- Сколько существует способов задания плоскости?
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, сверяясь со слайдом 9
Критерии:
всё правильно – 3 балла,
1 ошибка– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
- Почему штатив фотоаппарата имеет три ножки, а не более? (Через три точки можно провести единственную плоскость)
Задание 2. Ответьте на вопросы
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?
а) б) в)
г) д) е)
Ответы: а),б), в), г)- одна; д) – 2: е) - 3
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение по чертежу на слайде. Слайд 10.
Критерии:
всё правильно – 3 балла,
1 ошибка– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 3 Определите: верно, ли утверждение?
1. Любые три точки лежат в одной плоскости. Да
2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
Нет
3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
Нет
4. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
Да
5. Пять точек не лежат в одной плоскости. Могут ли какие – нибудь четыре из них лежать на одной прямой?
Нет
6. Через середины сторон квадрата проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью квадрата?
Да
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение, сверяясь со слайдом 11.
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1 ошибка – 2 балла,
2 ошибки – 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 4 (3 балла) Три вершины параллелограмма лежат в некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и его четвертая вершина лежит в этой плоскости?
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, сверяясь со слайдом 12.
Задание 5 - дополнительное (4 балла) Докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.
Вычислите площадь четырехугольника, если АС ⊥ ВD, АС = 10см, ВD = 12см.
Доказательство:
АС ВD α: АС α, ВD α
А, С АС, В, D ВD А, С α; В, D α.
Решение
Блок– 2. Параллельные прямые в пространстве.
Цель блока:
- повторить и обобщить знания по теме параллельные прямые в пространстве;
- систематизировать полученные знания.
Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.
Учащиеся вспоминают учебный материал (при необходимости пользуются учебником) и составляют опорный конспект.
- Взаимное расположение в пространстве двух прямых. Слайд 13.
а в а в а и в скрещивающиеся
- Какие прямые в пространстве называются параллельными? (Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются)
- Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве. (Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны).
- Сформулируйте свойство параллельных прямых в пространстве. (Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну)
- Какие прямые в пространстве называются параллельными? (Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не пересекаются)
Один ученик доказывает признак параллельности прямых в пространстве (Слайд 14), второй ученик доказывает свойство параллельных прямых в пространстве (Слайд 15) по чертежу на слайде.
После обсуждения теоретических вопросов закрепление полученных знаний.
Задание 1 Вставьте пропущенные слова (Слайд 16)
1) Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они … на одной прямой. (не лежат)
2) Если … точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. (две)
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую … (прямую)
4) Прямые являются … в пространстве, если они не пересекаются и … в одной плоскости. (параллельными,лежат)
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке В а, то прямые а и b …(скрещивающиеся)
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение, сверяясь со слайдом 16
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1 ошибка– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?
1. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. Нет
2. Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
Нет
3. Прямая m параллельна прямой n, прямая m параллельна плоскости α. Прямая n параллельна плоскости α.
Да
4. Все прямые пересекающие стороны треугольника лежат в одной плоскости.
Да
5. Прямая АВ и точки С, D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
Нет
6. Прямые АВ и СD пересекаются. Могут ли прямые АС и ВD быть скрещивающимися?
Нет
7. Прямые а и в не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и в?
Нет
8. Прямая а, параллельная прямой в, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой в. Может ли прямая с лежать в плоскости α?
Нет
9. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли на плоскости α прямые, непараллельные а?
Да
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, сверяясь со слайдами 17, 18
Критерии:
всё правильно – 3 балла,
1, 2 ошибки– 2 балла,
3,4 ошибки– 1 балл,
более 4 ошибок – 0 баллов.
Задание 3 Тест.
1.Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Что можно сказать о прямых а и b?
а) взаимное расположение точно определить нельзя; +
б) скрещиваются или параллельны;
в) параллельны или пересекаются;
г) совпадают;
д) пересекаются или скрещиваются.
2. Выберите верное утверждение.
а) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек;
б) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны; +
в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны;
3. Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:
а) прямые а и с пересекаются;
б) прямая с лежит в плоскости α;
в) прямые а и с скрещиваются;
г) прямая b лежит в плоскости α;
д) прямые а и с параллельны. +
4. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?
