Урок 10
Тема: «Решение задач на применение теорем Чевы и Менелая».
Создать условия для того, чтобы учащиеся могли научиться применять теоремы Чевы и Менелая при решении задач
Основное содержание темы, термины и понятия
Треугольник, пропорциональные отрезки в треугольнике, теорема Чевы, теорема Менелая.
Планируемый результат
Предметные умения
Универсальные учебные действия
Предметные: усвоение систематических знаний о треугольниках, формулировать и доказывать теоремы Чевы и Менелая и использовать их при решении задач
Познавательные: умение понимать и использовать математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации.
Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.
Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры.
Личностные: формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.
Организация пространства
Формы работы
Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)
Образовательные ресурсы
1. Геометрия. 10–11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина (М.: Просвещение, 2015).
I этап. Актуализация опорных знаний.
Цель: систематизировать знания учащихся по теме
(Ф).
1). Проверить решение домашней работы. К доске приглашается двое учащихся для доказательства теорем Чевы и Менелая.
2). Пока учащиеся готовятся можно провести опрос по теории ранее повторенных тем.
II этап. Решение задач.
Цель: применять доказанные теоремы при решении задач
(Ф)
Решить задачи:
[pic]
Дано: ABC;
A1BC; B1 AC;
C1 AB. SABC= S,
PKN ограничен прямыми:AA1, BB1, CC1.
Найти: SPKN
Решение:
1 способ
Рассмотрим ACC1 и секущую BB1 (точки пересечения B1, K, B). Применим теорему Менелая [pic] .
[pic] ; [pic] из этого следует [pic] =3. Подставим в равенство
[pic] , отсюда, [pic]
Рассмотрим ABA1 и секущую CC1 (Точки пересечения C1, N, C) По теореме Менелая: [pic]
[pic] ; [pic] , отсюда, [pic] , подставим в равенство, [pic] , отсюда, [pic]
Рассмотрим BB1C и секущую AA1 (точки пересечения A, P, A1) По теореме Менелая: [pic]
[pic] ; [pic] , отсюда, [pic] . Подставим в равенство [pic] , отсюда, [pic]
Далее будем использовать свойство площадей частей треугольника
[pic] , где D [pic] AC [pic]
Действительно, [pic]
Обратимся к рисунку к задаче
В [pic] C1BC [pic] , следовательно, S3+S4=6S2
В [pic] AA1C [pic] , следовательно, S5 +S6 =6S4
В [pic] ABB1 [pic] , следовательно, S2+S7=6S6.
т.к. BA1 = 2 A1C, следовательно, SABA1 = 2SAA1C, следовательно, S1+S2+S3+S7=2S6+2S5+2S4 (1)
т.к. AC1 = 2BC1, следовательно, SACC1 = 2SBCC1, следовательно, S1+S5+S6+S7=2S2+2S3+2S4 (2)
т.к. SB1BC = 2SABB1 (B1C = 2 B1A)
S1+S3+S4+S5=2S2+2S6+2S7 (3)
Сложим равенства (1), (2), (3) почленно:
3S1+S2+2S3+S4+2S5+S6+2S7=4S2+4S4+2S3+2S5+4S6+2S7.
После упрощения получим:
3S1=3S2+3S4+3S6; S1=S2+S4+S6
Из доказанного, что S3+S4=6S2 следует, что [pic] , так же [pic] и [pic] , подставим,
S1= [pic] + [pic] + [pic] т.е. S1= [pic] (S2+S3+S4+S5+S6+S7)= [pic] , следовательно, S=7S1, где S=SABC; S1=SPKN.
Ответ: S=7S1
III этап. Решение задач.
Цель: уметь применять доказанные теоремы при решении задач.
(Г).
Для первой задачи предложить второй способ решения.
2 способ
По теореме Менелая: [pic] , следовательно, [pic] .
Значит, SC1KB = [pic] SC1BC
Аналогично SAB1P= [pic] SAB1B, SA1NC= [pic] SACA1
По условию A1C= [pic] CB, следовательно, SACA1= [pic] SABC, следовательно, SA1NC= [pic] SABC
AB1= [pic] AC, следовательно, SABB1= [pic] SABC, следовательно, SAPB1= [pic] SABC
C1B= [pic] AB, следовательно, SC1BC= [pic] SABC, следовательно, SC1BK= [pic] SABC
SABC=SACA1+SCC1B-SA1NC+SAPKC1+SKPN , пусть SABC=S.
S= [pic] S+ [pic] S- [pic] S+ [pic] S+SKPN
S= [pic] S+ SKPN, откуда SKPN=(1- [pic] )S= [pic] S; SKPN= [pic] S
Ответ: SKPN= [pic] S
IV этап. Итог урока. Рефлексия
(Ф/И).
- Какие теоремы доказали на уроке?
- Что вызвало наибольшее затруднение?
(И). Домашнее задание: п. 95, 96 учебника на стр.206-209, решить задачи:
1). Дано: ABCD – четырёхугольник. M – середина AD; N – середина BC. MP=PK=KN
Доказать: ABCD – трапеция;
[pic]
Дано: треугольник ABC
Доказать: биссектрисы ABC пересекаются в одной точке [pic]
