РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Урок № 1
Тема: Положительные и отрицательные числа. Число 0
Цель урока:
Образовательная: сформировать понятия отрицательного и положительного числа, а также вырабатывать умение различать эти виды чисел и выполнять простые упражнения, которые предполагают такую классификацию.
Тип урока: урок новых знаний
Оборудование: компьютер, презентация
Эпиграф:
«Высшая мудрость - это наука о числе»
(древнегреческий философ и педагог Платон)
ГЛОССАРИЙ
Рациональные числа – это положительные числа, как натуральные, так и дробные, противоположные им числа и число 0.
Координатная прямая- прямая, на которой отмечено начало отсчета, выбрано положительное направление и указан единичный отрезок.
Координата точки – это число указывающее положение точки на координатной прямой. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
Противоположные числа – это два числа, отличающиеся друг от друга только знаками.
Целые числа - это натуральные числа, противоположные им числа и число 0.
Модуль числа - это расстояние на координатной прямой от начала отсчета до точки, которая соответствует данному числу (абсолютная величина).
Неотрицательные числа – это положительные числа и число 0.
Неположительные числа – это отрицательные числа и число 0.
Учащиеся должны знать и уметь:
- отличать положительные и отрицательные числа;
- приводить примеры положительных и отрицательных чисел;
- определять их место на координатной прямой;
- приводить примеры противоположных чисел;
- применять их при решении задач различного характера.
Ход урока:
I. Мотивация учебной деятельности
Возникнув в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений, математика развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, которые предъявляли к ней другие науки. Сегодня мы с вами познакомимся с новыми числами.
II. Изучение нового материала
Однако окружающий мир настолько сложен и разнообразен. Натуральных и дробных чисел бывает недостаточно, чтобы измерить некоторые величины, описать многие события.
Все числа больше 0 записывают со знаком «+», а меньше 0 – со знаком «-». Числа со заком «+» называют положительными, а со знаком «-» – отрицательными.
Отрицательными числами обозначают не только температуру, но и положение любого места земной поверхности над уровнем океана.
Если представить это в виде вертикальной шкалы, то нулевая точка - это и есть уровень воды океана. Высоту гор измеряют положительными числами, а глубины океана – отрицательными.
Например, самая высокая гора на Земле - вершина Джомолунгма +8848 м. Самое глубокое место на Земле - Марианская впадина: -11034 м .
Рассмотрим термометр.
За начало отсчёта 0 принимают температуру замерзания воды.
Вы знаете из жизненной практики, что десять градусов мороза – это -10, а пять градусов тепла – это +5.
Примеры:
1. 10° C тепла - + 10° C - положительная температура.
2. 20° C мороза - - 20°C - отрицательная температура.
3. 10; +50; 27; +35; 12 - положительные числа
4. -10; - 25; - 34; - 2; - 65 - отрицательные числа
Число 0 - не является ни положительным, ни отрицательным числом.
Как расположить положительные и отрицательные числа на прямой?
Проведём прямую и отметим на ней точку О. На прямой по разные стороны от точки О на расстоянии 3 см от неё отметим точки А и В. Чтобы отличить их положение относительно точки О, вместо слова «справа» будем писать знак «+», а вместо слова «слева» знак «-». Записывают: А (2), В (- 2).
В О А
_____________|___|___|___|___|___|___|_________
- 2 0 2
Вывод: всем точкам на прямой, расположенным справа от точки О, соответствуют числа со знаком «+», а слева от неё – со знаком «-».
Неотрицательные числа — это все положительные числа и число 0.
Пример:
Выберите из чисел: −375; 0,48; 91,2; 0; −8,6; −0,0009; 27 неотрицательные.
Неотрицательные числа: 0,48; 91,2; 0;27
Неположительные числа — это все отрицательные числа и число 0.
Пример:
Выберите из чисел: −45; 10,1; −1,2; 0; 8,6; −0,0759; 4028 неположительные числа.
Неположительные числа: −45; −1,2; 0; −0,0759.
III. Историческая справка
Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II веке до н. э. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные какдолг, недостача. Широко использовать отрицательные числа начали лишь в 7 веке в Индии, но относились к ним с недоверием. В Европе отрицательными числами начали пользоваться с 12-13 веков.
Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544) и Никола Шюке (1445—1500) - его работа была обнаружена в 1848 году. Признанию отрицательнх чисел способствовали работы французского математика Рене Декарта(1596-1650).
IV. Закрепление знаний. Усвоение умений
Переведите на язык математики:
1. Высота горы Говерлы 2061 м.
2. Высота самого глубокое место Чёрного моря 2210 м.
3. 7000 км выше уровня моря, 3000 км ниже уровня моря.
4. За положительное направление – север, за отрицательное – юг. На юг прошли 17 км, а на север прошли 23 км.
5. Когда воздушный шар опускается – движется в положительном направлении, когда поднимается – в отрицательном направлении. Сначала шар поднялся на 35км, а потом опустился на 19 км, затем снова поднялся на 7 км.
6. Таня вошла в лифт на 6-м этаже, проехала три этажа и вышла из лифта. На каком этаже она вышла? Сколько имеется возможностей?
V. Самостоятельная работа
Тест для самоконтроля:
(каждый правильнй ответ в заданих № 1 – 3 оценивается 0,5 балла;
задание № 4 оценивается – 2 балла; задание № 5 оценивается – 3 балла)
1. Напиши с помощью чисел со знаками «+» или «-»:
А) 21 градус тепла; Б) 8 градусов мороза;
В) 23 градуса мороза; Г) 30 градусов тепла.
2. Напиши кратко с помощью знаков «+» или «-» следующие утверждения:
А) у Кати еесть 8 гривен; Б) у Олега нет денег;
В) Витя отдал Саше 4 гривны; Г) Таня должна Егору 10 гривен.
3. Напиши с помощью чисел со знаками «+» или «-»:
А) наибольшая глубина Индийского океана 7450 м;
Б) высота горы Эверест 8848 м;
В) самая низкая температура воздуха, зарегистрированная на Земле, составляет 89,2°С;
Г) самая высокая температура воздуха, зарегистрированная на Земле, составляет 57,8 °С.
