Технологические карты по геометрии 8 класс по тем: Четырехугольники по учебнику Л.С.Атанасяна,В.Ф.Бутузова,С.Б.Кадомцева,Э.Г.Позняка, И.И.Юдиной

Технологические карты уроков геометрии в 8 классе по учебнику Л.С.Атанасяна и др.

По теме : ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Урок 1. Многоугольники

Регулятивные: понимают смысл поставленной задачи.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: выражают интерес к изучению предметного курса, проявляют готовность и способность к саморазвитию, имеют мотивацию к обучению и познанию

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев,
Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. М.: Просвещение, 2014.

• Задания для фронтальной и индивидуальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Повторить основные элементы треугольника

(Ф) Напомнить учащимся определение треугольника. Вспомнить элементы треугольника (сторона, вершина, угол)

II этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Постановка учебной задачи

Ввести понятие многоугольника

(И/Ф) Рассмотреть рис. 150, 151 и 152 из учебника на с. 97–98. Что общего у этих геометрических фигур?

III этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ознакомить с выпуклыми и невыпуклыми многоугольниками

(И/Ф) 1. Рассмотреть элементы многоугольника (вершины, стороны, диагонали, углы).

(Ф) 2. Отметить, что каждый многоугольник разделяет плоскость на две области – внутреннюю и внешнюю.

(Ф) 3. Дать понятие выпуклого многоугольника

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Обучающие и развивающие задания и упражнения

Диагностические задания

Закрепить полученные знания

[pic]

(Ф) 1. Ответить на вопросы (устно):

Какие фигуры, изображенные на доске, являются многоугольниками? Какие многоугольники являются выпуклыми?

(И) 2. Задание для каждого ряда:

Начертить выпуклый семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник и провести все диагонали из какой-нибудь его вершины.

[pic]

[pic]

(Ф) Сколько получилось треугольников?

IV этап. Повторение

Цель деятельности

Обучающие и развивающие задания и упражнения

Диагностические задания

Повторить изученный материал

[pic]

(И/Ф) Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.

Решение:

Рис. 7. Назовем точку пересечения отрезков АС и BD точкой О. Тогда ∆АОВ = ∆СОD (по первому признаку).

Рис. 8. Так как РN = РP, РМKN = РPKE, как вертикальные, NK = KP по условию, значит, MKN = ∆EKP (по второму признаку).

[pic]

[pic]

[pic]

Рис. 9. АС – общая, АB = AD, РВАС = РСАD, значит, ∆АBC = ∆ADC (по первому признаку).

Рис. 10. BD – общая, AD = BC, РADB = РCBD, значит, ∆ABD = ∆CDB (по первому признаку).

Рис. 11. DF – общая, РMFD = РEFD, РMDF = РEDF, тогда ∆MDF = ∆EDF (по второму признаку).

Рис. 12. АР – общая, РNAP = РNPA, РMAP = РMPA, тогда ∆MAP = ∆NAP (по второму признаку).

Рис. 13. NK – общая, MN = KP, NP = KM, значит, ∆MNK = ∆PKN (по третьему признаку).

Рис. 14. DB – общая, РADB = РCBD, РABD = РCDB, значит, ∆ADB = ∆CBD (по второму признаку).

Рис. 15. Так как AD = BF, а DB – общая, то АВ = DF, РEDF = РCBA, РEFD = РCAB, тогда ∆DEF = ∆BCA
(по второму признаку).

Рис. 16. АС = ВС, РС – общий, РВ = РА, значит, ∆СВЕ = ∆САD (по второму признаку).

Рис. 17. КН = НЕ, FK = PE, углы, равные смежным, тоже равны, значит, РFKH = РPEH и тогда ∆FKH =
= ∆PEH (по первому признаку).

Рис. 18. DE = EC, углы, равные смежным, тоже равны, тогда РADE = РBCE, РAED = РBEC (как вертикальные), следовательно, ∆ADE = ∆BCE (по второму признаку)

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какая фигура называется многоугольником?

– Что такое вершина, сторона, диагонали и периметр многоугольника?

– Какой многоугольник называется выпуклым?

– Какой этап урока оказался наиболее трудным для вас и почему?

