Решение уравнений, систем уравнений и неравенств с двумя переменными
Задача 1. Какие геометрические фигуры задают следующие системы уравнений и неравенств:
а) [pic] б) [pic]
Решение
Выполним построение на координатной плоскости.
Для случая а) получим отрезок, принадлежащий прямой 2x+3y-12=0
Для б) треугольник
[pic] [pic]
Задача 2. Не выполняя рисунка на координатной плоскости выясните пересекает ли прямую x+y-6=0 отрезок, соединяющий точки:
а) A(-1;-4) и B(-7;3)
б) C(5;2) и D(10;-7)
Решение.
а) координаты точек A и B удовлетворяют неравенству x+y-6<0, т.е. они обе лежат ниже прямой x+y-6=0. Следовательно, отрезок, соединяющий точки A и B, данную прямую не пересекает.
б) координаты точки С удовлетворяют неравенству x+y-6>0, т.е. она лежит выше прямой x+y-6=0. Координаты точки D удовлетворяют неравенству
x+y-6<0, т.е. она лежит ниже прямой x+y-6=0. Следовательно, отрезок CD будет пересекать прямую.
С целью закрепления указанного учебного материала могут быть использованы и такие задачи.
Задача 3. Укажите координаты каких-либо двух точек, если известно, что отрезок, их соединяющий не пересекает прямую 3x-5y=4.
Задача 4. Запишите уравнение какой-либо прямой, которая пересекает отрезок, соединяющий точки A(-2;1) и B(3;5).
В курсе алгебры при изучении графиков уравнений или неравенств с двумя переменными могут быть предложены задачи на определение осей симметрии тех или иных геометрических фигур.
Задача 1. Имеет ли ось симметрии график уравнения x-3y+1=0?
Решение
График уравнения x-3y+1=0 есть прямая линия, следовательно, он имеет оси симметрии и их бесконечное множество.
Задача 2. Сколько осей симметрии имеет график уравнения x2+y2=16?
Решение
Графиком уравнения x2+y2=16 является окружность, следовательно, он имеет бесконечное множество осей симметрии.
Задача 3. Запишите уравнение осей симметрии фигуры, задаваемой системой неравенств.
[pic]
Решение
Данная система неравенств задает квадрат ABCD.
[pic]
Всякий квадрат имеет 4 оси симметрии: KM; EF; AC; BD.
Прямая KM совпадает с ox, поэтому ее уравнение у=0.
Точка N имеет координаты (5;0), значит, x=5 – уравнение EF.
Прямая AC проходит через точки A(3;2) и C(7;-2), для определения коэффициентов k и b в общем уравнении прямой y=kx+b составим систему
[pic] Отсюда k=-1, b=5, y=-x+5
Аналогично уравнение прямой CD: y=x-5
Осуществлению взаимосвязи курсов алгебры и геометрии способствуют также использование в курсе математики задач на вычисление площадей геометрических фигур, заданных уравнениями или их системами.
Задача 1. Найдите площадь треугольника, заданного системой неравенств
[pic]
Решение
На координатной плоскости изображен заданный треугольник.
Определив координаты точек A,B,C,
[pic] находим, что AC=6, OB=3.
[pic]
Ответ: 9
Задача 2. Вычислите площадь треугольника, ограниченного прямыми
y-2x=-2, 3y=-4x+24 и осью абсцисс
Решение
[pic]
Координаты A и C найдем как координаты точек пересечения прямых
y-2x=-2 и 3y=-4x+24 с осью абсцисс; получим A(1;0), C(6;0). Для отыскания координат точки B решим систему: [pic] ; B(3;4).
Итак, AC=5; BD=4, [pic]
Ответ: 10
Задача 3. . Из условий х2 + у2 = 9, у2 + z2 = 16 и у2 = = хz для положительных x, у и z, не вычисляя их значений, указать значение выражения ху + уz.
Решение. Привычное задание решить систему уравнений
[pic] x2+y2=9
y2 +z2=16
y2= xz
у учащихся затруднений не вызывает. Однако в данном случае нужно, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + уz.. Учитель может обратить внимание учащихся, что х, у и z положительны по условию и, таким образом, дать им некоторую подсказку, что задачу можно решить геометрически.
По теореме, обратной теореме Пифагора, числа х, у и 3 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника BCD с прямым углом D
Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z, и по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол ABC — прямой.
Теперь рассмотрим выражение ху + уz.
ху + Уz= (х + z.)*у = 2sАВС =3*4=12.
Примечание. Для данной системы уравнений задания могут быть и другие. Например, найти значение выражения х + у + z или в каком отношении находятся числа х и у; z и у;х + z и у.
[pic]