а) скрещиваются или пересекаются;
б) пересекаются или параллельны;
в) скрещиваются или параллельны; +
г) только скрещиваются;
д) только параллельны.
5. Если две прямые не скрещиваются, то они
а) лежат в одной плоскости; +
б) только пересекаются;
в) совпадают;
г) только параллельны.
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение.
Критерии:
всё правильно – 3 балла,
1 ошибка– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 4 Задача (3 балла)
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение, сверяясь со слайдом 19.
Задание 5 - дополнительное Задача (4 балла)
Отрезок АВ не пересекается с плоскостью α. Через концы отрезка АВ и его середину точку М проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А1, В1 и М1.
а) Докажите, что точки А1, В1 и М1 лежат на одной прямой.
б) Найдите АА1, если ВВ1 = 12см, ММ1= 8см.
Решение.
Блок – 3. Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости.
Цель блока:
- повторить и обобщить знания по теме взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости;
- систематизировать полученные знания.
Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.
Учащиеся вспоминают учебный материал (при необходимости пользуются учебником) и составляют опорный конспект.
- Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости. (Слайд 20.)
а α а α а α
- Какие прямая и плоскость называются параллельными? (Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются)
- Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости в пространстве. (Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.)
Ученик доказывает признак параллельности прямой и плоскости в пространстве по чертежу на слайде (Слайд 21, 22.) .
После обсуждения теоретических вопросов закрепление полученных знаний.
Задание 1 Тест. Учащиеся получают задание и выполняют его самостоятельно.
1. Прямые а и b параллельны одной плоскости . Как расположены прямые а и b относительно друг друга?
а) параллельны +
б) пересекаются +
в) скрещиваются +
2. Прямые а и b параллельны. Через каждую из них проведено по плоскости, которые пересекаются по прямой с. Как расположена прямая с по отношению к прямым а и b?
а) параллельно +
б) пересекает
в) перпендикулярно
3. Прямая а лежит в плоскости. Как расположена относительно плоскости прямая b, если b параллельна а?
а) перпендикулярно
б) параллельно +
в) пересекает
4. Сколько плоскостей можно провести через две данные точки?
а) одну
б) две
в) много +
5. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая прямая
а) параллельна плоскости
б) пересекает плоскость +
в) перпендикулярна плоскости
7. Точка А принадлежит плоскости α, точка В не принадлежит плоскости α. Принадлежит ли плоскости середина отрезка АВ.
а) да
б) нет +
в) не всегда
8. Прямая а параллельна прямой в, а прямая в параллельна плоскости . Взаимное расположение прямой а и плоскости .
а) параллельны +
б) пересекаются
в) скрещиваются
г) совпадают +
Учащиеся выполняют тест. Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди устно объясняют свое решение.
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1, 2 ошибки– 2 балла,
3, 4 ошибки– 1 балл,
более 3 ошибок – 0 баллов.
Задание 2 (3 балла)
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение, сверяясь со слайдом 23
Задание 3 (3 балла) Плоскость проходит через сторону АС D АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE çç α.
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение, сверяясь со слайдом 24.
Задание 4 (3 баллов) - дополнительное
Задание 5 (4 баллов) - дополнительное
Блок – 4. Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей. (Слайд 26.)
Цель блока:
- повторить и обобщить знания по теме взаимное расположение в пространстве двух плоскостей;
- систематизировать полученные знания.
Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.
Учащиеся вспоминают учебный материал (при необходимости пользуются учебником) и составляют опорный конспект.
- Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей. (Слайд 25.)
α β
α и β - совпадают α β
- Какие плоскости называются параллельными? (Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются)
- На практике в столовой, где встречаетесь с параллельными плоскостями? (Нарезка хлеба, при нарезке хлеба плоскость ножа остается в параллельных плоскостях. Газовая плита и кастрюли стоящие на ней. Плоскость газовой плиты должна быть параллельна плоскости пола (т.к. горизонтальной). Если это не будет выполнятся, жидкость из кастрюли будет выливаться.)