(И) Домашнее задание: п. 40 прочитать; № 364, 365

Урок 2. Выпуклый многоугольник

Регулятивные: понимают смысл поставленной задачи.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: проявляют критичность мышления; распознают логически некорректные высказывания

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Учебник.

• Задания для парной и фронтальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Повторить основные элементы треугольника

(Ф) 1. Какая фигура называется четырехугольником?

2. Какие вершины многоугольника называются соседними? Какие – противоположными?

3. Что такое диагонали многоугольника? Напомнить учащимся определение треугольника. Вспомнить элементы треугольника (сторона, вершина, угол)

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Постановка учебной задачи

Вывести формулу суммы углов многоугольника

(П/Ф) 1. Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника? (Возникает проблемная ситуация.)

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Вывести формулу суммы углов многоугольника

– Как зависит сумма углов многоугольника от числа треугольников, на которые он разбивается диагоналями, проведенными из одной вершины?

[pic]

Вывод:

Сумма внешних углов n-угольника не зависит от количества сторон и всегда равна 360°. Объясните: почему?

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить полученные знания

(Ф) 1. Найдите сумму углов выпуклого:

а) восьмиугольника;

б) двенадцатиугольника.

(Ф) 2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если его сумма углов равна 2340°?

(И) 3. Решить № 364 (в), 365

1. а) n = 8; (8 – 2) · 180° = 1080°.

б) n = 12; (12 – 2) · 180° = 1800°.

2. (n – 2) · 180 = 2340

n – 2 = 13

n = 15

Ответ: многоугольник имеет 15 сторон.

№ 364.

в) n = 10; (10 – 2) · 180° = 1440°

№ 365.

а) α = 90°; (n – 2) · 180° = 90° n; n = 4

б) α = 60°; (n – 2) · 180° = 60° n; n = 3

в) α = 120°; (n – 2) · 180° = 120° n; n = 6

г) α = 108°; (n – 2) · 180° = 108° n; n = 5

III этап. Повторение

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

3

Повторить изученный материал

(Ф) 1. Параллельны ли прямые а, b и с?

[pic]

1. Параллельны.

1

2

3

(Ф) 2. Параллельны ли прямые a и b?

[pic]

(Ф) 3. Параллельны ли прямые m и n, n и k, m и k?

[pic]

2. Да.

3. Да

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Что нового узнали на уроке?

– Какой этап урока оказался для вас самым сложным?

– Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: вопросы 3–5, с. 113; № 368, 369

Урок 3. Параллелограмм. Свойства параллелограмма

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности; осуществляют планирование и контроль.

Коммуникативные: договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Учебник.

• Задания для самостоятельной работы

I этап. Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности у учащихся при выполнении домашней работы

Обсудить выполнение домашней работы (решение задач), ответить на вопросы учащихся

II этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Выявить у учащихся умение находить сумму углов многоугольников

(И)

Вариант I

1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника. (1980°.)

2. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°. Найдите число сторон этого многоугольника. (8.)

Вариант II

1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника. (1800°.)

2. Сумма углов выпуклого многоугольника с равными углами равна 1260°. Найдите число сторон этого многоугольника. (9.)

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

Каждый угол данного выпуклого многоугольника равен 150°. Найдите сумму углов выпуклого многоугольника, число сторон которого в два раза меньше, чем число сторон данного многоугольника. ((n – 2) · 180° = 150n;
n = 12 – число сторон исходного многоугольника; 6 сторон у второго многоугольника. Сумма его углов 720°.)

III этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

1

2

Дать определение параллелограмма и доказать его свойства

(Ф/И) 1. Дать определение параллелограмма. Воспроизвести рис. 157 из учебника (один учащийся – на доске, остальные – в тетрадях) и сделать запись: «Параллелограмм АВСD».

Предложить учащимся записать пары параллельных сторон: АВ || CD, BC || AD.

[pic]

1

2

(Ф) 2. Рассмотреть свойства параллелограмма:

• В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

(Ф) 3. Доказать любое свойство параллелограмма в классе, на дом предложить доказательство второго свойства

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить полученные знания

(Ф/И)

1. Докажите, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

2. Решите задачи № 376 (а) (устно);
№ 376 (б), 372 (а).

№ 376 (а). РА = РС = 84°,РВ = РD = 180° – 84° = 96°.

