МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ЗАУРАЛЬСКИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ С.УРГАЗА
Методические указания (рекомендации)
по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика (II курс)
для студентов специальностей 35.02.07 Механизация сельского хозяйства
35.02.06 Технология производства и переработки с/х продукции
с. Ургаза, 2015Раздел 1. Линейная алгебра
1. Самостоятельная работа №1 «Применение матриц при решении задач»
Пример №1. В три магазина завозят два раза в месяц одинаковое количество диванов, кресел, тумбочек. В первый – по 10 диванов, 6 кресел, 8 тумбочек, во второй – по 5 диванов, 7 кресел, 10 тумбочек, в третий – по 2 дивана, 3 кресла и 5 тумбочек. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их связи с завозами. Найдите суммарные месячные выручки, если в магазинах все распродали, и матрица цен выглядит так (цены указаны в тыс. руб.):
Решение:
1. Найдем матрицу поступлений товаров:
2. Найдем суммарные выручки:
Пример №2. Поступление товаров на первый склад описывается матрицей:
,
а поступление товаров на второй склад описывается матрицей
Найдите суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров.
Решение:
1. Найдем суммарный завоз:
,
2. Найдем годовой завоз:
Задачи для самостоятельного решения.
Задача №1. В три магазина завозят два раза в неделю одинаковое количество карандашей, ручек, красок. В первый – по 4 карандашей, 10 ручек, 2 краски, во второй – по 5 карандашей, 9 ручек, 3 краски, в третий – по 2 карандаша, 12 ручек и 2 красок. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их связи с завозами. Найдите суммарные месячные выручки, если в магазинах все распродали, и матрица цен выглядит так:
Задача №2. Поступление товаров на первый склад описывается матрицей:
,
а поступление товаров на второй склад описывается матрицей
Найдите суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров.
Раздел 2. Математический анализ
Самостоятельная работа №2 «Вычисление производных»
Пример 1. Найти производную функции
Основные свойства:
1°.
2°.
3°.
4°.
Воспользуемся 1° и 2°:
Пример 2. Найти производную функции
Решение:
Воспользуемся 3°:
Пример 3. Найти производную функции
Решение:
Воспользуемся 4°:
Пример 4. Найти значение производной функции в точке
Решение:
Пример 5. Вычислить скорость изменения функции в точке
Решение:
Задачи для самостоятельного решения.
Задача №1. Найти производную функции
Задача №2. Найти производную функции
Задача №3. Найти производную функции
Задача №4. Найти производную функций и вычислить ее значения:
а)
б)
Задача №5. Вычислить скорость изменения функции .
Самостоятельная работа №3 «Производная и ее приложения»
Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.
Решение: общий вид уравнения:
Тогда уравнение касательной примет вид:
Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение: убывает, если
Для заданной функции .
Найдем экстремумы заданной функции из уравнения :
Итак, заданная функция возрастает на промежутках и убывает на отрезке .
Пример 3. Точка движется по прямой, причем пройденный путь определяется формулой . Найти ее скорость в момент времени .
Решение: Воспользуемся определением мгновенной скорости .
В нашем случае .
Задачи для самостоятельного решения.
Задача №1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 1.
Задача №2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Задача №3. Точка движется по прямой, причем пройденный путь определяется формулой . Найти ее скорость в момент времени .
Самостоятельная работа №4 «Исследование функций на экстремум»
Правило нахождения экстремумов функции
с помощью первой производной
Найти производную .
Найти критические точки функции , т.е. точки в которых обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . При этом критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором , от промежутка, в котором , и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то в точке функция экстремума не имеет.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
Находим , приравняем производную к нулю, имеем . Получим единственную критическую точку .
Последующие рассуждения представим в таблице:
2
-
0
+
Минимум
График функции есть парабола. Точка минимума (2;-4) является вершиной параболы.
Задача для самостоятельного решения.
