Решение задач «Треугольники»
Цели и задачи урока:
образовательные:
обобщить, закрепить и углубить знания по изученной теме;
формировать умение обучаемых доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, применять свойства равнобедренного треугольника;
отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки;
развивающие:
воспитывающие:
Оборудование:
наглядный материал (готовые чертежи);
карточки с задачами для индивидуальной работы на доске;
таблицы с признаками равенства треугольников.
Тип урока: урок закрепления полученных знаний.
Ход урока
І. Организационный момент.
Учитель:
- Тема урока: «Решение задач по теме «Треугольники»». Мы сегодня обобщим и систематизируем знания по данной теме и наша цель: подготовиться к контрольной работе, которая будет на следующем уроке.
- Откройте дневники и запишите домашнее задание.
- Обратите внимание:
I уровень: № 120(б), 121;
II – III уровень: №160 (б), 162(б).
II. Актуализация опорных знаний.
1. У доски двое учащихся решают задачи по карточкам.
Карточка № 1. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану АА1 к боковой стороне ВС.
Карточка № 2. Дано: АО = BO, СО = DO, CO = 5см, ВО = 3см, BD = 4см.
1)Докажите, что [pic] САО = [pic] DBO.
2)Найдите периметр треугольника САО.
[pic]
[pic]
2. Для остальных учащихся класса организована фронтальная работа.
Цель: повторить основные вопросы теории темы «Равнобедренный треугольник и его свойства» с помощью теста.
Теоретический тест. [1]
1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
Ответ: б), если медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника.
2) Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
Ответ: а), б), и в), равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому в равностороннем треугольнике все углы равны.
3) В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
Ответ: б), высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника.
4) Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
Ответ: а)
5) Если треугольник равнобедренный, то
а) он равносторонний;
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) ответы а) и б) неверны.
Ответ: в), т.к. равнобедренный треугольник не всегда является равносторонним; медиана, проведённая к боковой стороне равнобедренного треугольника, не является биссектрисой и высотой, если треугольник не равносторонний.
6) В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
Ответ: в).
Проверка ответов.
Учитель:
- Мы с вами повторили материал темы «Равнобедренный треугольник и его свойства», а теперь повторим признаки равенства треугольников. (Обратить внимание обучающихся на таблицы с признаками равенства треугольников)
3. Задачи в рисунках (на доске).
Учитель:
- Определите, являются ли равными треугольники на рисунках.
- Сколько пар равных элементов должно быть в равных треугольниках?
Постепенно заполняется таблица на доске:
II признак
III признак
[pic]
[pic]
4. Проверяются работы учащихся, выполнявших задания по карточкам. Они задают друг другу по теоретическому вопросу.
Решение (карточка №2).
1) [pic] САО = [pic] DBO по двум сторонам и углу между ними (АО=BO, СО=DO, [pic] АОС= [pic] BOD – вертикальные углы);
2) РСАО = СА + СО + АО;
3) CА =ВD = 4см, АО = ВО = 3см;
4) РСАО = 4 + 5 + 3 = 12(см).
Ответ: 12см.
III. Выполнение заданий учебника.
Учитель:
- А теперь, ребята, мы поработаем все вместе, в тетрадях.
№160(а). Прямая а проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что каждая точка прямой а равноудалена от точек A и B.
Учитель:
- Выполните рисунок к данной задаче. (Пройти по рядам, посмотреть, помочь).
- Чтобы у всех было единое обозначение, точку на прямой обозначим буквой К.
- Как вы понимаете: точка равноудалена от точек А и В?
- А теперь проверим, правильно ли вы выполнили рисунок. (Раскрыть доску с рисунком)
[pic]
Доказательство:
[pic] АОК = [pic] BОК по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО, т.к. О - середина AB, [pic] АОК = [pic] ВОК, т.к. а [pic] АВ, ОК – общая сторона), тогда АК=ВК.