№ 376 (б). Можно решить системой уравнений:

РА – РВ = 55°; РА + РВ = 180°; РА = 117,5°, РВ = 62,5°

№ 372 (а). Пусть одна сторона х см, тогда вторая (х + 3) см. Так как периметр равен 48 см, то составим и решим уравнение: (х + х + 3) · 2 =
= 48; х = 10,5; таким образом, одна сторона равна 10,5 см, вторая – 13,5 см

IV этап. Итоги урока

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

3

Подвести итог изученному теоретическому материалу

(Ф) Если в условии задачи дано, что АВСD – параллелограмм, то можно использовать его свойства:

АВ || СD, ВС || АD; АВ = СD, ВС = АD; РA = РC, РВ = РD;

РA + РВ = 180° и т. д.; АО = ОС,
ВО = ОD.

[pic]

V этап. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И) Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: вопросы 6–8, с. 113; № 372 (б), 376 (в, г), 374;
доказать одно из свойств параллелограмма (то, которое в классе не доказывали)

Урок 4. Признаки параллелограмма

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); групповая (Г); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Учебник.

• Задания для индивидуальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

3

Повторить основные элементы параллелограм-

ма, его свойства и признаки

(Ф/И) 1. Дает задание подготовить у доски свойства параллелограмма с доказательст-

вом (для учащихся со слабым уровнем подготовки). (Выслушать индивидуально каж-

дого отвечающего.)

(Ф/И) 2. Дает задание доказать самостоятельно следующие свойства параллелограмма (для учащихся с высоким уровнем подготовки):

1) Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2) Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.

(После подготовки выслушать доказательства дополнительных свойств параллелограмма.)

Наводящие вопросы:

– Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

– Какие углы в BAE могут быть равными? Почему?

1) Дано: ABCD – параллелограмм, AE – биссектриса РBAD.

[pic]

Доказать: ABE – равнобедренный.

Доказательство: так как ABCD – параллелограмм, значит
ВС || AD, тогда РEAD = РBEA, как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АЕ. АЕ – биссектриса РBAD, значит РBAE =РEAD, поэтому РBAE = РBEA.

В ABE РBAE = РBEA, значит, ABE – равнобедренный с основанием АЕ.

2а) Дано: ABCD – параллелограмм, ВE – биссектриса РСВА,
AE – биссектриса РBAD.

[pic]

Наводящие вопросы:

– Когда прямые AЕ и CK будут параллельными?

– Равны ли РBEA и Р3? Почему?

– В каком случае AЕ и CK совпадут?

Доказать: ВЕ  АЕ.

Доказательство: AE – биссектриса, следовательно Р1 = Р2.
ВE – биссектриса Ю Р3 = Р4.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому РАВС + РBAD = 180°, то есть Р1 + Р2 +Р3 +
+ Р4 = 180°

Так как Р1 = Р2, Р3 = Р4, то 2 · (Р1 + Р3) = 180°, Р1 + Р3 = 90°.

В ABE РAEB = 180° – (Р1 + Р3) = 90°, то есть ВЕ  АЕ.

2б) Дано: ABCD – параллелограмм, АE, СK – биссектрисы
РА = РC.

[pic]

Доказать: AЕ || CK или AЕ и CK совпадают.

Доказательство: так как ABCD – параллелограмм, то Р2 = РBEA, как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AЕ.
В параллелограмме противолежащие углы равны, следовательно, РBAD = РBCD, значит, Р1 = Р2 = Р3 = Р4.
Так как Р2 = РBEA, Р2 = Р3, то РBEA = Р3 Ю прямые AЕ и CK параллельны по признаку параллельности прямых. Прямые AЕ и CK совпадут, если в параллелограмме смежные стороны равны

II этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Постановка учебной задачи

Создать условия для введения признаков параллелограмма

(Ф)

– Что означают слова «свойства» и «признак»? Приведите примеры.

– Какую теорему называют обратной?

– Всегда ли верно утверждение, обратное данному? Приведите примеры

III этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

1

2

Сформулировать признаки параллелограмма

(Ф)

– Сформулируйте утверждения, обратные свойствам параллелограмма. Всегда ли они верны?

(Г/Ф) Далее учащихся можно распределить на группы (по рядам) для учебно-исследовательской работы. Обсудить доказательства, сделать запись на доске и в тетради.

1. Если АВ = CD и АВ || CD, то АВСD – параллелограмм.

