ТЕСТЫ ПО АЛГЕБРЕ 10КЛАСС ПО ТЕМЕ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ : ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Найдите производную функции

Решение:

Пример 2. Найдите производную функции:

Решение:

Пример 3. Найдите производную функции

Решение:

Обозначим , тогда Воспользуемся формулой Найдем:

Тогда И вообще Производную данной функции находим сразу как произведение производной степенной функции на производную от функции :

Пример 4. Найти производную функции:

Решение: Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле: найдем производную степени: .

Пример 5. Найти производную функции:

Решение:

Пример 6. Найти производную функции:

Решение:

Пример 7. Найти производную функции

Решение:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Найдите производную каждой из данных функций:

а) у=х³; б) у=sinx; в) у=tgx; г) у=е^х; д) у=2^х.

2. Найдите производную каждой из данных функций в указанной точке:

а) f(x)=lnx f ^'(½); б) f(x)=log3x f ^'(1); в) f(x)= f ^'(¼);

г) f(x)=cosx f ^'(); д) f(x)=ctgx f ^'();

3. Вычислите производные:

а) у=3х²; б) у=4х⁴; в) у=; г) у= ; д) у=; е) у=х+ ; ж) у= .

4. Вычислите производные:

а) у=2х²-3х+5; б) у=; в) у=4-х²; г) у=х⁴-х²; д) у=х⁵+2х³-; е); ж).

5. Найдите производную сложной функции:

а); б); в) ; г); д); е).

6. Найдите производную данных функций:

а) f(x) = ( 3x⁷ - ) б) f(x)= (3-5х+х²)¹⁰⁰ в) f(x) =

Ответ: ; Ответ: 100(3-5х+х²)⁹⁹(-5+2х); Ответ: 21x⁶+;

г) f(x) = д) f(x)=

Ответ:; Ответ: ;

е) f(x) = tgx·cos²x, указание: у=sinxcosx=½sin2x ж) f(x) =

Ответ: ; Ответ:cos2x;

з) f(x) = и) f(x) = lg(5x²+1) к) f(x)=

Ответ: . Ответ: ; Ответ: ;

ТЕСТ №1

1. Найдите производную функцию f(x)=.

А) ; В); С); D); Е) .

2. Найдите в точке х= значение производной функции f(x)=sin2x.

А) ; В) ; С); D)1; Е) 1,5.

3. Найдите производную функции у=5lnx-x².

А) ; В) -; С); D) ; Е) .

4. Найдите производную функции f(x)=5^х ·2^х.

А) 10^xln5; В) 10^xln10; С) 5^xln10; D) 10^5xln10; E) 5^xln5.

5. Дана функция f(x)=2+х⁴. Найдите f^´(1).

А) 2; В) 3; С) 6; D) 5 ; Е) 7.

6. Задана функция f(x)=.Найдите.

А) 2; В) ; С) ; D) 4; Е) .

7. Задана функция f(x)=(х²-х) сos²x. Hайдите.

А) -1; В) ; С) 2; D) 1; Е) 0.

8. Найдите производную функции у=2,5х² – х⁵.

А) 12,5х – х⁴; В) 2,5х² – 5х⁴; С) 5х-5х⁴; D) 5х-х⁵; Е) -5х+5х⁴.

9. Дано: f(x)=(4х+7)^-6. Hайдите.

А) -42(4х+7)^-4; В) -6(4х+7)^-5; С) -4(4х+7)^-6; D) -24(4х+7)^-7; Е) -4(4х+7)^-7.

10. Вычислите производную функции f(x)=(х²-1)(2-3х) в точке х=2.

А) -25; В) -19; С) -18; D) -24; Е) -20.

ТЕСТ №2

1. Дана функция f(x)=.Найдите f^'(3).

А) ; В) ; С) ; D) 2; Е) 1.

2. Задана функция f(x)=cosx². Найдите f ^'(x).

А) х cosx²; В) -2х cosx²; С) 2х cosx²; D) -2х sinx²; Е) 2 sinx².

3. Найдите производную функции f(x)=8^х+ e^x.

А) 8^хlne; В) 8^хln8+ e^x; С) х ln8; D) 8^хln8; Е) 8^хlnх+е.

4. Найдите производную функции f(x)=e^x+x.

А) (х+2)е^х+х ; В) (1-2х)е^х ; С) (2х-1)е^х+х ; D) (2х+1)е^х+х ; Е) е^х (1-2х).

5. Найдите производную функции f(x)=e^x-5х³

А) е^х-15х² ; В) е^х-3х⁵ ; С) 1-15х² ; D) е^х-х³ ; Е) 1-15х⁴.

6. Найдите значение производной в точке х0, если h(x)=, х0=9 .

А); В); С) 3; D) ; Е) .

7. Найдите , если f(x)=3sin7x.

А) 21sin7x; В) 21cos7x; С) 21sin7xcos7x; D) sin21x; Е) sin.