4. Подводная лодка плыла га глубине 400 м, потом опустилась ещё на 100 м, а затем поднялась на 300 м. На какой глубине оказалась лодка?
А) 300 м; Б) 500 м; В) 200 м; Г) 0 м.
5. На прямой отмечены точки О, Р, С.Точка С лежит правее точки О на 10 клеточек, а точка О – правее точки Р на 6 клеточек. Сколько клеточек содержит отрезок СР?
А) 4; Б) 16; В) 18; Г) 9.
Ответы теста:
1. А) +21°С ; Б) 8°С ; В) - 23°С; Г) + 30°С .
2. А) +8°С ; Б) 0°С; В) - 4°С; Г) -10°С .
3 А) - 7450 м; Б) + 8848 м; В) - 89,2°; Г) + 57,8°С.
4. В
5. Б
VI. Итоги урока
Постарайся ответить:
1. Какие числа называются положительными, отрицательными?
2. Что можно сказать о числе 0 ?
3. Какие числа называют неположительными? Неотрицательными?
4. Каким числом является координата точки на горизонтальной прямой, расположенной справа от начала отсчёта? Слева?
VII. Домашнее задание: § 21, упражнение № 926, 930, 933 (1 уровень),
№ 936 (2 уровень)
Урок № 2
Тема: Координатная прямая
Цель:
Образовательная: сформировать представление о понятиях: координатная прямая, координата точки; выработать умения и навыки работать с координатной прямой; по готовым рисункам определять координаты точек и строить на координатной прямой точки с указанными координатами.
Тип урока: урок новых знаний
Оборудование: компьютер, презентация
Эпиграф:
«Если не видишь, взойди на гору; если не понимаешь, спроси у старшего»
(китайская мудрость)
Учащиеся должны знать и уметь:
- определение координатной прямой;
- отличать координатную прямую от координатного луча;
- определять координату указанной точки;
- строить на координатной прямой точки с указанными координатами;
- находить расстояние между точками на координатной прямой.
Ход урока:
I. Изучение нового материала
Координатный луч с положительными числами дополним противоположным ему лучом и нанесём на него такие же деления. Получим координатную прямую.
[pic]
Координатная прямая — это прямая с указанными на ней началом отсчёта O (0) , направлением и единичным отрезком.
Точка O (0) — начало отсчёта. Справа от неё отмечают положительные числа, а слева - отрицательные числа. Стрелочка указывает положительное направление отсчёта на координатной прямой.
Около стрелочки часто ставят букву x,y,z или другую букву латинского алфавита. В таких случаях говорят: ось x, ось у, ось z соответственно.
[pic]
На координатной прямой важно расположение точек.
Говорят: «Точка P расположена слева от точки O». «Точка P расположена справа от точки K».
Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой точки.
[pic]
Обрати внимание!
Единичный отрезок может быть разным на двух координатных прямых.
В данном случае единичный отрезок равен 4 клеточкам и одной клеточке соответствует 0,25 единичного отрезка.
Запишем координаты точек M, K, P, T, F: M(−1,5); K(−1); P(12); T(2); F(2,25).
Таким образом,
Координатная прямая – это прямая, на которой заданы:
1. положительное направление;
2. начало отсчёта – точка О (0);
3. единичный отрезок.
Координатная прямая иначе называется числовой прямой или координатной осью.
Координата точки – это число, указывающее положение точки на координатной прямой.
II. Закрепление знаний. Усвоение умений
Решение заданий:
1. Найдите координаты точек, изображённых на рисунке.
[pic]
Решение: К(2); А(3,5); С(5) ; D(-1;5) ; N (- 4) ; Z( - 5,5).
2. Определите, какая точка имеет координату 1,5.
[pic]
Решение: L
3. На координатной прямой изображены точки B( - 1) и H(4).Найди расстояние между точками B и H в единичных отрезках.
Решение: 1 + 4 = 5
4. Начертите координатную прямую с единичнм отрезком 1 см. Отметьте на ней точки А(-4);
К(-6); С(-1); Е(1); Р(3); М(5); Е(7).
5. Точку А(5,5) перемемстили на 4 единиц влево и получили точку В. Определите координату точки В.
Решение: 5,5 – 4 = 1,5. Ответ: В(1,5).
6. В каком направлении и на сколько единиц надо переместить точку С(3), чтобы она перешла в точку К( -5)?
Решение: влево на 8 единиц.
7. Даны точки Х и У. Точка Х расположена левее начала отсчета на 4 единиц. Точка У расположена правее начала отсчета на 6 единиц. Укажите точные координаты точек Х и У.
А) Х (4); Y (-6); Б) Х (-4); Y (6); В) Х (-4); Y (-6); Г) Х (4); Y (6).
Решение: Б
8. Точка координатной прямой О(0) — центр симметрии. Определите точку, симметричную относительно этого центра точке M(−14).
Решение: точка с координатой 14.
III. Самостоятельная работа
Тест для самоконтроля:
(правильный ответ оценивается в 2 балла)
1. Даны точки Х и Y. Точка Х расположена левее начала отсчета на 5 единиц. Точка Y расположена правее начала отсчета на 8 единиц. Укажите точные координаты точек Х и У.
а) Х (-5); Y (-8); б) Х (5); Y (-8); в) Х (5); Y (8); г ) Х (-5); Y (8).
2. Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами -16 и 19?
а) 35; б) 34; в) 33; г) другой ответ.
3. На сколько изменилась координата точки А (-3) при перемещении вправо в точку В(4)?
а) на 3 единицы; б) на 5 единиц; в) на 7 единиц; г) другой ответ.
4. В каком напралении и на сколько единиц нужно переместить точку С (2), чтоб она перешла в точку Е(-5)?
а) на 7 единиц вправо; б) на 3 единицы влево; в) на 4 единицы вправо; г) на 7 единиц влево.
5. Какие координат ы имеют точки , удалённые от точки Р(-4) на 8 единиц?
