ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 10
Тема: Вероятности сложных событий
Цели: а) образовательная: Сформировать представление о сложных события. Усвоить новые научные понятия. Обучить новому способу вычислений.
б) воспитательная, развивающая: Развить воображение, сообразительность, познавательный интерес. Воспитать логическое мышление, внимание, словесно-логическую память.
Тип урока: Урок сообщения новых знаний.
Оборудование урока: Интерактивная доска, портативный компьютер, чертёжные принадлежности, конспект, книги.
ХОД УРОКА
1)Организационный момент: Приветствие группы, проверка дежурства, состояние кабинета, наличие студентов, готовность к занятиям.
2) Сообщение темы урока, постановка цели и задачи: Актуализация и мотивация познавательной деятельности студентов.
3) Изложение нового материала. Методика: Объяснение с элементами беседы.
Вероятности сложных событий находятся через вероятности простых событий с помощью теорем сложения и умножения вероятностей. [1]
Вероятность сложного события W, состоящего из двух независимых событий, равна произведению вероятностей WWiW2, где W и W2 - вероятности независимых событий. [2]
Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
[pic] ;
В – белый шар из второго ящика,
[pic] ;
Нам нужно, чтобы произошло одно из событий [pic] или [pic] . По теореме об умножении вероятностей
[pic] , [pic] .
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
[pic] .
Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.
Решение.
Пусть А – попадание первого стрелка, [pic] ;
В – попадание второго стрелка, [pic] .
Тогда [pic] - промах первого, [pic] ;
[pic] - промах второго, [pic] .
Найдем нужные вероятности.
а) АВ – двойное попадание, [pic]
б) [pic] [pic] – двойной промах, [pic] .
в) А+В – хотя бы одно попадание,
[pic] .
г) [pic] – одно попадание,
[pic] .
Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.
Решение.
А – формула содержится в первом справочнике;
В – формула содержится во втором справочнике;
С – формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
1. [pic]
2. [pic] .
3. [pic]
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий [pic] , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
[pic]
Если события [pic] имеют одинаковую вероятность [pic] , то формула принимает простой вид:
[pic] .
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события [pic] (попадание первого орудия), [pic] (попадание второго орудия) и [pic] (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям [pic] , [pic] и [pic] (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:
[pic] , [pic] , [pic]
Искомая вероятность [pic] .
Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: [pic]
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна [pic]
Искомая вероятность [pic]
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.
Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение. Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула [pic] .
Приняв во внимание, что, по условию, [pic] (следовательно, [pic] ), получим
[pic]
Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:
[pic]
Итак, [pic] , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.
4) Закрепление изученного материала. Методика:
ЗАДАНИЕ. Трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0,8, 0,7 и 0,6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один учащийся решит задачу.
5) Подведение итогов урока: Вывод о достижении цели занятия.
6) Задание для самостоятельной работы студентов во внеурочное время:
Л2. Глава 3 П. 1-3