- Сформулируйте признак параллельности плоскостей в пространстве. (Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.)
- Сформулируйте теорему о существовании плоскости, параллельной данной плоскости. (Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.)
Ученики доказывают признак параллельности плоскостей в пространстве (Слайд 26.), теорему о существовании плоскости, параллельной данной плоскости (Слайд 27, Слайд 28) по чертежу на слайде
- Сформулируйте свойства параллельных плоскостей.
1. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения параллельны.
2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
По чертежу на слайдах 29, 30 два ученика доказывают свойства параллельных плоскостей.
После обсуждения теоретических вопросов закрепление полученных знаний.
Задание 1 Тест. Учащиеся получают задание и выполняют его самостоятельно.
1. Плоскость α параллельна прямой в, а прямая в параллельна плоскости . Взаимное расположение плоскостей α и .
а) параллельны +
б) пересекаются +
в) совпадают +
2. Плоскость пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а и в. Взаимное расположение плоскостей α и β.
а) параллельны +
б) пересекаются +
в) совпадают
3. Каждая из плоскостей α и β параллельна плоскости . Взаимное расположение плоскостей α и β.
а) параллельны +
б) пересекаются
в) совпадают
4. Каждая из плоскостей α и β параллельна прямой а. Взаимное расположение плоскостей α и β.
а) параллельны +
б) пересекаются +
в) совпадают +
Учащиеся выполняют тест. Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди устно объясняют свое решение.
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1 ошибки– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 2 Верно ли, что
1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны. Да
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
Нет
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны?
Нет
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.
Да
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
Да
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то она пересекает и другую.
Нет
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
Да
8. Отрезки прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Нет
Учитель проверяет выполнение работы, обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, сверяясь с экраном. (Слайд 31).
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1, 2 ошибки– 2 балла,
3, 4 ошибки– 1 балл,
более 4 ошибок – 0 баллов.
Задание 3 Задача 1. (3 балла) Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку А.
Так как в плоскости АВС через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную ВС, а в плоскости АВD через точку А лишь одну прямую, параллельную BD, то задача имеет единственное решение. Следовательно, через каждую точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости.
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение, сверяясь со слайдом 32.
Задание 4 Задача 2. (3 балла) Доказать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют свое решение, сверяясь со слайдом 33.
Задание 5- дополнительное. Задача 3. (4 балла) Через данную прямую а провести плоскость, параллельную другой данной прямой b.
2-й случай. Прямые а и b параллельны.
В этом случае задача неопределенна: всякая плоскость, проходящая через прямую а, будет параллельна прямой b.
Учащиеся подсчитывают свои баллы и выставляют себе оценки.
Критерии:
35 – 46 баллов - 5,
24 - 34 баллов - 4,
9 – 23 баллов - 3.
Тетради сдаются учителю для коррекции оценок. Учащиеся в это время выполняют самостоятельную работу.
3. Контроль знаний и способов действий
Самостоятельная работа
Задание общее, выполняется на подготовленных подписанных листочках.
1. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость α? (Нет, т.к. средняя линия трапеции параллельна основаниям. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости - признак параллельности прямой и плоскости в пространстве.)
2. Докажите, что если данная прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна линии их пересечения
.
3.
Тем временем учитель проверяет работы учащихся и выставляет оценки. Оценки за самостоятельную работу объявляются на следующем уроке.
4. Подведение итогов урока.
Молодцы! Трудились с полной отдачей, ощутили радость своего труда.
Оценки получили: «5» - …, «4» - …, «3» - ….
5. Рефлексия.
У каждого ученика в начале урока лежали на столах смайлики. В конце урока они сдают учителю тот смайлик, который соответствовал их настроению.
Мне ничего не понятно.
У меня есть вопросы.
[pic]
[pic]
[pic]
Перед вами лежат смайлики. Если у вас на уроке все получалось правильно, если остались от урока положительные эмоции, урок был интересным, то поднимите радостный смайлик. Если вы таскали тяжёлые камни, если всё было не понятно, то поднимите плачущий смайлик, если в течение урока вы добросовестно выполняли свою работу, но у вас возникали проблемы – поднимите читающий смайлик.