а) 12 и 4; б) -12 и 4; в) 12 и – 4; г) -12 и – 4.
Ответы на тест:
1. Г 2. Б 3. В 4. Г 5. Б
IV. Итоги урока
Контрольные вопросы:
1. Что следует указать на прямой, чтобы её можно было считать координатной?
2. Как называется число, показывающее положение точки на координатной прямой?
3. Какую координату имеет начало координат?
4. Где на координатной прямой находятся точки, соответствующие положительным числам, отрицательным числам?
5. Назовите три каких-нибудь числа, которые расположены на координатной прямой левее -5.
V. Домашнее задание: § 22, упражнение № 949, 951, 956 (1 уровень),
№ 968 (2 уровень)
Урок № 3
Тема: Модуль числа
Цель:
Образовательная: сформировать представление учащихся про геометрический смысл понятия «модуль числа»; сформировать понятие «противоположные числа»; вырабатывать умения записывать выражения, которые содержат модуль, а также находить значение выражений, которые содержат числа под знаком модуля.
Тип урока: урок новых знаний
Оборудование: компьютер, презентация
Эпиграф:
«Числа правят миром»
(древнегреческий учёный Пифагор)
Учащиеся должны знать и уметь:
- распознавать противоположне числа; указвать их местоположение на координатной прямой;
- находить и записывать число, противоположное данному;
- применять понятие числа, противоположного данному при решении уравнений;
- геометрический смысл модуля числа;
- находить модуль числа;
- находить число по его модулю;
- записывать и находить значение выражений, которые содержат числа под знаком модуля.
Ход урока:
I. Изучение нового материала
Начертим координатную прямую и отметим на ней точки с координатами А(4) и В(-3), а затем найдём расстояние от начала координат - точки О(0) до этих точек.
1. Может ли расстояние быть отрицательным?
2. Что можно сказать о расстояниях от точек А и В до начала координат?
3. Есть ли связь между координатами точек и расстояниями от них до начала координат?
Рассмотрим координатную ось.
[pic] Число 1 называют модулем числа -1, а число 4 называют модулем числа 4.
Записывают: |- 1| = 1; | 1 | = 1.
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
[pic]
Модуль положительного числа равен самому числу: | 1, 5 | = 15; | 100 | = 100;
Модуль нуля равен нулю: | 0 | = 0.
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу:
[pic]
Запомни!!!
Модуль не может быть отрицательным числом.
Два числа, имеющие равные модули, но противоположные знаки, назваются противоположными числами. Противоположные числа имеют равные модули.
[pic]
II. Историческая справка
С латыни modulus- «мера».Этот термин «модуль» ввел в 1806 году французский математик Жорж Аргон.
III. Закрепление знаний. Усвоение умений
Решаем вместе:
1. На рисунке найдите пары точек, имеющие противоположные координаты:
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] М А В О С D К
-3 - 2 -1 0 1 2 3 х
Решение: -1 и 1; -2 и 2; -3 и 3.
2. Найдём модуль каждого из чисел:
│12│= 12 ; │7,08│= 7,08; │- 6,32│= 6,32; │0│= 0; │ -72│= 72
3. Решить уравнение:
А) |х| = 10 Б) |х| = - 8 В) |х| - 25 = 45
х1 = 10 и х2 = - 10 Нет корней |х| = 45 + 25
Г) |х| = 0 |х | = 70
х = 0 х1 = 70 и х2 = - 70
4. Найдите значение выражения:
А) |29| + |-44| = 29 + 44 = 73; Б) |- 56| - |56| = 56 – 56;
В) |-32|·|-2| = 32· 2 = 64; Г) |1,44| :|- 1,2| = 1,44 : 1,2 = 1,2
5. Как найти расстояние между двумя точками на координатной прямой?
Пусть точки А(а) и В(b) и пусть b > а, тогда
АВ = ОВ – ОА = b – а = |b| - |а|
Пример:
Если А(7,5) и В( 8,3), то АВ = 8,3 – 7,5 = 0,8.
2. Пусть точки А(а) и В(b) и а < 0 и b > 0, тогда
АВ = АО + ОВ = b – а = |а| + |b|
Пример:
Если А(-7,5) и В( 8,3), то АВ = |-7,5| + |8,3| = 15,8.
3. Пусть точки А(а) и В(b) и а <0 и b< 0, тогда если а – ближе к 0 ( |а|<|b|),
то АВ = |b| - |а|.
Пример:
Если А(-7,5) и В( - 8,3), то АВ = |-8,3| - |-7,5|= 8,3 – 7,5 = 0,8.
IV. Самостоятельная работа
Тест для самоконтроля:
( задания № 1-3 оцениваются по 1 баллу; № 4-5 – по 4 балла)
1. На координатной прямой отмечены точки М (-7); К(6); С(-0,5); D(0,5);
В(-6). Какие из них имеют противоположные координаты?
а) М и К ; б) К и С; в) D и С ; г) К и В.
2. Каким числом является - х, если х - положительное:
а) отрицательным; б) нуль; в) положительным;
г) невозможно ответить.
3. Найдите модуль чисел: |-23|; |0,24|; |-0,6|; |0|.
4. Вычислите:
а)|15| + |-35|; б) |-22|- |22|; в) |-16| :|10|; г) |-3|·|-8|.
5. Решите уравнение:
а) | х| = 2,5; б) |х| = - 6; в)|0| = 0; г) |х| - 80 = 20.
Ответы теста:
1. Г; 2. А; 3. 23; 0,24; 0,6; 0. 4. а) 50; б) 0; б) 1,6; г) 24.
5. а) х = 2,5 и х = - 2,5; б) нет корней; в) 0; г) х = 100 и х = - 100.
V. Итоги урока
Контрольные вопросы:
1. Что называют модулем числа?
2. Как обозначают модуль числа?
3. Как найти модуль положительного числа или нуля?
4. Как найти модуль отрицательного числа?
5. Может ли модуль какого-либо числа быть отрицательным числом?
6. Какие числа называются противоположными?
7. Модуль противоположных чисел?
