Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области
«Воронежский политехнический техникум»
(ГБПОУ ВО «ВПТ»)
Методическая разработка урока с использованием
компьютерных технологий на тему
Геометрические приложения определенного интеграла.
Дисциплина: Математика
для специальностей: 19.02.10 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
Разработал:
преподаватель: Ткаченко Л.Н.
г. Воронеж, 2016 г.
Тема урока: Геометрические приложения определенного интеграла.
Цель и задачи урока:
Образовательная: Ознакомление учащихся с геометрическим смыслом определенного интеграла, формулами для нахождения площади фигуры и объема тела вращения, формирование умения решать простейшие задачи на нахождение площадей и объемов..
Воспитательная: воспитание у учащихся стремления к расширению полученных знаний, формирование активности, умения работать самостоятельно.
Развивающая: развитие умения делать выводы и обобщение, учить применять ранее изученный материал для работы по новой теме; активизация познавательной деятельности.
Методическое обеспечение
Компьютерные слайды
Таблицы основных интегралов, свойств определенного интеграла.
План урока
Организационный момент – 3 мин.
Проверка домашнего задания – 6 мин.
Изложение нового материала с поэтапным закреплением – 60 мин.
Задание на дом – 4 мин.
Подведение итогов, выставление оценок – 7 мин.
Ход урока
1 Организационный момент: подготовка группы к уроку, отметка отсутствующих.
2 Проверка домашнего задания.
Вариант 11 – у доски, варианты 10, 12 – фронтально. Опрос таблицы интегралов, свойств определенного интеграла – по карточкам.
Вариант 11. Найти неопределенный интеграл:
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] .
Вариант 12. Найти неопределенный интеграл:
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] .
Вариант 13. Найти неопределенный интеграл:
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic]
3 Изложение нового материала с поэтапным закреплением.
Тема сегодняшнего занятия – «Геометрические приложения определенного интеграла».
1. Вычисление площадей. (слайд 2)
Определение. Фигура, ограниченная графиком функции, осью абсцисс и прямыми х = а, х = b, называется криволинейной трапецией (слайд 3).
Вычисление площади такой фигуры выполняется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница: [pic]
(слайд 5,4).
Задача № 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x²,y=0,x=1,x=2.
Решение.
Выполним чертеж (слайд 6). Фигура лежит в верхней полуплоскости, следовательно, функция на заданном отрезке интегрирования принимает положительные значения. Применим формулу Ньютона – Лейбница и вычислим значение определенного интеграла: [pic]
[pic] (кв. ед.)
Задача № 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
[pic] .
Решение.
Выполним чертеж (слайд 7). Фигура лежит в верхней полуплоскости, следовательно, функция на заданном отрезке интегрирования принимает положительные значения. Данная фигура ограничена графиками двух функций Найдем пределы интегрирования из решения уравнения: [pic] .
[pic]
Отсюда по теореме Виета имеем корни [pic] .
Т. к. верхняя часть фигуры ограничена графиком функции [pic] , то выражение для вычисления площади будет иметь вид: [pic] [pic] .
Решим данные интегралы метолом непосредственного интегрирования:
[pic] = [pic] │ [pic] = [pic] = 6 + [pic] +2 - [pic] = [pic] .
Проверочное задание на вычисление площади фигуры с последующей проверкой.
Проверь себя:
Вариант 1.
Не выполняя построений, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: [pic] .
Вариант 2.
Не выполняя построений, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: [pic] .
Проверка:
Вариант 1.
Не выполняя построений, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: [pic] .
Решение.
[pic] │ [pic] [pic] = [pic] = [pic] .
[pic]
Вариант 2.
Не выполняя построений, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: [pic] .
Решение.
[pic] [pic] │ [pic] = [pic] = [pic] .
2. Вычисление объемов тел вращения.
Если криволинейную трапецию вращать около одной из осей, получится геометрическое тело, называемое телом вращения.
Объем такого тела находят по формуле (слайд 9).
Задача № 3. Вычислить объем тела вращения: [pic] .
Решение.
[pic] [pic] .
Задача № 4. Вычислить объем тела вращения: [pic] .
Решение.
[pic] [pic] │ [pic] =9-4=5.
Вычислить объем тела вращения:
а) [pic] ; б) [pic] (у доски). Как найти пределы интегрирования?
Самостоятельная работа. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1 вариант: а) [pic] ;
2 вариант: б) [pic]
Кроме этого с помощью определенного интеграла можно находить физические величины: путь, пройденный телом, работа переменной силы и т. д. (слайд 10, 11).
Домашнее задание: Колмогоров А. Н. №353(а, б), 354(а, б), 370(а, б).
Решение упражнений. Колмогоров А. Н. №353(в, г), 354(в, г),
Подведение итогов урока:
Какие величины можно вычислять с помощью определенного интеграла?
Как называется формула для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой?
Запишите эту формулу.
Запишите формулу для вычисления объема.
Выставление оценок.
