Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа «Загорские дали».
141367, Московская область, Сергиево-Посадский муниципальный район,
городское поселение Сергиев Посад, поселок Загорские дали, дом 9-а.
«Золотое сечение»
математический язык
красоты
Информационно-исследовательский проект
по математике
Авторы проекта: учащиеся 8 класса
Королев Виктор и Молчанова Анастасия
Руководитель: учитель математики
Митрофанова Л.А.
г. Сергиев Посад
2016г.
Мы не раз сталкивалась со словосочетанием «золотое сечение» на уроках. Но никогда особого значения этому не придавали.
Мы хотим рассказать о математическом открытии, которое в течение тысячелетий привлекало внимание и было предметом восхищения выдающихся ученых, математиков и философов: Пифагора, Платона, Евклида, Леонардо да Винчи, Луку Пачиоли, Кеплера, Цейзинга, а в новейшее время - Флоренского, Гика, Корбюзье, Эйзенштейна, американского математика Вернера Хогатта, а также выдающегося ученого Аллана Тьюринга, внесшего огромный вклад в развитие современной информатики.
Цели проекта:
Познание математических закономерностей в мире, определение значения математики в мировой культуре и дополнение системы знаний представлениями о «золотом Сечении» как гармонии окружающего мира.
Формирование навыков самостоятельной исследовательской деятельности.
Задачи проекта
Используя различные источники информации узнать о возникновении термина «золотое сечение»;
Изучить определение "золотого сечения" в геометрии и его различные виды существования в этой области;
Получить сведения о применении золотого сечения в математике;
Определить значение золотого сечения в природе и в жизни человека;
Провести собственные исследования для установления правил золотого сечения в теле человека и в окружающем нас мире;
Узнать о проявлении золотого сечения в архитектуре;
Сделать вывод о значении золотого сечения в жизни человека.
Методы исследования
Гипотеза:
Все что нас окружает можно представить и понять с помощью чисел.
Понятие «золотого сечения». Теория вопроса.
«Золотая» пропорция как формула красоты древности
С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т. д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного?
Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается, можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела?
"Формул красоты" уже известно немало. Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой". Именно она станет объектом нашего дальнейшего исследования.
Геометрическое определение «золотого сечения»
Из «Начал Евклида» к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Суть задачи состоит в следующем: разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении так, чтобы большая часть отрезка так относилась к меньшей части, как отрезок АВ к своей большей части СВ и приблизительно равно 1,618 :
[pic] [pic]
Полученное число и есть так называемое «золотое число» или «золотое сечение».
«Золотой» прямоугольник.
В наши дни большинство людей носит в кошельках и сумочках множество карточек: кредитные карты, визитные карточки, пропуски в спортзал или библиотеку, водительские права или удостоверение личности. Мы пользуемся или ежедневно, не обращая внимания на тот факт, что большинство карточек имеет одинаковый размер и форму, или хотя бы те же пропорции, отношение большей стороны которых к меньшей стороне приблизительно равно числу (1,618). Такие прямоугольники и являются «золотыми».
Рассмотрим его некоторые свойства:
Если отрезать от «золотого» прямоугольника квадрат, то останется прямоугольник, который также является «золотым».
Для выявления «золотого» прямоугольника достаточно взять два одинаковых прямоугольника и поместить их рядом друг с другом, один вертикально, другой горизонтально. Если мы попытаемся провести линию ч [pic] ерез внешние углы такой пирамиды(точки А и В), и точка С также окажется на этой прямой то такие прямоугольники являются «золотыми».
«Золотые» спирали.
С [pic] амым удивительным способом φ проявляется в спиралях. В «золотом» прямоугольнике мы продолжим рисовать подобные. Таким образом, соединив отдельные точки, мы получим линию, называемую логарифмическую спиралью.
Одним из самых сажных свойств спирали является то, что ее форма при увеличении не изменяется. Также важно напомнить, что спирали свойственна равноугольность: если провести прямую линию от центра спирали, точки ее возникновения, к любой другой точке, углы пересечения кривой всегда будут одинаковы.
Свойства спирали привлекали не только ученых, но и художников. Более того, мы найдем ее во многих природных объектах.
Золотое сечение в природе.