VI. Домашнее задание: § 23, упражнение № 988, 992, 995,999 (1 уровень),
№ 1003 (2 уровень)
Урок № 4
Тема: Самостоятельная работа
Цель урока: проверить качество и уровень знаний учащихся по темам:
«Положительные и отрицательные числа. Число 0. Координатная прямая. Модуль числа»
Тип урока: урок контроля знаний
Контрольный тест № 1
Темы: « Положительные и отрицательные числа. Число 0. Координатная прямая. Модуль числа»
(каждое задание оценивается - 1 балл)
1. Задание на соответствие:
Какова температура воздуха , если термометр показывал 23°С , а в течение суток температура изменилась:
А) на - 4° С 1. 30°С
B) на 7°С 2. 12°С
C) на - 11°С 3. 14°С
D) на - 9°С 4. 19°С
2. Даны точки Х и Y. Точка Х расположена правее начала отсчета на 6 единиц. Точка Y расположена левее начала отсчета на 3 единиц. Укажите точные координаты точек Х и У.
а) Х (- 6); Y (3); б) Х (6); Y (- 3); в) Х (6); Y (3); г ) Х (- 6); Y (- 3).
3. Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между
а) 28; б) 10; в) 8; г) другой ответ.
4. В каком напралении и на сколько единиц нужно переместить точку С (-4), чтоб она перешла в точку Е(7)?
а) на 4 единицы вправо; б) на 11 единиц влево; в) на 11 единиц вправо; г) на 7 единиц влево.
5. Какие координаты имеют точки , удалённые от точки Р(5) на 10 единиц?
а) 5 и 15; б) - 5 и - 15; в) 5 и -15; г) - 5 и 15.
6. Задание на соответствие:
Выберите среди чисел: 3,5; - 41; 57; 6,8; -17; 2,35; 0; 6; -11; - 4,8; 15:
А) натуральные 1. - 41; - 17; - 11; 0; - 4,8.
Б) целые 2. 3,5; 57; 6,8; 2,35; 0; 6.
В) неположительные 3. 57; 6; 15.
Г) неотрицательные 4. - 41; 57; - 17; 0; - 1.
7. Противоположные числа – это:
а) одинаковые числа;
б) положительные и отрицательные числа;
в) числа, отличающиеся друг от друга только знаками;
г) нет верного ответа.
8. Найдите корни уравнения: | х | = 25
А) 24; Б) 25 В) - 26; Г) - 25
9. Выберите верное утверждение:
а) если - c = 0,08, то с = 0,08; в) если - (- n) = [pic] , то n = [pic] ;
б) если d = [pic] , то - d = - (- [pic] ); г) если y = - 67,13, то - y = - 67,13.
10. Значением выражения | - 8,64| : |3,2| является число:
а) 2,7; б) 27; в) 0,27; г) - 2,7.
11. Значением выражения | - [pic] | + | - [pic] | является число:
а) [pic] ; б) [pic] ; в) - [pic] ; г) [pic] .
12. Найдите корни уравнения: |х -5| + 30 = 100
А) - 75; б) - 65; в) 65; г) 75.
Урок № 5
Тема: Целые числа. Рациональные числа
Цель:
Образовательная: сформировать понятия «целые числа», «рациональные числа»; связь между ними; научить классифицировать числа.
Тип урока: урок новых знаний
Оборудование: компьютер, презентация
Эпиграф:
« Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им»
(немецкий поэт И. Гёте)
Учащиеся должны знать и уметь:
- описывать понятие «целое число, «рациональное число»;
- распознавать целые, дробные, целые положительные, целые отрицательные, рациональные числа;
- выполнять различного рода упражнения с этими числами.
Ход урока:
I. Изучение нового материала
Для счета предметов используются числа , которые называются натуральными. Для обозначения множества натуральных чисел употребляется буква N -первая буква латинского слова Naturalis, «естественный», «натуральный».
Числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается Z - первой буквой немецкого слова Zahl - «число».
Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел и обозначаются - Q- первой буквой французского слова Quotient - «отношение».
Натуральные числа возникли в силу необходимости вести счета любых предметов. Натуральные числа несут ещё другую функцию – характеристика порядка предметов, расположенных в ряд.
О натуральном, в смысле естественном, ряде чисел говорится во «Введении в арифметику» греческого математика (неопифагорийца) Никомаха из Геразы.
В современном смысле понятие и термин «Натуральное число» встречается у французского философа и математика Ж.Даламбера (1717-1783).
Примеры:
1. Натуральные числа: N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ...}.
Сумма и произведение натуральных чисел есть число натуральное.
2. Целые числа: Z = { …-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; ... }.
Сумма, произведение и разность целых чисел есть число целое.
3. Рациональные числа Q: целые числа и дробные числа
Сумма, произведение, разность и частное рациональных чисел есть число рациональное.
Таким образом,
Целые числа (Z)
Натуральные числа (N) 0 Противоположные натуральным
Рациональные числа (Q)
Целые (Z) Дробные
Обрати внимание:
- каждое натуральное число является и целым числом, и рациональным числом;
- каждое целое число является рациональным числом;
- не каждое рациональное число является целым числом;
- не каждое рациональное число является натуральным числом.
II. Закрепление знаний. Усвоение умений
Решаем вместе:
1. Среди чисел 9; -8; 0; - 4,6; 7,8; - 475; 1143; -2 ; -5,45; -96 выбери:
1) натуральные числа; 2) целые числа;
3) положительные числа; 4) целые отрицательные;
5) неположительные рациональные числа.
Решение:
1) 9; 1143; 2) 9;-8; 0; - 475; 1143; -96.
3) 9; 7,8; 1143; 4) -8; -475; - 96;
5) -8; 0; -4,6; -475; -2 ; -5,45; -96.
III. Самостоятельная работа
Тесты для самоконтроля:
(каждое задание оценивается - 1 балл)
1. Сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами – 12 и 12?
А) 12; Б) 24; В) 11; Г) 23.
2) Сколько целых чисел можно отметить на координатной прямой между точками
А(-8) и В(-14,5)?
А) 8; Б) 6; В) 9; Г) 10.
