Урок 9
Тема: «Теоремы Чевы и Менелая».
Создать условия для того, чтобы учащиеся могли доказать и научиться применять теоремы Чевы и Менелая
Основное содержание темы, термины и понятия
Треугольник, пропорциональные отрезки в треугольнике, теорема Чевы, теорема Менелая.
Планируемый результат
Предметные умения
Универсальные учебные действия
Предметные: усвоение систематических знаний о треугольниках, формулировать и доказывать теоремы Чевы и Менелая и использовать их при решении задач
Познавательные: умение понимать и использовать математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации.
Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.
Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры.
Личностные: формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.
Организация пространства
Формы работы
Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)
Образовательные ресурсы
1. Геометрия. 10–11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина (М.: Просвещение, 2015).
I этап. Актуализация опорных знаний.
Цель: выявить затруднения учащихся
(Ф).
I. Проверить решение домашней работы. К доске приглашается учащийся.
II этап. Лекция
Цель: систематизировать теоретические знания при доказательстве теорем Чевы и Менелая
(Ф)
Чева Джованни (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.
Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.
Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство [pic]
[pic]
Доказательство. Проведём CD || AB. Рассмотрим треугольник A1BC1 и
треугольник A1CD.
Угол DA1C=углу C1A1B (вертикальные)
Угол D = углу C1 (накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)
Следовательно, треугольник A1BC1 подобен треугольнику A1CD. Стороны подобных треугольников пропорциональны [pic]
Рассмотрим треугольник B1AC1 и треугольник B1CD
Угол DB1C = углу AB1C1 (Вертикальные)
Угол D = углу C1 (Накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)
Следовательно, треугольник B1AC1 подобен треугольнику B1CD. Следовательно, [pic]
У нас получилось два равенства [pic] и [pic]
Перемножим почленно эти равенства: [pic] . Получим
[pic]
Воспользуемся свойством дробей: [pic]
(Например [pic] )
Имеем [pic] . Теорема доказана. [pic]
Доказательство остаётся в силе и в том случае, когда все три точки A1, B1, C1 лежат на продолжениях сторон треугольника ABC.
Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть ABи CD – ненулевые коллинеарные векторы. Если [pic] , то будем писать: [pic] . Значит, число k равно отношению длин векторов [pic] и [pic] , взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:
[pic]
Докажем обратную теорему.
Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A1, B1, C1. Если выполняется равенство [pic] , то эти точки лежат на одной прямой.
Допустим, что выполнено равенство [pic] , и пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2. Согласно прямой теореме, [pic] . Сравнивая это соотношение с данным, получим, что [pic] .
Прибавим к обеим частям равенства 1. [pic] , получим: [pic] т.е. [pic] , откуда, т.е. [pic] C1 и C2 совпадут.
Теорема Чевы
Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и [pic]
только тогда, когда [pic] [pic]
Доказательство. Пусть прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне [pic] ABC (рисунок б).
Применим теорему Менелая к [pic] BCC1 и секущей AA1, получим: [pic]
Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим: [pic]
Перемножим почленно эти равенства
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] Что и требовалось доказать.
Замечание. Если AA1, BB1, CC1 параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.
Для решения задач чаще применяется обратная теорема.
Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Если выполняются равенство [pic] , то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.
Доказательство. Пусть AA1 [pic] BB1=O. Проведём прямую CO, С2=CO [pic] AB.
По теореме Чевы [pic] . Учитывая условие имеем: [pic] , откуда [pic] =k [pic] , [pic] =k [pic] . Вычтем второе равенство из первого [pic] . По свойству векторов получим [pic] =k [pic] =
= - k [pic] .
Т.к. k [pic] -1 (иначе бы [pic] , но точки A и B не совпадают), следовательно, [pic] , т.е. точки C1,C2 совпадают. Но это и означает, что прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке.
Аналогично доказывается, что если AA1||BB1, то и CC1||BB1.
III этап. Решение задач.
Цель: уметь применять доказанные теоремы при решении задач.
(И/Ф)
Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.
Задача №1:
Рассмотрим ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая: [pic] . т.к. [pic] , [pic] , тогда [pic] , то [pic] [pic] , следовательно, [pic]
Ответ: = [pic] [pic]
IV этап. Итог урока. Рефлексия
(Ф/И).
- Какие теоремы доказали на уроке?
- Что вызвало наибольшее затруднение?
(И). Домашнее задание: выучить теоремы п. 95, 96 учебника на стр.206-209, решить № 851,852
