(u + v)' = u' + v' ' =
(u ∙ v)' = u' ∙ v + v' ∙ u
(cos x)' = - sin x
(sin x)' = cos x
=
Производная сложной функции (f (g(x)))' = f '(g(x)) ∙ g'(x)
Геометрический смысл производной функции y = f (х) в точке x0
f '(x0) = k = tga = ,
где k - угловой коэффициент касательной, tga - тангенс угла между касательной и осью х, числа (х1, у1), (х2, у2) - координаты двух точек касательной.
Применение производной для исследования функции:
Функция возрастает - производная функции положительна.
Функция убывает - производная функции отрицательна.
Исследование функции на монотонность и экстремумы:
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
2. Найти стационарные точки функции (где производная равна нулю) и критические точки функции (где производная не существует).
3. Отметить на оси найденные точки и определить знаки производной на промежутках.
4. Определить виды точек экстремума и промежутки монотонности функции.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b]
1. Найти производную функции.
2. Найти стационарные и критические точки функции, и отобрать те, которые принадлежат данному отрезку[a;b].
3. Найти значения функции в отобранных точках и на концах отрезка [a;b],
затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Простейшие тригонометрические уравнения.
sinx = a
1. если |a| > 1, то корней нет,
2. если a= ± 1 или если a = 0, то частные случаи:
если sin x = 0, то x = πn, n
если sin x = 1, то x = + 2πn, n
если sin x = - 1, то x = - + 2πn, n
3. если |a| < 1, то серия корней: x = (-1)narcsina + πn, n
cosx = a
1. если |a| > 1, то корней нет,
2. если a= ± 1 или если a = 0, то частные случаи:
если cos x = 0, то x = + πn, n
если cos x = 1, то x = 2πn, n
если cos x = - 1, то x = π + 2πn, n
3. если |a| < 1, то серия корней: x = arccosa + 2πn, n
tgx = a
для любого значения а серия корней:x = arctga + πn, n
ctgx = a
для любого значения а серия корней:x = arcctga + πn, n
Основные формулы тригонометрии
sin2х + cos2х = 1, sin 2х = 2sinхcosх
cos 2х = cos2х – sin2х, tg 2х =
tgx·ctg x= 1, 1+tg2x =
sin2x = , cos2x =
Формулы приведения.
f (πn + a) = ± f (a)
f (πn - a) = ± f (a)
f = ± g (a)
f = ± g (a)
1. Если угол имеет вид (πn±a), то исходная функция остается неизменной. Если угол имеет вид , то исходная функция заменяется соответствующей ей кофункцией (то есть косинус на синус, синус на косинус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс), n.
2. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый.
Степени и корни.
a0 = 1;
a1 = a;
a-n = ; [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Решение уравнения xn = a
1. Если n – нечетное, то x = .
2. Если n – четное, то:
а < 0 – нет корней,
а = 0 – один корень х=0,
а > 0 – два корня:
Решение уравнения
1. Если n – нечетное, то x = an
2. Если n – четное, то:
а < 0 – нет корней,
а ≥ 0 – корень x = an.