8. Вычислите , если =

А) ; В) ; С) ; D) ; Е) -4.

9. Решите уравнение =0, если f(x)=

А) ; В) ; С) нет корней; D) ; Е) .

10. Производная функции f(x)=lnравна:

А) ; В) ; С) ; D) ; Е) .

ОТВЕТЫ

Тема: ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

А

D

С

В

D

Е

А

С

D

А

Тест№2

В

D

В

D

А

А

В

С

С

С

Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Пусть функция f дифференцируема в точке х0.Тогда существует касательная к графику функции f в точке (х0,у0),где у0= f(x0),уравнение которой имеет вид:

у=f(x0)+f ^'(x0)(x-x0).

Геометрический смысл производной

Значение производной состоит в том,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

f^'((x)== tgα

Механический смысл производной скорости движения.

Пусть точка движется по закону .

Тогда ; ,

где s - путь, пройденный точкой; V - скорость точки; а - ускорение точки.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

1) - уравнение искомой касательной;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Подставляем значения , и в уравнение касательной: или ,

Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе в точке с абциссой

Решение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время - в секундах. Найдите скорость движения тела в момент времени

Решение:

,

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время - в секундах. Найдите ускорение движения тела в момент времени

Решение:

Функция есть закон прямолинейного движения. Мгновенная скорость этого движения равна производной Мгновенная скорость есть функция от времени. Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени равно производной . Таким образом, ускорение движения в момент времени равно: , т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Поэтому ускорение движения равно второй производной

Итак, = ;

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Составьте уравнение касательной к графику данной функции f(x) в указанной точке М:

; , , .

Ответ:.

2. Точка движется по закону . Найдите зависимость скорости движения от времени. Определите мгновенную скорость в момент времени .

Ответ:.

3. Найдите угол между касательной к графику функции в точке и осью . Ответ: .

4. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Ответ:.

5. Найдите угол, образованный касательной к кривой в точке с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: 135⁰.

6. Точка движется прямолинейно по закону

Найдите зависимость ускорения движения от времени, если .

Ответ: .

7. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.

Ответ: .

8. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 4с после начала движения.

Ответ: 3125 Дж.

ТЕСТ №1

1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=3х²+6х+1 в

точке пересечения этого графика с осью ординат.

А) у=-6х+1; В) у=х+6; С) у=6х+1; D) у=6х; Е) у=6х-1.

2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции

f(x)=2х³-5х в точке М(2;6)

А) tg α=13; В) tgα=19; С) tgα=17; D) tgα=29; Е) tgα=8.

3. Скорость движения материальной точки по прямой изменяется по закону

V(t)=4t+1/t. Наибольшее значение скорости за время 0,25 ≤ t ≤1 равно

А) 5; В) 4; С) 3; D) 7; Е) 0.

4. Какой угол образует с направлением оси Ох касательная к графику

функции f(x)=(1-х)³, проведенная в точке х=3?

А) острый; В) 30⁰; С) прямой; D) тупой; Е) 0⁰.

5. Точка движется прямолинейно по закону .Найти значения скорости в момент времени .

А) 202; В) 198; С) 98; D) 104; Е) 128.

6. К графику функции f(x)=5х³+9х-27в точке с абсциссой х=0 проведена

касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.

А) 3; В) 1; С) 4; D) 2; Е) -2.

7. Точка движется прямолинейно по закону .В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.

А) 9 В) 4 С) 3 D) 8 Е) 6.

8.Дана функция .Составьте уравнение касательной к графику функции в точке

А) ; В) ; С);

D) Е)

9. Точка движется по координатной прямой по закону S(t)=-t²+10t-7. Найдите S(3).

А) 19; В) 14; С) 4; D) 46; Е) -5.

10. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(2;3).

А) ; В) -; С) -4; D) 1; Е) 4.

ТЕСТ №2

1. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции в точке с абсциссой ?

А) ; В); С); D); Е).

2. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции в точке с абсциссой ?

А); В) ; С) ; D) ; Е).

3. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .

А); В) ; С) ; D) ; Е) .

4. Материальная точка движется по прямой линии по закону . Найдите скорость материальной точки в момент времени .

А) В) С) D) Е)

5. Прямолинейное движение точки задано уравнением .Найти скорость движения точки в момент времени .

А)28 В)34 С)25 D)45 Е)18.

6. Точка движется прямолинейно по закону .Найти значения ускорения в момент времени .

А) 48 В) 50 С)32 D)58 Е)74

7. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке пересечения графика с осью ординат.

А) В) С) D) Е)

8. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

А) В) С) D) Е)

9. Найдите уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой, заданной уравнением .

А) В) С) D) Е)

10. При каком значении прямая является касательной к графику функции

А) В) С) D) Е)

ОТВЕТЫ

Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

С

В

А

D

D

А

С

В

С

Е

Тест№2

D

Е

А

С

А

В

В

В

Е

D