[pic]

2. Если АВ = CD и ВС = АD, то АВСD – параллелограмм.

[pic]

1

2

3. Если АС ∩ BD = O, АО = ОС и ВО = ОС, то АВСD – параллелограмм.

[pic]

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить полученные знания

(Ф/И) 1. Решите задачу № 379 (на доске и в тетради).

(И) 2. Решите задачу № 380 (самостоятельно)

Дано: ABCD – параллелограмм, BK  AC, DM  AC.

[pic]

Доказать: BMDK – параллелограмм.

Доказательство:

1) BKM = DMA по гипотенузе и острому углу (РBCK = РDAC, как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей АС, ВС = AD, как противолежащие стороны параллелограмма, BKC и DMA прямоугольные), значит MD = BK.

2) BMK и DKM – прямоугольные, BMK = DKM по двум катетам (MD = BK, KM – общий катет), значит, BM = DK.

3) В четырехугольнике BMDK противолежащие стороны равны
(MD = BK и BM = DK), следовательно, BMDK – параллелограмм

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И) Если в задаче необходимо доказать, что АВСD – параллелограмм, то применяют один из признаков:

1. Если АВ = CD и АВ || CD, то АВСD – параллелограмм.

2. Если АВ = CD и ВС = АD, то АВСD – параллелограмм.

3. Если АС ∩ BD = O, АО = ОС и ВО = ОС, то АВСD – параллелограмм.

– На каком этапе урока у вас возникли трудности?

(И) Домашнее задание: выучить признаки параллелограмма; решить

№ 382, 383

Урок 5. Решение задач по теме «Параллелограмм»

Регулятивные: понимают смысл поставленной задачи.

Коммуникативные: договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: выражают интерес к изучению предметного курса; проявляют готовность
и способность к саморазвитию; имеют мотивацию к обучению и познанию

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Учебник.

• Задания для работы по индивидуальным карточкам, для самостоятельной работы по вариантам, для парной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

1

2

Повторить основные свойства и признаки параллелограмма

(И) Работа по индивидуальным карточкам (3–6 человек).

1-й уровень.

1. Точки Е и K – середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что АЕСK – параллелограмм.

2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АС = 2 дм, АО = 10 см, BD = 1,5 дм,
ВО = 1 см.

Выясните, является ли ABCD параллелограммом.

2-й уровень.

1. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD отмечены соответственно точки М и N так, что РBMC =
= РAND. Докажите, что AMCN – параллелограмм.

2. Точки А и В делят диагональ МK параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP параллелограммом? Ответ обоснуйте.

3-й уровень.

Дано: ABCD – параллелограмм, AM = СK, AP = CN (рис. 1).

Доказать: MNKP – параллелограмм.

[pic]

(И) Остальные учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам.

Вариант I

1. В четырехугольнике АВСD АВ || CD и АВ = CD, АС = 10 см, BD = 5 см, АВ = 6,5 см. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О. Найти периметр треугольника СОD.

2. В параллелограмме АВСD из вершины В тупого угла АВС проведен перпендикуляр ВK к стороне АD (K О АD) и ВK = 0,5АВ. Найти углы параллелограмма.

Вариант II

1. В четырехугольнике АВСD О – точка пересечения диагоналей и ВС = АD, АВ = CD, АС = 16 см, ВD = 14 см,
Р∆АОВ = 25 см. Найти АВ.

2. В параллелограмме АВСD из вершины В тупого угла опущен перпендикуляр ВK на сторону AD и АK = ВK. Найти углы параллелограмма

II этап. Решение задач по готовым чертежам

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

3

Повторить основные свойства и признаки параллелограмма

(П)

1. ABCD – параллелограмм.

Найти: РС, РD.

[pic]

2. MNKP – параллелограмм.

Найти: МР, РK.

[pic]

3. Найти углы параллелограмма ABCD.

[pic]

1. РC = 64°, РD = 116°.

2. МР = 4 см, РK = 10 см.

3. РB = РD = 115°, РA = РC = 65°.

4. ABCD – параллелограмм.

Найти: PАВСD.

[pic]

5. ABCD – параллелограмм.

Найти: AD.

[pic]

6. ABCD – параллелограмм.

Найти: PABCD, РАЕD.

