Семинар для 11 класса
Тема: «Применение интеграла для нахождения площадей фигур»
Цель: сформировать знания разбиения фигуры на криволинейные трапеции, умения находить площади этих трапеций. Развивать навыки логического мышления при решении поставленных задач. Воспитывать чувство ответственности и умение решать любыезадачи путем сведения их к решению простейших.
Ход семинара.
I. Подготовка к семинару.
1) С помощью кодокарточки проверить выполнение домашнего задания. На дом было задано: построить фигуры, ограниченные линиями:
а) y=3х + 6, х=-1, х=2, у=0;
б) y=3 + 2x – x2, y=0;
в) у=x2 - 2x -3, y=0;
г) у=x2 - 2x -3, y=0, x=0, x=2;
) у=x2 - 2x -3, y=0, у=x2 - 18x + 17;
е) у=-x2 + 4; у=x2 - 2x .
2) Повторить вопросы фронтально:
а) В чем геометрический смысл интеграла?
б) Какие ограничения накладываются на функцию y=f(x)?
в) Назовите криволинейные трапеции по рисункам домашнего
задания
г) Для каких из названных фигур мы можем найти площади
используя определение интеграла?
Сегодня на уроке мы познакомимся, как находить площади различных фигур с помощью интеграла.
II. Выступление учащихся.
I тема
(выполняет первая группа)
а) Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=0, x=a, x=b, то из геометрического смысла интеграла следует, чтоплощадь фигуры равна:
S=
Пример: Найти площадь фигуры ограниченной линиями: y=3x2+1,y=0, x=-1, x=2
y
-1 2 x
Решение.
б) Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=0, то чтобы найти площадь криволинейной трапеции надо сначала найти a и b - это точки, в которых график функции y=f(x) пересекаетось ОХ.Для этого надо решить уравнение f(x)=0
Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=3+2x–x2 и y=0
y
-1 3 x
Решение
Решим уравнение f(x)=0. То есть 3 + 2x – x2=0. Получим х1= -1 и х2=3 (х1 < x2). Поэтому а = х1 = -1,b = x2 = 3. И тогдаS=
II тема.
(выполняет вторая группа учащихся)
1. Если фигура ограничена линиями y=f(x), y=0, x=a, x=bно графикфункции y=f(x) лежит ниже оси ОХ на[a;b], то есть f(x)<0 на [a;b]. Так как f(x)<0 на [a;b],то –f(x)>0 на [a;b]. И поэтому S = .
Пример 3. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x2-2x-3, y=0, x=0, x=2.y
-1 3 x
Так как f(x)< O на [O, 2], то S = –
2. Если фигура ограничена линиями y=f(x), y=0, но график функции y =f(x) лежит ниже оси ОХ на [a,b],то есть f(x) <0 на [a,b],то площадь фигуры вычисляется то же по формуле. Пределы интегрирования,числа aи bнаходятся из уравнения f(x)=0.
Пример 4. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x2-2x-3, y=0.
y
-1 3 x
Решение
Найдем пределы интегрирования. Для этого решим уравнениеx2-2x-3=0.Получим корни х1=-1 и х2=3. Поэтому а=-1, b=3.Значит
III тема
(выполняет 3 группа учащихся)
Если фигура ограничена линиями y=f(x) и y=g(x), тов этом случае фигура получается как разность двух криволинейных трапеций. Площадь такой фигуры равна разности площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b и y=g(x), y=0, x=a, x=b. Чтобы найти пределы интегрирования, надо решить уравнениеf(x)=g(x). Итогда , если f(x)>g(x) на [a;b].Или , если g(x)>f(x) на [a,b].
Пример 5. Найти площадь фигуры ограниченной линиями f(x)=-x2+4 и g(x)=x2-2x
y
-1 3 x
Решение.
В этом случае площадь фигуры находим как разность площадейдвух криволинейных трапеций. Пределы интегрирования найдем из уравнения f(x)=g(x), то есть: ;. Поэтому a = -1 b = 2 и f(x) > g(x) на [-1,2].Таким образомS===== =
IV тема.
(выполняет 3 группа учащихся)
Если фигура, ограничена линиями y = f(x), y = g(x), y = 0,то в этом случае фигура состоит из двух криволинейных трапеций: трапеции – ограниченной линиями y=f(x), x = a, x = b и трапеции, ограниченной линиями ограниченной линиями y = g(x), x = b, x = c. Площадь этой фигуры равна сумме площадей двух криволинейныхтрапеций. Из уравнения f(x) = 0 находим а, из уравнения f(x) = g(x) находим b, из уравнения g(x) = O находим с.
И тогда S = ,a<b<c
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
f(x) = x2+ 2x - 3, g(x) = x2 -10x+21, y = O
y
3 x
1 2
Решение.
Находим пределы интегрирования. . Значит а=1.. Таким образом b=2.Таким образом с = 3. Из этого следует, что площадь искомой фигуры равна S = + = + = + ==