3. Какое из утверждений неверно:
А) каждое натуральное число является рациональным;
Б) любое целое число является натуральным;
В) каждое целое число является рациональнм числом;
Г) ни одно из этих утверждений неверно.
4. Выбери верное утверждение:
А) 0 – целое число; Б) – 10,5 – натуральное число; В) 18- отрицательное число; Г) нет верного утверждения.
5. К какому множеству чисел относятся числа: -3; 8; 2,5; 0; - 7,3; 145?
А) целые числа; Б) натуральные числа; В) дробные числа; Г) рациональные числа.
Ответы теста:
1. В; 2. Б; 3. Б; 4. А; 5. Г.
IV. Итоги урока
Контрольные вопросы:
1. Какие числа относятся к натуральным?
2. Какие числа называют целыми?
3. Какие числа называют рациональными?
4. Всегда ли целые числа являются рациональными и наоборот?
5. Как обозначается множество целых чисел?
6. Какие числа составляют множество рациональных чисел?
7. Как обозначается множество рациональных чисел?
8. Какое целое число не является отрицательным и не относится к натуральным числам?
V. Домашнее задание: § 24, упражнение № 1050, 1055, 1057 (1 уровень),
№ 1064 (2 уровень)
Урок № 6
Тема: Сравнение рациональных чисел
Цель:
Образовательная: вывести правило сравнения любых рациональных чисел и выработать умения использовать его для сравнения рациональных чисел, а также , изображать их на координатной прямой; выработать умения решать упражненийя, которые предусматривают сравнение рациональных чисел;
Тип урока: урок новых знаний
Оборудование: компьютер, презентация
Эпиграф:
«Математику только за тем учить стоит, что она ум в порядок приводит»
(русский учёный М. В. Ломоносов)
Учащиеся должны знать и уметь:
- формулировать правила сравнения рациональных чисел;
- сравнивать рациональные числа с помощью координатной прямой;
- выполнять упражнения , которые предусматривают сравнение рациональных чисел.
Ход урока:
I. Мотивация учебной деятельности
Постановка проблемы: что больше:
1) 2,5 или 2,25; 2) 8/11 или 10/11;
3) – 3 или 2; 4) – 2 или – 6;
5) – 3,5 или – 9,3; 6) – 5 1/2 или – 3/7 .
Пока правила нет, не можем применить то, чего не знаем. Поэтому нужны новые правила сравнения чисел.
II. Изучение нового материала
1. Определим координаты точек:
[pic]
а) А(-3); б) В(-1,5); в) С(3); г) D(5,5).
Вывод:
1) Из двух чисел на координатной прямой большее изображается правее, а меньшее – левее.
2) Любое положительное число больше 0.
3) Любое отрицательное число меньше 0.
4) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа.
Например:
2 > 0 ; 2 > -4 ; -2 < 3; - 4 < 1; 14 > 0; 10,6 > -5 ; 0,07 > -8
5) Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа
Например: - 4 < 0 ; - 5 < 1 ; - 2 < 0,5; - 7 < 0 ; - 2,5 < 1 ; - 12 < 12,5
6. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше и
меньше то, модуль которого больше.
Например: | -10 | > | -4 |; -10 < -4
| -15 | > | -12 |; -15 < -12
| -9 | < | -12 |; -9 > -12
III. Закрепление знаний. Усвоение умений
Решаем вместе:
1) Используя рисунок, заполните пропуски знаками <, > или = .
[pic]
1) у и 0; 2) х и 0; 3) у и х; 4) к и 0; 5) к и х; 6) у и к; 7) | х| и |у|.
Решение:
1) у < 0; 2) х < 0; 3) у > х; 4) к > 0; 5) к > х; 6) у < к; 7) | х| > |у|.
2) Расположить в порядке возрастания:
1; - 2; 0; 8; 4; - 2, 5; 6; 2/3; 3; 75.
Решение:
- 2,5 ; - 2; 0; 2/3; 1; 3; 4; 6; 8 ; 75
3) Расположить в порядке убывания:
[pic]
Решение:
[pic]
4) Запишите все целые числа, которые заключены между числами:
а) – 8,1 и 1 - 8; -7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1; 0.
б) – 5,8 и – 1,3 - 5; - 4; - 3; - 2.
в) - 100,1 и - 99 - 100
5) Какое число расположено на координатной прямой правее остальных?
А) -10; Б) 2 В) 5,3; Г) -1,4.
Решение: В
6) Какое число расположено на координатной прямой левее остальных?
А) 32; Б) |−80|; В) - 47; Г) 0.
Решение: В
7) Из данных неравенств выберите неверное:
а) - 4,1 > - 6,09; б) 1,9 > - 3,1; в) 4,1 > 4,09; г) - 2 > - 1,6.
Решение: Г
8) Между какими целыми числами находятся данные числа?
А) – 14 [pic] Решение: - 15 < - 14 [pic] < - 14;
Б) – 0, 9 Решение: - 1 < - 0, 9 < 0;
В) 11, 009 Решение: 11 < 11, 009 < 12.
IV. Самостоятельная работа
Тест для самоконтроля:
(каждое задание оценивается - 2 балла)
1. Укажите все значения х, при которых верно равенство |х| = 56.
А) 56; Б) -56 и 56; В) - 56; Г) таких значений нет.
2. Укажите неверное неравенство:
А) 0 > -4; Б) -3 < 5; В) -4 < -8; Г) 1 > -6.
3. Какое из чисел расположено на координатной прямой левее остальных?
А) -16; Б) |-34|; В) 95; Г) 0.
4. Какое из чисел расположено на координатной прямой правее остальных?
А) 32; Б) |-54| ; В) -47; Г) 0.
5. Какое число больше числа – 5,09?
А) -5,19; Б) -6; В) -5,1; Г) -5,009.
6. Между какими числами заключено число – 3,8?
А) 2 и 3; Б) -2 и -3; В) -3 и -4; Г) 3 и 4.
Ответы теста:
1. Б; 2. В; 3. А; 4. Б; 5. Г; 6. В.
V. Итоги урока
Контрольные вопросы:
1. Что значит сравнить два числа?