В следующем разделе мы опишем отражение «золотого» сечения в различных сферах нашей жизни.
Как бы это ни звучало странно, именно природа изначально построена по принципам «золотого» сечения.
Во- первых, развитие человеческого тела представляет собой постоянное изменение пропорций. Как бы мы к этому не относились, но , к счастью, по мере взросления мы изменяемся. Если бы мы сохраняли пропорции, данные нам при рождении, нам было бы трудно удержать голову в вертикальном положении. Этот процесс впервые описал шотландский биолог Д’Арси Томпсон. Более того, насекомые летят по «золотой» спирали, когда приближаются к источнику света. Если, пытаясь приблизиться к неподвижной точке, мы хотим сохранять при этом угол поворота, такая спираль является для нас единственной возможной траекторией. Хищные птицы следуют такой траектории, когда нападают на добычу. Это единственный способ держать голову в одном и том же положении, чтобы не выпустить цель из поля зрения при максимальной скорости.
«Витрувианский человек» Леонардо да Винчи строился на предположении, что φ существует в животном мире. Однако уже в средние века меры частей человеческого тела использовались в качестве стандартов.
Наконец, раковины моллюсков имеют форму «золотой» спирали. Самый характерный пример – раковина наутилуса. Раковина увеличивается с добавлением внутренних камер, каждая из которых больше, чем предыдущая, но форма раковины остается прежней.
«Золотое» сечение в архитектуре.
Учитывая неразрывную связь геометрии с архитектурой несложно догадаться, что вопрос использования золотого сечения в материальном мире занимал учёных с древности. В прошлом столетии появилось мнение, согласно которому египетские пирамиды и пирамида Хеопса в частности созданы с применением принципа золотого сечения и их пропорции якобы свидетельствуют об этом. Разумеется, не заставила себя долго ждать и мистическая интерпретация этого, как преподносилось, факта: появилось настоящее учение о «пирамиде золотого сечения», которая якобы обладает сверхъестественными способностями. Сообщалось о том, что магические свойства пирамиды Хеопса и других египетских пирамид – такие, как исцеление от физических и психических недугов, увеличение жизненного тонуса, появление энергии необъяснимой природы и тому подобное – хорошо известны с незапамятных времён. Хотя не существует аргументированных ссылок на какие-либо связанные с этой темой легенды, да и подтверждённых случаев этого не известно.
На этом основании появилась информация о том, что сооружённая с соблюдением пропорций золотого сечения пирамида будет обладать точно такими же сверхъестественными функциями, как и древние египетские сооружения. Со ссылкой на ряд учёных (что настораживает специалистов – без указания на какие-либо подтверждающие результаты исследований публикации в общепризнанных научных изданиях) говорится о следующих невероятных способностях пирамиды золотого сечения, якобы:
оказывают антистрессовое состояние на живые организмы;
снижают уровень агрессивности животных;
сокращают время свёртываемости крови и содержание в ней тромбоцитов;
повышают урожайность сельскохозяйственных растений вплоть до повышения на 100%;
повышают иммунитет живых организмов к инфекциям, и так далее.
Крайнее и среднее отношение часто использовалось в греческой культуре, но точные измерения выявили много неточностей, вызвавших подозрения многих экспертов. Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.
Несмотря на это, мы можем найти φ , посчитав отношения каких-то размеров, хотя архитекторы и не думали об этом
Триумфальные арки Древнего Рима также содержат «золотое» сечение, как и ливийские гробницы, и храмы древнего города Миры.
Однако легко подтвердить преднамеренное использование «золотых» пропорций в средние века, потому что эти случаи часто были официально утверждены. Но Италия эпохи Возрождения была не единственным местом, где «золотое» сечение использовалось при строительстве зданий. Университет Саламанки – первое учебное заведение в Европе, известное под названием «университет» - является самым старым университетом Испании. Его фасад был перестроен в XV веке в стиле платереско , которых был характерен для эпохи испанского Возрождения и является смешением мавританского стиля и фламандской готики. «Золотое» сечение лежит в основе пропорций этого здания.
При постройке французских соборов использовался измерительный прибор, состоящих из пяти стержней, представляющих длины ладони, большой и малой пяди, ступни и локтя. Примечательно то, что отношение каждой такой величины и предыдущей равно φ.
