Геометрия – 9 класс Урок № 14
Тема: «Уравнение прямой».
Цели урока:
Образовательные:
вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач;
закрепить умения и навыки по теме «Уравнение окружности»;
подготовка к ГИА.
Уметь:
– Распознать уравнение окружности и уравнение прямой по предложенному уравнению, научить обучающихся составлять уравнение окружности и уравнение прямой по готовому чертежу, строить окружность и прямую по заданному уравнению.
Знать:
- Формулы уравнений окружности и прямой и уметь их применять при решении задач.
Воспитательные:
- Формирование критического мышления и навыков работы в группе.
- Содействовать в ходе урока воспитанию решительности, смелости при выполнении заданий, самостоятельности.
Развивающие:
- Развитие памяти, логического мышления обучающихся при решении задач.
- Развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
Уметь:
– Видеть проблему и наметить пути её решения.
– Кратко излагать свои мысли устно и письменно.
Тип урока: усвоения новых знаний.
Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, экран.
План урока.
Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока. Отчет старосты класса об отсутствующих. Проверка готовности к класса к уроку.
II. Актуализация опорных знаний.
Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.
[pic]
[pic]
Фронтальный опрос
[pic]
Математический диктант.
Вариант I
1. Лежит ли точка А (2; –1) на окружности, заданной уравнением (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25?
2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 3.
3. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С (–2; 3).
4. Найдите длину вектора {–12; 5}.
5. Найдите координаты середины отрезка PQ, если Р (5; –3); Q (3; –7).
6. Найдите координаты вектора , если А (2; –5), В (–3; 4).
Вариант II
1. Лежит ли точка А (2; –1) на прямой, заданной уравнением 2х – 3y – 7 = 0?
2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 2.
3. Напишите уравнение окружности с центром в точке Р (–2; –1), если она проходит через точку Q (1; 3).
4. Найдите расстояние между точками А (–1; 3) и В (2; –1).
5. Найдите координаты вектора, равного сумме векторов и, если {–12; 5}, {7; –3}.
6. Найдите координаты вектора , если С (–1; 6), D (3; –2).
III. Изучение нового материала.
Для выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.
[pic]
Рис. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку
Пусть [pic] – это произвольная точка на прямой [pic] (см. Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку [pic] (точка [pic] имеет координаты [pic] , точка [pic] имеет координаты [pic] ). Тогда [pic] , отсюда следует, что [pic] , то есть справедливо равенство:
[pic] - это равенство и есть уравнением прямой.
Возведем в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:
[pic]
[pic]
[pic]
Введем новые обозначения:
[pic]
[pic]
[pic]
Следовательно, уравнение прямой будет иметь следующий вид:
[pic]
[link]
Дано: точка [pic] ; точка [pic] .
Найти: уравнение серединного перпендикуляра к отрезку [pic] .
[pic]
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Решение
Пусть [pic] (см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку [pic] . Тогда [pic] , отсюда следует, что [pic] , то есть справедливо равенство:
[pic]
Подставим в данное равенство соответствующие координаты:
[pic]
[pic]
[pic]
Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:
[pic]
Ответ: [pic] .
Уравнение прямой в отрезках
Пусть [pic] – уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси [pic] и [pic] в точках [pic] и [pic] . Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:
[pic]
Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. В данном случае отрезок [pic] , а отрезок [pic] .
Пример
Дано: точка [pic] ; точка [pic] .
Найти: уравнение прямой [pic] .
Решение
Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:
[pic]
В данном случае: [pic] ; [pic] . Подставляем эти значения в уравнение:
[pic]
Ответ: [pic] .
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Дано: точки [pic] и [pic] на наклонной прямой [pic] (см. Рис. 11).
Требуется: вывести уравнение наклонной прямой [pic] .
[pic]
Рис. 11. Наклонная прямая, проходящая через две точки
Решение
Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:
[pic]
Получаем систему уравнений:
[pic]
Вычтем из первого уравнения второе:
[pic]
Необходимо найти [pic] , для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:
[pic]
Вычтем из первого уравнения второе:
[pic]
[pic]
Следовательно:
[pic]
[pic]
Ответ: [pic] , где [pic] и [pic] .
IV . Решение задач.
1. Учитель объясняет решение задачи:
напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки Р (2; 1) и Q (–3; –1).
Решение
Уравнение прямой PQ имеет вид ax + by + c = 0. Так как точки P и Q лежат на прямой PQ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:
[pic]
2cx – 5cy + c = 0 |: c [pic] 0, тогда прямая PQ задана уравнением 2x – 5y + 1 = 0.
Ответ: 2x – 5y + 1 = 0.
2. Самостоятельно по учебнику обучающиеся разбирают решение задачи № 972 (а), с. 245.
3. Решить задачу № 973 на доске и в тетрадях.
4. Решить задачу № 975.
Решение
Пересечение прямой с осью OX: y = 0, тогда 3x – 4 ∙ 0 + 12 = 0; 3x = –12; x = –4; точка А (–4; 0);
пересечение прямой с осью OY: x = 0, тогда 3 ∙ 0 – 4y + 12 = 0; –4y = –12; y = 3; точка В (0; 3).
5. Решить задачу № 976 (повторить при решении способ сложения систем уравнений):
[pic]
[pic]
Точка пересечения прямых D (3; –2).
Ответ: (3; –2).
6. Решить задачу № 977.
Решение
Прямая, проходящая через точку М (2; 5) и параллельная оси OX, имеет вид: y = 5; прямая, параллельная оси OY, записывается уравнением: х = 2.
7. Самостоятельное решение обучающимися задачи № 978.
8. Решить устно задачи:
1) Окружность задана уравнением (x – 1)2 + y2 = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.
Решение
Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.
2) Окружность задана уравнением (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.
Решение
Центр А (–1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX.
V. Подведение итогов урока.
С чем мы сегодня познакомились на уроке?
Назовите общий вид уравнения прямой.
Какое уравнение имеет прямая параллельная ОХ, ОУ?
VI. Домашнее задание: прочитать п. 95, ответить на вопросы с.249, выполнить № 972(а,б), № 979.
17