Оцените свою активность на уроке по шкале от 0-5.
6. Задание на дом.
Домашнее задание зависит от качества работы на уроке. Если ученик отработал все учебные элементы и набрал максимальное количество баллов, то ему нет необходимости выполнять домашнее задание. Если же в ходе классной работы допускались ошибки, то рекомендуется повторить тот или иной учебный материал и решить оставшиеся задачи.
Список литературы
1. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1998. - 344с.
2. Голощёкина Л.П., Збаровский B.C. Модульная технология обучения: Методические рекомендации. - СПб: ЮНИТИ-ДАНА, 1993. - 135с.
3. Изучение геометрии 10-11 кл.: книга для учителя / С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2010.
4. Алтынов П.И. Геометрия. 10-11 класс. Тесты. 2001
5. Шарапова В.К. Тематические тесты по геометрии: 10-11 классы, Феникс, 2007
6. Лаппо Л.Д., Морозов А.В. Геометрия. Типовые вопросы и задачи – М.: «Экзамен», 2008.
7. Геометрия 10 класс. Составители Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. – Волгоград, «Учитель», 2002.
Блок 2
Задание 3 Тест.
1.Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Что можно сказать о прямых а и b?
а) взаимное расположение точно определить нельзя;
б) скрещиваются или параллельны;
в) параллельны или пересекаются;
г) совпадают;
д) пересекаются или скрещиваются.
2. Выберите верное утверждение.
а) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек;
б) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны;
в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны;
3. Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:
а) прямые а и с пересекаются;
б) прямая с лежит в плоскости α;
в) прямые а и с скрещиваются;
г) прямая b лежит в плоскости α;
д) прямые а и с параллельны
4. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?
а) скрещиваются или пересекаются;
б) пересекаются или параллельны;
в) скрещиваются или параллельны;
г) только скрещиваются;
д) только параллельны.
5. Если две прямые не скрещиваются, то они
а) лежат в одной плоскости;
б) только пересекаются;
в) совпадают;
г) только параллельны.
Блок 4
Задание 1 Тест. Учащиеся получают задание и выполняют его самостоятельно.
1. Плоскость α параллельна прямой в, а прямая в параллельна плоскости . Взаимное расположение плоскостей α и .
а) параллельны
б) пересекаются
в) совпадают
2. Плоскость пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а и в. Взаимное расположение плоскостей α и β.
а) параллельны
б) пересекаются
в) совпадают
3. Каждая из плоскостей α и β параллельна плоскости . Взаимное расположение плоскостей α и β.
а) параллельны
б) пересекаются
в) совпадают
4. Каждая из плоскостей α и β параллельна прямой а. Взаимное расположение плоскостей α и β.
а) параллельны
б) пересекаются
в) совпадают
Блок 3
Задание 1 Тест. Учащиеся получают задание и выполняют его самостоятельно.
1. Прямые а и b параллельны одной плоскости . Как расположены прямые а и b относительно друг друга?
а) параллельны
б) пересекаются
в) скрещиваются
2. Прямые а и b параллельны. Через каждую из них проведено по плоскости, которые пересекаются по прямой с. Как расположена прямая с по отношению к прямым а и b?
а) параллельно
б) пересекает
в) перпендикулярно
3. Прямая а лежит в плоскости. Как расположена относительно плоскости прямая b, если b параллельна а?
а) перпендикулярно
б) параллельно
в) пересекает
4. Сколько плоскостей можно провести через две данные точки?
а) одну
б) две
в) много
5. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая прямая
а) параллельна плоскости
б) пересекает плоскость
в) перпендикулярна плоскости
7. Точка А принадлежит плоскости α, точка В не принадлежит плоскости α. Принадлежит ли плоскости середина отрезка АВ.
а) да
б) нет
в) не всегда
8. Прямая а параллельна прямой в, а прямая в параллельна плоскости . Взаимное расположение прямой а и плоскости .
а) параллельны
б) пересекаются
в) скрещиваются
г) совпадают