Учитель:
- Так что мы с вами доказали?
- Т.о. мы доказали, что любая точка равноудалена от точек A и B.
IV. Физминутка.
V. Тестирование. (Дифференцированные задания)
Учитель:
- Я вам предлагаю тест трёх уровней. Ответы на вопросы теста вы должны внести в карту ответов. Обратите внимание: карт ответов у вас два, т.е. вам необходимо продублировать ответы. Один вы сдадите мне, а другой оставите себе для самопроверки. Время выполнения теста 5 минут.
Карта ответов.
УРОВЕНЬ __I_____ Вариант______
Фамилия, имя___________________
Класс 7 А
1
2
3
Баллы
1
2
2
Вариант
ответа
Оценка
(У II-III уровней за первое задание два балла)
I уровень.
[pic]
Вариант 2.
1. В треугольниках ABD и СМН (рис.5,а)
AB = СМ, AD =CН.
[pic] ABD = [pic] CМН, если …
а) [pic] В = [pic] М; б) [pic] А = [pic] Н; в) [pic] А = [pic] С
2. АС – биссектриса [pic] BAD (рис.5,в).
[pic] ВСА = = [pic] DCA. [pic] АВС = [pic] ADC
по …
а) двум сторонам и углу между ними;
б) стороне и прилежащим к ней углам;
в) трём сторонам.
3. [pic] BCD =100˚ (рис.5, д). Найдите [pic] ABC.
Ответы: а) 40˚; б) 80˚; в) 100˚.
1. В треугольниках ABF и CDK (рис.5,б)
[pic] A = [pic] C, AF= CК.
[pic] ABF = [pic] CDK, если …
а) [pic] В = [pic] D; б) [pic] F = [pic] К; в) [pic] F = [pic] D.
2. DC = BC, AB = AD (рис. 5,г)
[pic] ВAС = [pic] DAC по…
а) двум сторонам и углу между ними;
б) стороне и прилежащим к ней углам;
в) трём сторонам.
3. [pic] BAD =110˚ (рис.5,е). Найдите [pic] ABC.
Ответы: а) 110˚; б) 35˚; в) 70˚.
II уровень.
[pic]
Вариант 2.
1. В треугольниках АВС и ADC (рис. 6, а) [pic]
[pic] 1 = [pic] 2, AD = 5cм, DC = 3см.
Найдите AB.
Ответы: а) 5см; б) 3см; в) недостаточно данных.
2. Периметр равнобедренного треугольника равнобедренного треугольника равен 28см, а его боковая сторона равна 9см.
Найдите длину основания треугольника.
Ответы: а) 10см; б) 14,5см; в) 29см.
3. [pic] BCD =115˚ (рис.6, в). Найдите [pic] ABC.
Ответы: а) 50˚; б) 65˚; в) 75˚.
1. В треугольниках DEF и DHF (рис. 6, б)
[pic] 1 = [pic] 2, FE = FH, FH = 5cм, DE=10cм
Найдите DH.
Ответы: а) 6см; б) 10см; в) недостаточно данных.
2. Основание равно 12см, а его периметр равен 38см.
Найдите боковые стороны треугольника.
Ответы: а) 12см, 12см; б) 11см, 15см;
в) 13см, 13см.
3. [pic] BAD =124˚ (рис.6, г). Найдите [pic] ACB.
Ответы: а) 56˚; б) 68˚; в) 28˚.
III уровень.
[pic]
Вариант 2.
1. В треугольниках АВС и А1В1С1
[pic] А = [pic] А1, AВ = А1В1, АС = А1С1.
На сторонах BC и В1С1 отмечены точки К и К1, такие, что СК = С1К1. АВ = 10cм, ВС = 13см, С1К1= 6см.
Найти В1К1.
Ответы: а) 10см; б) 7см; в) 19см.
2. Периметр треугольника ABC равен 39см. Одна из сторон на 4см больше второй и на 2см больше третьей стороны. Найдите стороны [pic] ABC.