2. Как сравнить числа с помощью координатной прямой?
3. Как сравнить отрицательные и положительные числа?
4.Какие числа больше 0? меньше 0?
5. Какое из двух положительных чисел больше? меньше?
6. Какое из двух отрицательных чисел меньше? больше?
7. Как записать, что число является положительным? отрицательным? неположительным? неотрицательным?
VI. Домашнее задание: § 25, упражнение № 1079, 1084, 1088 (1 уровень),
№ 1101,1105 (2 уровень)
Урок № 7
Тема: Самостоятельная работа
Цель урока: проверить качество и уровень знаний учащихся по темам:
«Целые числа. Рациональные числа. Сравнение рациональных чисел».
Тип урока: урок контроля знаний
Контрольный тест № 2
Темы: « Целые числа. Рациональные числа. Сравнение рациональных чисел»
(каждое задание оценивается - 1 балл)
1. Сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами - 22 и 10?
А) 32; Б) 12; В) 9; Г) 31.
2) Сколько целых чисел можно отметить на координатной прямой между точками А(5) и В (-3,5)?
А) 8; Б) 6; В) 9; Г) 10.
3. Укажите верные неравенства:
А. 5,6 > 5 [pic]
Б. - 34 > -35
В. 20 < - 20
Г. - 80 < 0
4. Выберите верное утверждение:
А) 0,6 – целое число; Б) 145 – натуральное число; В) 18- отрицательное число; Г) нет верного утверждения.
5. Укажите соответствие:
Какие из чисел: 42; - 2,5; 12,5; 0; - 17; 1005 относятся к:
А) целым числам 1. 42; 1005;
Б) рациональным числам 2. – 17; 42; 1005.
В) дробным числам 3. - 2,5; 12,5; 42; - 2,5; 12,5; 0; - 17; 1005;
Г) натуральным числам 4. - 2,5; 12,5.
6. Какое из данных чисел 0; -10; 12; - 6 на координатной прямой расположено левее?
А) 0; Б) - 10; В) 12; Г) - 6.
7. Какое из данных чисел наименьшее?
А) 56,87; Б) - 76,98; В) - 98,76; Г) 98,876.
8. Расположите числа в порядке возрастания: 0,75; - 0,84; - 2,12; 9.
А. - 0,84; - 2,12; 0,75; 9
Б. - 2,12; - 0,84; 0,75; 9
В. 0,75; - 0,84; - 2,12; 9
Г. 9; 0, 75; - 0,84; - 2,12
9. Укажите верные неравенства:
А. | - 50| < |30|; Б. |1,5| > | - 0,9|; В) |13| < | - 13|. Г) | - 100| > 0.
10. Сравните числа - а и b , если числа а и b - положительные.
А) сравнить невозможно; Б) - а > b; В) - а = b; Г) - а < b.
11. Какое из утверждений верно:
А) каждое натуральное число является целым числом;
Б) каждое натуральное число является рациональным числом ;
В) каждое целое число является рациональным числом;
Г) все утверждения верны.
12. Известно, что m – отрицательное число. Сравните | m| и m.
А. | m| > m
Б. | m| < m
В. | m| = m
Г. нельзя сравнить
Урок № 8
Тема: Сложение отрицательных рациональных чисел
Цель
Образовательная: установить и усвоить правило сложения отрицательных чисел; повторить переместительное и сочетательное свойство сложения и отработать применение этих свойств в комплексе с изученным правилом сложения отрицательных чисел.
Тип урока: урок новых знаний
Оборудование: компьютер, презентация
Эпиграф:
«Три пути ведут к знанию: путь размышлений – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький»
(великий мыслитель и философ Китая Конфуций)
Учащиеся должны знать и уметь:
- формулировать правило выполнения сложения рациональных чисел с одинаковыми знаками;
- применять переместительные и сочетательные свойства сложения;
- выполнять упражнения, которые предусматривают сложение рациональных чисел с одинаковыми знаками.
Ход урока:
I. Изучение нового материала
Вчера в Харькове температура была -1°С, а сегодня понизилась еще на 5°С. Какая температура в Харькове сегодня?
По прогнозу погоды в Киеве сегодня должно быть -2°С, но термометр опустился еще на 3 деления. Какая оказалась температура в Киеве?
В Сумах вчера было –4°С, а в Запорожье на 2°С, холоднее. Какую температуру в Запорожье показывал термометр?
Чтобы ответить на эти вопросы, давайт обратимся за помощью к координатной прямой.
Выполним сложение отрицательных чисел с помощью координатной прямой:
[pic]
-1 + (-5) = -6; - 2 + (-3) = -5; - 4 + (-2) = - 6.
Попробуем сформулировать правило сложения двух отрицательных чисел:
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
1. сложить их модули;
2. поставить перед полученным результатом знак « - ».
Пример:
- 2 + (-5) = - ( |-2| + |-5| ) = - (2 + 5) = - 7
-3,5 + (- 4) = - ( |-3,5| + |-4| ) = - (3,5 +4) = -7,5.
Для сложения отрицательных чисел выполняется переместительное и сочетательное свойство:
a + b = b + a
a + (b + c) = (a + b) + c
- а + 0 = -а
Примеры: 0 + (-20) = -20; - 5 + (-10) = -10 + (-5);
- 7+ (-9 + (-11)) = (-7 + (-9)) + (-11).
II. Закрепление знаний. Усвоение умений
Решаем вместе:
1) а). – 28 + ( - 74) = - 102; в) – 6,28 + ( - 7,6) = - 13,88;
б) 0 + ( -23) = - 23; г) – 56 + 0 = - 56.
2) Даны числа: -1; -2; -3; -4; -5; -6; -7; -8; -9; -10.
Используя каждое число по одному разу, составьте три верных равенства:
Равенства:
- 1 + (- 4) = - 5; - 2 + ( -6 ) = - 8; - 3 + ( - 7) = - 10.