Достижения в области строительной техники и разработки новых материалов открыли новые возможности для архитекторов XX века. Американец Фрэнк Ллойд Райт был одним из главных сторонников органической архитектуры. Незадолго до смерти он спроектировал музей Соломона Гуггейнхайма в Нью-Йорке, представляющий собой опрокинутую спираль, а интерьер музея напоминает раковину наутилуса.
Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все "на глазок", без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии древних храмов.
Собор Василия Блаженного - один из самых ярких и знаменитых памятников древнерусской архитектуры. Уже в 16 веке собор восхищал путешественников и гостей Москвы, а для россиян стал символом отечественной истории и национального характера.
Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения.
В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.
Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.
Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.
Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: «Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок».
На момент строительства Главное здание МГУ было самим высоким зданием в Европе. И должно было соответствовать своему званию.
Если рассматривать центральную часть по имеющемуся чертежу , длина здания равна 1472 ед., и при умножении её на Ф получается ряд размеров, которые тоже находят отражение в здании: 1472, 909, 562, 347, 214, 132, 81, 50. В основном деление Золотого сечения отражается в высотных размерах, отношениях разных ярусов здания. Ширина башни, равная 538 начинает другой ряд Золотого сечения: 538, 332, 205, 126. Эти размеры не являются основными, но вносят свой вклад в размер широты башни.
Если рассматривать комплекс целиком, то можно отметить, что он вписывается в золотой прямоугольный треугольник, поэтому боковые пристройки не выбиваются из здания и выглядят гармонично.
Известный русский архитектор Казаков Матвей Федорович в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту Казакова построена в Москве Голицынская больница, которая в настоящее время называется “Первая клиническая” больница имени Пирогова.
Исследовательская часть
«Золотое» сечение в архитектуре города Сергиев Посада
Подробно изучив теоретические сведения о «золотом» сечении, мы приступаем к практическому применению полученных знаний. Для начала, мы решили изучить архитектуру родного с целью обнаружить взаимосвязь пропорций строений с математическими стандартами «золотой» пропорции.
В качестве объектов нашего исследования мы выбрали здания Дворца Культуры им. Ю.А. Гагарина, Дом офицеров Сергиево-Посадского гарнизона, историко-художественный музей-заповедник, дом, где жил П. Флоренский ЖК «Посад-Премьер», расположенный на улице Пограничной, ЖК «Вознесенский»,
В ходе работы мы выделяли отдельные блоки зданий и искали отношения между их линейными размерами. В результате мы обнаружили, что здание Дворца Культуры буквально построено по правилу «золотого» отношения: все линейные величины здания приближенно равны 1,618.
Строящиеся микрорайоны сразу же привлекают внимание не только гостей города, но и его постоянных жителей. Это не удивительно: архитекторы этих комплексов в основе будущей постройки положили принцип «золотой» пропорции, что определяет внешнюю гармонию построек.
Таким образом, мы смогли на собственном опыте применить знания о «золотом» отношении и изучить его влияние на общий вид архитектуры.
Результаты измерений учащихся.
В одной из частей проекта мы узнали, что существует определенная зависимость между длиной тела и его пропорциями.
Чтобы изучить эту зависимость мы измерили рост 14 учеников 8 класса и расстояние от пола до талии. (Результаты измерений представлены в таблице ) Найдя отношение между этими величинами, мы обнаружили, что численно оно близко к числу φ.
Таким образом , мы еще раз убедились в значении «золотого» сечения в теле человека.
Заключение
Выводы.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Золотое сечение является отображением окружающегося мира.
Мы исследовали предметы окружающие нас и пропорции своего тела и обнаружили Золотую пропорцию в окружающем нас мире, что является подтверждением нашей гипотезы.
Список используемой литературы.
Д. Пидоу. Геометрия и искусство. М. Мир 1990
Васютинский Н. Н. Золотая пропорция. М. 1990
«Математика - Энциклопедия для детей» М.: Аванта +, 1998
Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3
«Мир Математики», Де Агостини, 2013.
Приложение 1
Результаты измерений учащихся.
Головушкина Катя 176
110
1,61
5
[link]
170
105
1,62
14
Малькова Лера
168
100
1,68