[pic]

7. NBFD – параллелограмм. AD = 4 см,

NB = 5 см.

Найти: ВС, CD.

[pic]

4. PABCD = 16 см.

5. AD = 10 см.

6. PABCD = 30 см, РAED = 90°.

7. ВС = 4 см, CD = 5 см.

8. ABCD – параллелограмм.

PMNKP = 20 см.

Найти: MN, MP.

[pic]

9. BNDM – параллелограмм.

АВ : ВС = 4 : 5, РABCD = 18 см.

Найти: AD, DC.

[pic]

8. MN = 3 cм, MP = 1 cм.

9. AD = 5 см, DC = 4 см

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Какие свойства и признаки параллелограмма повторили на уроке?

– Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: разобрать по учебнику № 385 (Теорему Фалеса), решить задачу:

Дано: ABCD – параллелограмм. AN – биссектриса РBAD, ВМ – биссектриса РABC.

Доказать: ABNM – параллелограмм.

[pic]

Урок 6. Трапеция

Регулятивные: принимают и сохраняют учебную задачу.

Коммуникативные: умеют применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач, работать в группе.

Личностные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные
ресурсы

• Учебник.

• Задания для индивидуальной работы

I этап. Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф) 1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

2. Сформулируйте свойства параллелограмма.

3. Сформулируйте признаки параллелограмма

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие трапеции, ее оснований и боковых сторон

(Ф/И) 1. В тетрадях учащихся и на доске рисунок трапеции и записи:

[pic]

ABCD – трапеция, если ВС || AD, АВ и CD – боковые стороны, ВС и AD – основания.

2. Ввести понятия равнобедренной и прямоугольной трапеции.

[pic]

Учебно-исследовательская деятельность

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

3

Сформулировать свойства равнобедренной трапеции

(Г) Класс разбивается на несколько групп для обсуждения свойств и признаков равнобедренной трапеции.

Задание: исследовать углы равнобедренной трапеции, диагонали трапеции.

Результаты исследований выслушать и обсудить, на доске и в тетрадях выполнить запись:

Свойства равнобедренной трапеции:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

[pic]

2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

[pic]

Задание: сформулируйте утверждения, обратные свойствам равнобедренной трапеции, и докажите их справедливость.

Результаты исследований выслушать и обсудить, на доске и в тетрадях выполнить запись:

1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство:

Проведем СЕ || АВ.

АВСЕ – параллелограмм (АВ || СЕ, ВС || AD).

CD = AB = СЕ, CDE – равнобедренный, Рl = Р2.

АВ || СЕ, тогда Р2 = Р3. Рl = Р2 = Р3.

РABC = 180° – Р3 = 180° – Рl = РBCD

Доказательство:

∆АВС = ∆DCB (АВ = DC, ВС – общая сторона, РABC =

= РDCВ), тогда АС = BD.

Доказательство:

Проведем СЕ || АВ.

АВСЕ – параллелограмм, тогда АВ = СЕ, РA = РCED.

[pic]

2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

[pic]

∆CED – равнобедренный (РD = РCED), тогда СЕ = CD.

АВ = СЕ = CD, тогда ABCD – равнобедренная трапеция.

Доказательство:

Проведем СK || BD.

BCKD – параллелограмм (СK || BD, ВС || АK).

∆АСK – равнобедренный (AC = BD = СK), Р1 = Р2.

СK || BD, Р2 = Р3, тогда Р1 = Р3.

∆ABD = ∆DCA (АС = BD, AD – общая сторона, Р1 = Р3), тогда АВ = CD, то есть ABCD – равнобедренная трапеция

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Обучающие и развивающие задания и упражнения

Диагностические задания

Ввести понятие средней линии трапеции

(Ф) № 386 (по теореме Фалеса). После решения этой задачи можно дать определение средней линии трапеции.

[pic]

М – середина АВ, N – середина CD, MN – средняя линия трапеции

№ 386.

Доказательство:

Пусть М – середина АВ. Проведем MN || AD || ВС. Точка N – середина CD (по теореме Фалеса). Докажем, что MN – единственная. Через точки M и N можно провести только одну прямую (по аксиоме), то есть отрезок, соединяющий середины боковых сторон, единственен и MN || AD || ВС

IV этап. Итоги урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф) 1. Какой четырехугольник называется трапецией?