3) Установите соответствие:
А) -14 + ? = -37 1. -15
Б) -4,6 + ? = -8,6 2. - 0,28
В) -2,13 + ? = -17,13 3. - 23
Г) -3,8 + ? = -4,08 4. - 8,98
Д) -51,12 + ? = -60,1 5. - 4
Ответ: А - 3; Б – 5; В – 1; Г – 2; Д - 4.
III. Самостоятельная работа
Тест для самоконтроля:
1.Вычислите значение выражения: – 2,83 + ( - 15,092 ) + (- 49,16 )
А) 213,2 ; Б) – 67,082 ; В) – 87,36; Г) 0. ( правильный ответ – 2 балла)
2. Заполни таблицу : (правильный ответ – 0,5 балла)
Ответы теста: 1. Б.
2.
IV. Итоги урока
Контрольные вопросы:
Как сложить два отрицательных числа?
Какой знак имеет сумма двух отрицательных чисел?
Какой знак имеет сумма двух положительных чисел?
Переместительный закон сложения.
Сочетательный закон сложения.
Чему равна сумма, если одно слагаемое равно 0?
V. Домашнее задание: § 26, упражнение № 1128, 1133(1) (1 уровень),
№ 1156(1) (2 уровень)
Урок № 9
Тема: Сложение рациональных чисел с разными знаками
Цель
Образовательная: сформировать представление учащихся о правиле сложения рациональных чисел с разными знаками, в том числе и противоположных чисел,а также вырабатывать умение использовать это правило во время сложения двух рациональных чисел с разными знаками; повторить переместительное и сочетательное свойство сложения и отработать применение этих свойств в комплексе с изученным правилом сложения чисел с разными знаками.
Тип урока: урок новых знаний
Оборудование: компьютер, презентация
Эпиграф:
“Недостаточно овладеть премудростью, нужно так же уметь пользоваться ею”
(древнеримский философ Цицерон)
Учащиеся должны знать и уметь:
- формулировать правило выполнения сложения рациональных чисел с разными знаками;
- сложение противоположных чисел;
- применять переместительные и сочетательные свойства сложения;
- выполнять упражнения, которые предусматривают сложение рациональных чисел с разными знаками.
Ход урока:
I. Изучение нового материала
Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой:
[pic]
1 + (-6) = -5;
- 2 + 3 = 1;
- 4 + 4 = 0.
Попробуем сформулировать правило сложения двух чисел с разными знаками:
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
1. из большего модуля вычесть меньший;
2. поставить перед полученным результатом знак того слагаемого, модуль которого больше.
Пример: -7 + (+4) = - (|-7| - |4|) = - (7 - 4) = - 3
+3,5 + (-1,5) = + (|3,5|-|1,5|) = + ( 3,5 – 1,5) = +2.
Сумма противоположных чисел равна 0: -а + а = 0.
Примеры: - 8 + 8 = 0; -15,2 + 15,2 = 0
Для сложения рациональных чисел выполняется переместительное и сочетательное свойство:
a +b = b + a;
a + (b + c) = (a + b) + c;
-а + 0 = -а.
Примеры: 0 + (-20) = -20; - 78 + 0 = - 78; 5 + (-10) = -10 + 5;
- 7+ (9 + (-11)) = (-7 + 9) + (-11).
II. Закрепление знаний. Усвоение умений
Решаем вместе:
1. Вычислите:
- 5 + 15 = 10; 25 + (-45) = - 20; - 8,6 + 14, 2 = 5,6; 86 + (- 86) = 0.
2. Решите уравнение:
а) 6,4 - х = 6,5 б) |х-2| =12
х = 6,5 – 6,4 х-2 = 12 и х – 2 = -12
х = 6,5 – 6,4 х =12+2 х = - 12+2
х = 0,1 х1 = 14 х2 = - 10
3. Решите неравенство: |х| < 4
х = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
4. Установите соответствие:
А) -25 + ? = 39 1. - 37,9
Б) - 8,9 + ? = - 2,6 2. 3,8
В) 12,43 + ? = - 25,47 3. 54
Г) -3,8 + ? = 0 4. - 40,1
Д) -34,8 + ? = - 74,9 5. 6,3
Ответ: А - 3; Б – 5; В – 1; Г – 2; Д - 4.
5. Решите задачу:
Вася задумал число, прибавил к нему 45, затем от результата отнял 87. В результате у него получилось число –14. Какое число задумал Вася?
Решение: Пусть х –задуманное число, тогда:
(х + 45) – 87 = - 14
х - 42 = - 14
х = - 14 + 42
х = 28
III. Самостоятельная работа
Тест для самоконтроля:
1.Вычислите значение выражения: – 22,49 + 15,23 + (- 49,16 ) + 78,57
А) 253, 2 ; Б) –22,15 ; В) 22,15; Г) 56,84. ( правильный ответ – 2 балла)
2. Заполни таблицу : (правильный ответ – 0,5 балла)
Ответы теста: 1. Б
IV. Итоги урока
Контрольные вопросы:
1. Как сложить два числа с разными знаками?
2. От чего зависит знак суммы двух чисел с разными знаками?
3. Чему равна сумма противоположных чисел?
4. Выполняется ли переместительный закон сложения для чисел с разными знаками?
5. А сочетательный закон сложения?
6. Чему равна сумма, если одно слагаемое равно 0?
V. Домашнее задание: § 26, упражнение № 1125, 1130, 1133 (1 уровень),
№ 1144, 1157 (2 уровень)
Урок № 10
Тема: Вычитание рациональных чисел
Цель
Образовательная: сформировать представление учащихся о вычитании рациональных чисел, а также вырабатывать умение применять это правило для решения упражнений, которые предусматривают вычитание рациональных чисел.
Тип урока: урок новых знаний
Оборудование: компьютер, презентация
Эпиграф:
«Учиться можно весело…. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»
(французский писатель Анатоль Франс)
Учащиеся должны знать и уметь:
- формулировать правило выполнения вычитания рациональных чисел ;
- научиться заменять вычитание сложением:
- выполнять упражнения, которые предусматривают вычитание рациональных чисел.
Ход урока:
I. Изучение нового материала
Вчитание рациональных чисел имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел.
