышления, математических способностей, воспитанию эвристического и творческого начал. Достичь этих целей с помощью одних стандартных задач невозможно. В теории и практике обучения математике для этих целей предлагается использовать нестандартные задачи, для решения которых в школьном курсе нет определенного алгоритма. Для поиска решения таких задач необходимо осуществлять эвристическую деятельность.
Данный курс расширяет и углубляет школьный алгебраический компонент, знакомит учащихся с общими подходами к решению алгебраических стандартных и нестандартных задач; рассматриваются и решаются основные типичные виды задач по основным содержательным линиям школьного курса алгебры.
Цели факультативного курса: формирование у учащихся умения рассуждать, доказывать и осуществлять поиск решений алгебраических задач; формирование опыта творческой деятельности, развитие мышления и математических способностей школьников.
Задачи курса:
систематизация, обобщение и углубление учебного материала, изученного на уроках математики;
развитие познавательного интереса школьников к изучению математики;
формирование процессуальных черт их творческой деятельности;
ознакомление учащихся с общими и частными эвристическими приемами поиска решения стандартных и нестандартных задач;
развитие логического мышления и интуиции учащихся;
ознакомление с нестандартными методами решения алгебраических
задач.
На изучение данного курса по выбору отведено 35 часов (1 час в неделю). Темы курса могут изучаться в любом порядке; объем материала в каждой из них может сокращаться по усмотрению учителя.
Рекомендуемые формы и методы проведения занятий. На занятиях при работе с определениями понятий, теоремами и их доказательствами, стандартными и нестандартными задачами могут использоваться фронтальная, самостоятельная и индивидуальная формы работы.
Методика работы на факультативных занятиях отличается от методики работы на уроке. Эти отличия заключаются в следующем:
особое внимание уделяется формированию приемов мыслительной деятельности (наблюдение и сравнение, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, отыскание и применение аналогий, построение гипотез и планирование действий и др.);
в учебной деятельности большое место отводится общим и частным рассуждениям;
систематически проводится работа по выработке умения применять эвристические приемы в различных сочетаниях;
постоянно осуществляется диалог учителя с учащимися при
изучении теоретического материала и поиске способа решения любой
предлагаемой задачи.
С о д е р ж а н и е
Введение. Что такое рассуждение, доказательство, задача и ее решение?
Числа и вычисления. Числовые закономерности и их использование при решении задач. Индукция и дедукция в процессе решения задач. Метод полной индукции. Метод математической индукции. Задачи на доказательство по теме «Делимость натуральных и целых чисел».
Выражения и их преобразования. Решение задач по теме «Степень с натуральным показателем».
Многочлен и его стандартный вид. Доказательство тождеств. Методы разложения многочлена на множители. Решение уравнений с помощью разложения на множители.
Понятие рациональной дроби. Решение задач по теме «Преобразования рациональной дроби». Задачи на все действия с рациональными дробями.
Уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Решение уравнений, сводящихся к линейным уравнениям. Методы решения простейших уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Решение задач с помощью уравнений. Решение уравнений в целых числах.
Координаты и функции. Задачи на координатной плоскости. Зависимости между величинами. Прямая и обратная пропорциональностей. Графики прямой и обратной пропорциональности. Решение текстовых задач с помощью пропорций. Пропорциональное деление.
Понятие функции. Способы задания функции. Решение задач по теме «Линейная функция и ее график».
Ожидаемые результаты
В результате изучения данного факультативного курса у учащихся будут сформированы представления:
о некоторых способах рассуждений и доказательств;
о понятии «математическая задача»,
о том, что значит решить математическую задачу.
Учащиеся усовершенствуют такие способы деятельности, как:
умения производить вычисления рациональными способами;
умения выполнять тождественные преобразования целых и дробно-рациональных выражений;
умения решать уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям;
умения решать простейшие уравнения, содержащие переменную под знаком модуля;
умения строить графики прямой и обратной пропорциональностей, график линейной функции;
решать текстовые задачи с помощью составления линейного уравнения.
Изучение данного факультативного курса предполагает повышение уровня:
познавательного интереса к математике;
развития логического мышления и математических способностей;
опыта творческой деятельности;
математической культуры;
способности учиться.
Примерное календарно-тематическое
планирование факультативных занятий
«Алгебра учит рассуждать: 7 класс»
(1ч в неделю, 35 ч)
Кол-во часов
1–10
I. Числа и вычисления
10
1–2
Числовые закономерности и их использование при решении задач
2
3–4
Индукция и дедукция в процессе решения задач
2
5–6
Задачи на доказательство по теме «Делимость натуральных чисел»
2
7–8
Решение некоторых задач с помощью теории множеств
2
9–10
Принцип Дирихле
Математическая мозаика
2
11–16
II. Линейные уравнения. Уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям
6
11
Уравнение и его корни
1
12
Решение линейных уравнений
1
13–14
Решение задач на исследование линейных уравнений
2
15–16
Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля и сводящихся к линейным уравнениям
2
17–19
III. Координаты и функции
3
17
Координатная плоскость. Графики зависимостей
1
18
Понятие функции. Прямая пропорциональность
1
19
Линейная функция и ее график
1
20–35
IV. Выражения и их преобразования
16
20–21
Решение задач по теме «Степень с натуральным показателем»
2
22–23
Многочлен и его стандартный вид
2
24–25
Методы разложения многочлена на множители
2
26–27
Решение задач по теме «Преобразования рациональной дроби»
2
28–29
Задачи на все действия с рациональными дробями,
выполнение тождественных преобразований
2
30–31
Поиск закономерностей и их использование при выполнении тождественных преобразований
2
32–33
Методы доказательства тождеств
2
34–35
Решение нестандартных задач на преобразование дробно-рациональных выражений
2
Рекомендуемая литература
Ананченко, К.О. Алгебра учит рассуждать: пособие для учителей / К.О. Ананченко, П.Г.Миндюк. – Мозырь: Изд. дом «Белый ветер», 2001. – 112 с.
Ананченко, К.О. Преподавание углубленного курса в VIII–IХ классах: учеб.-метод. пособие для учителей / К.О. Ананченко. – Минск: Нар. асвета, 1990. – 271 с.
Бартенев, Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре: пособие для учителей / Ф.А.Бартенев. – М., 1976. – 96 с.
Кордемский, Б.А. Увлечь школьника математикой: материал для классных и внеклассных занятий / Б.А. Кордемский. – М., 1981. – 112 с.
Кострикина, И.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7–9 классов: книга для учителя / И.П. Кострикина. – М., 1991. – 239 с.
6. Мазаник, А.А. Реши сам / А.А. Мазаник. – 2-е изд., перераб. – Минск, 1980. – 239 с.
7. Журнал «Квант». Статьи по математике. Рубрики: Математический кружок; Школа в «Кванте»; «Квант» для младших школьников; Практикум абитуриента.