2. Назовите элементы трапеции и ее виды.

3. В решении задач на трапецию можно использовать свойства углов при параллельных прямых и секущей

V этап. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И) 1. Оцените свою работу на уроке.

2. Какой этап урока вызвал у вас наибольшее затруднение и почему?

3. Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: выучить теоретическую часть; решить
№ 384, 387

Урок 7. Решение задач по теме «Параллелограмм. Трапеция»

Регулятивные: принимают и сохраняют учебную задачу.

Коммуникативные: умеют применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач, работать в группе.

Личностные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

• Учебник.

• Задания для фронтальной, индивидуальной, парной работы

I этап. Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении заданий домашней работы; проверить уровень усвоения теоретического материала

(Ф) 1. Дайте определение трапеции.

2. Какие виды трапеций существуют?

3. Перечислите свойства равнобедренной трапеции

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Создать условия для применения теоретических знаний при решении задач

(Ф/И)

Дано: ABCD – трапеция, МK – средняя линия.

ВС = 13, МK = 25.

Найти: АD.

Решение задач по готовому чертежу (устно):

1. MN – средняя линия трапеции АВСD, 

PR – средняя линия трапеции АMND.

ВС = 6 см, АD = 10 см.

Найти: MN и PR.

[pic]

2. Чем являются отрезки МK и KN, если MN – средняя линия трапеции АВСD?

[pic]

[pic]

Решение:

Так как МK = (ВС + АD) : 2 = 25, то ВС + AD = 50,

AD = 50 – 13 = 37 см.

Ответ: 37 см.

1. MN = 8 см, PR = 9 см.

2. MK – средняя линия ∆АВС, KN – средняя линия ∆АСD

III этап. Работа в парах

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Создавать условия

для формирования навыков решения

задач

На каждом столе расположен листок с напечатанными задачами.

Задача 1.

Большее основание трапеции равно 8 см, а меньшее на 3 см меньше средней линии. Найти: ВС, MK.

Дано:

АВСD – трапеция, АD = 8 см, МK – средняя линия.

ВС – ? на 3 см меньше МK.

Найти: ВС, МK.

[pic] Решение:

Пусть ВС = х см, тогда МK = (х + 3) см МK = (АD + ВС) : 2; х + 3 = (х + 8) : 2; 2х + 6 = х + 8; х = 2.

ВС = 2 см, МK = 2 + 3 = 5 (см) Ответ: ВС = 2 см, МK = 5 см.

Задача 2.В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Периметр трапеции равен 54 дм, большее ее основание – 1,8 м. Вычислите меньшее основание трапеции.

Дано: АВСD – равнобокая трапеция.

Р – 54 дм.

АD = 1,8 м = 18 дм.

Найти: ВС.

[pic]

Решение:

1 = 2 так как АС – биссектриса угла A;  2 = 3, как внутренние накрест лежащие углы.

1 = 2 и 2 = 3 , значит 1 = 3 , поэтому треугольник АВС – равнобедренный.

Пусть АВ = ВС = СD = х. Составим такое уравнение :3х + 18 = 54
3х = 54 – 18   3х = 36 х = 12 Ответ: ВС =12 дм.

Задача 3.В равнобокой трапеции с острым углом 60° биссектриса этого угла делит меньшее основание, равное 16 см, пополам. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано:

АВСD – равнобокая трапеция, ВС – 16 см.АK – биссектриса РA ВK = KC MN – средняя линия 
РA = 60°

Урок 8. Трапеция. Задачи на построение

Регулятивные: принимают и сохраняют учебную задачу.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

• Учебник.

• Задания для самостоятельной работы

I этап. Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф) 1. Сформулируйте теорему Фалеса.

2. Сформулируйте свойства равнобедренной трапеции

1. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, диагонали равны

II этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить степень усвоения теоретического материала и умение его применять при решении задач

(И)

Вариант I

Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°.

[pic]

ВС = 8 см, АK = МD = 3 см

СD = 2MD = 6 см, так как MD – катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Вариант II

Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если ее большее основание равно 16 см, боковая сторона – 10 см, а один из углов равен 60°.

[pic]

АD = 16 см, СD = 10 см, РD = 60°, тогда МD = 0,5СD = 5 см,

АK = МD = 5 см, значит, ВС = KМ = 16 – 10 = 6 см.