Ответы: а) 9см, 13см, 17см;
б) 11см, 13см, 15см;
в) 10см, 12см, 17см.
3. В равнобедренном треугольнике DEF основание DF = 12cм, EH – высота (рис. 7, а).
Найдите DH.
Ответы: а) 6см; б) 12см; в) 24см.
1. В треугольниках АВС и А1В1С1
[pic] В = [pic] В1, АВ = А1В1, ВС = В1С1. На сторонах АC и А1С1 отмечены точки D и D1 так, что АD = А1D1. АВ = 12см, АС = 9см, D1С1 = 3см. Найти А1D1.
Ответы: а) 12см; б) 9см; в) 6см.
2. Найдите стороны треугольника MNP, если его периметр равен 63см, одна из сторон на 3см меньше второй и в 2 раза меньше третьей.
Ответы: а) 15см, 18см, 30см;
б) 12,2см, 24,4см, 26,4см;
в) 14см, 17см, 28см.
3. В равнобедренном треугольнике KLM c основанием КМ боковая сторона равна 9см, а периметр – 28см. LН – биссектриса треугольника (рис7,б). Найдите НM.
Ответы: а) 14см; б) 5см; в) 9см .
Учитель:
- Время, отведённое на тесты, закончилось. Передайте, пожалуйста, свои карты ответов. Не забудьте продублировать результаты теста. А сейчас проверьте свои работы по предложенной таблице. Подсчитайте сумму баллов. Поднимите руку, кто оценил свою работу на «5», кто – на «4», кто – на «3».
6 баллов – «5»;
5 баллов – «4»;
3 балла – «3»;
0-2балла – «2».
Ответы на тесты:
I уровень
вариант 1
I уровень
вариант 2
II уровень
вариант 1
II уровень
вариант 2
III уровень
вариант 1
III уровень
вариант 2
1
в
б
в
б
б
в
2
б
в
а
в
б
а
3
б
в
б
б
а
б
VI. Практическое применение знаний.
Учитель:
- После следующей задачи вы должны ответить на вопрос: « Где на практике применяются признаки равенства треугольников?».
[pic]
- Представьте, что вы на берегу озера и вам нужно определить ширину озера с помощью знаний, полученных на уроках геометрии. В точках B,C,O, D,E и F стоят колышки, а в точке A – дерево. Нам необходимо найти длину расстояния AB, а расстояния EF мы можем измерить с помощью рулетки. Как, зная эти расстояния, найти расстояние AB, если OC=OD, OB=OE?
Решение:
- Чтобы найти расстояние AB надо доказать:
1. [pic] СОВ = [pic] DOE;
2. [pic] AОC = [pic] FOD.
1) [pic] СОВ = [pic] DOE по двум сторонам и углу между ними (ОС = OD, OB= OE, [pic] COB = [pic] DOE – вертикальные углы).
2) [pic] AOC = [pic] FOD по стороне идвум прилежащим к ней углам (ОС = OD, [pic] ACO = [pic] FDО из равенства треугольников СОВ и DОЕ, [pic] СOA = [pic] DOF- вертикальные углы).
3) АВ = АС – ВС, F E = DF – DE, но АС = FD, т.к. [pic] AОC = [pic] FOD, BC = ED , т.к. [pic] СОВ = [pic] DОЕ, тогда АВ = EF.
Где на практике применяются признаки равенства треугольников?
VI. Подведение итогов урока.
Цель: развивать способность учащихся к анализу и к критическому отношению при решении задач, способность к содержательному обобщению и рефлексии.
Работа проходит в форме беседы.
- Ребята, чем мы сегодня занимались на уроке?
- Какие знания по теме «Треугольники» вы сегодня применяли при решении задач?
- Почему так важно знать признаки равенства треугольников? (С помощью признаков равенства треугольников решаются также алгебраические, географические, физические задачи.)