Задача №1. Исследовать на экстремум функцию
Задача №2. Исследовать на экстремум функцию
Раздел 3. Интеграл и его приложения
Самостоятельная работа №5 «Первообразная. Неопределенный интеграл»
Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).
Решение:
, т.е. ⇒
Пример 2. Найти все первообразные функции :
а) f(x) =х4+ 3х2+ 5
б) f(x) = sin(3x– 2)
Решение:
Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:
Пример 3. . Для функции f(x) = 4 – х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).
Решение:
1) Найдем все первообразные функции f(x):
2) Найдем число С , такое, чтобы график функции проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10 , получим:
Следовательно, .
Задачи для самостоятельного решения.
Задача №1. 1. Выяснить, является ли функция F (x) = 6х 2 +х + 5 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).
Задача №2. Найти все первообразные функции f(x) :
а) f(x) = 9х 2 +6х+ 9
б) f(x) = cos(5x +3)
Задача №3. . Для функции f(x) = x 2 +4найти первообразную, график которой проходит через точку (0; 2).
Самостоятельная работа №6 «Определенный интеграл»
Пример №1.
Пример №2.
Пример №3.
Пример №4.
Пример №5.
Пример №6.
Пример №7.
Пример №8.
Задачи для самостоятельного решения.
Самостоятельная работа №7 «Вычисление площадей фигур»
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями [pic] , [pic] .
[pic]
Рисунок 2
Решение:
[pic] – парабола, вершина (m,n).
[pic]
(0;2) – вершина
-2 0
2
4
2
4
Найдём пределы интегрирования.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic] (кв.ед).
Задача для самостоятельного решения.
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями [pic]
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Самостоятельная работа №8 «Применение определенного интеграла»
Пример №1. Скорость движения точки [pic] м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, [pic] . Следовательно, [pic]
Пример №2. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
[pic]
Задачи для самостоятельного решения.
Задача №1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 3-ю секунду.
Задача №2. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,3м. Сила в 35 Н растягивает пружину на 0,001 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,2 до 0,35 м?
Самостоятельная работа №9 «Сочетания и размещения. Формула Бинома Ньютона»
Пример №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.
Ответ: 5040 способов.
Пример № 2. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.
Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет: [pic]
Ответ:151200 способов/
Пример № 3. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?
Решение: По формуле находим:
[pic]
Ответ: 120 комиссий.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?
Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если
цифра входит в изображение числа только один раз?
Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?
Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?
Задача №5. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?
Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?
Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?
Задача № 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Задача № 10. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса, трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?
Самостоятельная работа №10 «Элементы теории множеств»
Задачи:
1. Проиллюстрировать на содержательном примере некоммутативность операции разности множеств: А \ В В \ А.
2. Для множеств А, В, С из примера 1 определить содержательный смысл следующих множеств:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
3. Осуществить операции над множествами А, В U, если:
;.
4. Осуществить операции над множествами , , если .
5. Пусть , , . Найти:
а) ; б) ;
в); г) ;
д) .
6. Указать, какие из следующих утверждений справедливы:
а) ; б) ;
в) ; г) .
7. Пусть , , , . Найти множества:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) .
8. Пусть ;. Найти множества:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) .
9. Даны два произвольных множества А и В такие, что . Что представляют собой и ?
10. Даны два произвольных множества С и D такие, что . Что можно сказать о , ?
11. Дано произвольное множество Х. Найти множества:
а) ; б) ; в) .
12. Построить диаграммы Венна, иллюстрирующие множества:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) .
13. Построить диаграммы Венна, иллюстрирующие множества:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) .
Отметить точками внутри соответствующих областей диаграмм элементы исходных множеств U, A, B, C.
14. Пусть . Проиллюстрировать на примере конкретных множеств и с помощью диаграмм Венна справедливость следующих соотношений:
а) ; д) ;
б) ; е) ;
в) ; ж) ;
г) ; з) .
15. Пусть ;.
Подсчитать количество элементов в объединении множеств по формуле:
A B = A + B - A B и найти:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