Пример: -5 + (-10) = -15; - 5 = -15- (-10). Тот же результат получим, если -15 сложим с числом, противоположным -10. Таким образом, вычитание можно заменить сложением с числом, противоположным вычитаемому.
Попробуем сформулировать правило вычитания рациональных чисел:
Чтобы из одного числа вычесть другое, надо уменьшаемое сложить с числом, противоположным вычитаемому:
а - b = а + (- b);
а – b – с = а + (- b) + (-с);
0 – а = - а; а – 0 = а; а – а = 0.
Примеры:
1. 15 – 25 = 15 + (-25) = - (25 – 15) = - 10.
2. 8 – х – 4 = 8 + (- х) + ( - 5) = 3 + (-х).
3. 0 -7 = -7; - 10 – 0 = - 10; 0 – ( -12) = 12; -20 - ( -20) = 0.
Обрати внимание!
1) в результате вычитания рациональных чисел уменьшаемое:
- уменьшается, если вычитаемое является положительным числом;
- увеличивается, если вычитаемое является отрицательным числом;
- не изменяется, если вычитаемое равно 0;
2) o вычитании рационального числа а из числа b говорят: число b изменили на число а .
II. Закрепление знаний. Усвоение умений
Решаем вместе:
Примеры:
1. 7,8 – 2,6 = 5,2
2. 7,8 – (-2,6) = 7,8 + 2,6 = 10,4
3. - 7,8 – 2,6 = - 7,8 + (-2,6) = - 10,4
4. - 7,8 –( -2,6) = - 7,8 +2,6 = - 5,2
5. - 7,8 – 0 = - 7,8 + 0 = - 7,8
6. Вычислить разность: -2,8 – (-3,2) – 1,2 – (-5,8).
Заменим действие вычитания на действие сложения:
- 2,8 – (- 3,2) – 1,2 – (- 5,8) = - 2,8 + 3,2 + (- 1,2) + 5,8 =
= ((- 2,8 + (-12)) + (3,2 +5,8) = - 4 + 9 = 5.
7. Решите уравнение:
а) 4,2 - х = - 2 б) х + 23 = 16
х = 4,2 – (-2) х = 16 - 23
х = 4,2 +2 х = 16 + (-23)
х = 6,2 х = - 7
в) | х + 5| =1
х + 5 = 1 и х + 5 = -1
х = 1 - 5 х = -1 – 5
х = 1+ (-5) х = -1 + (-5)
х1 = - 4 х2 = - 6
8. Установите соответствие:
А) -25 - 38 = 1. - 54
Б) 8,9 - 14,6 = 2. - 12,43
В) -12,43 - 0 = 3. - 7,4
Г) -3,8 – 3,6 = 4. - 5,7
Д) 0 - 54 = 5. - 63
Ответ: А - 5; Б – 4; В – 2; Г – 3; Д - 1.
III. Самостоятельная работа
Тест для самоконтроля:
1.Вычислите значение выражения: – 743 – (–395) – (-1043)
А ) -1025, 2 ; Б) – 695 ; В) 975; Г) 695. (правильный ответ – 2 балла)
2. Заполни таблицу : (правильный ответ – 0,5 балла)
Ответы теста: 1. Г
2.
IV. Итоги урока
Контрольные вопросы:
1. Что значит вычесть из одного числа другое?
2. Может ли уменьшаемое быть меньше вычитаемого?
3. Как вычесть из данного числа другое, используя координатную прямую?
4. Сформулируйте правило замены вычитания сложением.
V. Домашнее задание: § 27, упражнение № 1188, 1194, 1206 (1 уровень),
№ 1210, 1216 (1,2) (2 уровень)
Урок № 11
Тема: Самостоятельная работа
Цель урока: проверить качество и уровень знаний учащихся по темам: «Сложение отрицательных рациональных чисел. Сложение отрицательных рациональных чисел. Вычитание рациональных чисел»
Тип урока: урок контроля знаний
Контрольный тест № 3
Темы: «Сложение отрицательных рациональных чисел. Сложение отрицательных рациональных чисел. Вычитание рациональных чисел»
(каждое задание оценивается - 1 балл)
1. Вычисли значение выражения: a + b + c, если а = -24; b = -7; с = -16.
А) - 47; Б) 47; В) 0; Г) -33.
2 . Вычислите: -129 + 300 + (- 171).
А) 0; Б) - 52; В) 0; Г) - 205.
3. Вычислите: -129 - 300 - (- 171).
А) 308; Б) - 520; В) 0; Г) - 258.
4. Укажите выражения, значения которых равны 12.
А) |240| + |-20|; Б) |-12| + |0|; В) |-360| + |-30|; Г) |-5,2| + |-6,8|.
5. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
- 23,5 - 36,5 - 24, 2 - (- 39,8)
А) 156,7; Б) - 44,4; В) - 102,3; Г) 44,4.
6. Даны числа -1,5; -3,5; -2,5. Найди число, противоположное сумме этих чисел.
А) 0; Б) -7,5; В) 8,5; Г) 7,5.
7. Какое значение имеет х, если х + (-8) = -19?
А) 11; Б) -27; В) -11; Г) 27.
8. Вычислите значение выражения: - 19 - 11 - ( - х), если х = 32,5
А) - 40,5; Б) 2,5; В) 62,5; Г) -2,5.
9. Найдите корни уравнения: |х - 5| = 18
А) -23; Б) 23; В) -13; Г) 13.
10. Установи соответствие:
А) - 2 [pic] – 3 [pic] ; 1. [pic]
Б) | [pic] | + | - [pic] ; 2. - 4 [pic]
В) - 5 [pic] + 1 [pic] ; 3. 1 [pic]
Г) | - 3 [pic] | - |- 2 [pic] |. 4. - 5,5
11. Найдите корни уравнения: | |х| - 5| = 2
А) 7; -7; Б) 5; -7; -5; В) 7; -5; Г) 5; -5; 7; -7.
12. Найдите сумму всех целых чисел n таких, что –17 < n <14
А) - 45; Б) - 31; В) 31; Г) свой ответ.
.
43
