Сборник самостоятельных работ по математике 1 курс

Министерство образования и науки Республики Татарстан

ГБПОУ «Спасский техникум отраслевых технологий»

Сборник самостоятельных работ

для организации текущего контроля знаний

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА: алгебра, начала математического анализа и геометрия»

для студентов 1 курса

Составил:

преподаватель математики

Субботкина И.П.

г.Болгар-2015г.

Введение

Сборник самостоятельных работ по дисциплине «МАТЕМАТИКА: алгебра,начала математического анализа и геометрия» создан для работы на занятиях для осуществления текущего контроля знаний.

Самостоятельная работа позволяет оптимально сочетать теоретическую и практическую составляющие обучения. При этом обеспечивается переосмысление места и роли теоретических знаний, их упорядочивание, что, в конечном счёте, приводит к повышению мотивации обучающихся в их освоении. Самостоятельная работа планируется и организуется с целью проверки теоретических знаний, формирования самостоятельного логического мышления. Из всех ключевых компетенций, которые формируются в процессе выполнения самостоятельных работ, следует выделить следующие: умение принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность, повышение ответственности за собственное обучение.

В данном сборнике предлагаются следующие виды самостоятельных работ студентов по математике:

решение заданий по образцу;
типовые расчеты, преобразования;
выполнение расчетно-графических работ;
ответы на вопросы;
тестовые работы.

Развитие понятия о числе.

Диагностическая работа по теме

«Действительные числа»

Выполнить действия записать результат в виде десятичной дроби.

, ,

Выяснить каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения.

, ,

Какое из равенств или является верным, если: ,
Вычислить.

Самостоятельная работа по теме

«Действительные числа. Абсолютная и относительная погрешность»

Вариант 1

В каком ряду чисел находятся только натуральные числа?

а) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 б) 1, 2, 10, 23, 54 в) , 5, -3, 6, -5 г) 1,

2. При сложении и вычитании натуральных чисел всегда получится

а) Натуральное число б) Иррациональное число

в) Десятичная дробь г) Целое число

3. Рациональным числом называется число вида

а) , где m и n – натуральные числа, n о

б) , где m = 0, n – натуральное число, n о

в) , где m – целое число, n – натуральное число, n о

г) , где m – действительное число, n – натуральное число, n о

4. Периодическая дробь – это …

5. Установите соответствие

а) Натуральные числа + ноль 1. Рациональные числа

+ противоположные натуральным

б) Целые числа + дробные числа 2. Действительные числа

в) Рациональные числа + Иррациональные числа 3. Целые числа

6. Абсолютная погрешность приближения равна

а) б) в) г)

7. Напишите формулы для нахождения верхней и нижней границы приближения.

8. Относительной погрешностью называется

а) Отношение точного значения к абсолютной погрешности, измеряемой величины.

б) Разность между приближенным значением, измеряемой величины, и ее точным значением.

в) Отношение абсолютной погрешности к приближенному значению, измеряемой величины.

г) Отношение точного значения к приближенному значению, измеряемой величины.

9. Абсолютная погрешность приближения 0,753 числа 0,75 равна

а) 0,03 б) 0,01 в) – 0,003 г) 0,003

10. Округляя число 785,347 до десятых долей, получаем

а) 785,34 б) 785,3 в) 785,35 г) Правильного ответа нет

Вариант 2

В каком ряду чисел находятся только целые числа?

а) 0, 1, 2, 3, 4, 5, б) 1, 2, 10, 23, 54, 3 в) 0, 5, -3, 6, -5, -9 г) 1,

2. При умножении и делении целых чисел всегда получится

а) Натуральное число б) Иррациональное число

в) Конечная десятичная дробь г) Действительное число

3. Иррациональным числом называется

а) бесконечная десятичная периодическая дробь

б) , где m – действительное число, n – натуральное число, n о

в) , где m – целое число, n – натуральное число, n о

г) бесконечная десятичная непериодическая дробь

4. Модуль действительного числа x равен …

5. Какое из утверждений не верное?

а) Натуральные числа + ноль + противоположные натуральным = Дробные числа

б) Целые числа + дробные числа = Рациональные числа

в) Рациональные числа + Иррациональные числа = Действительные числа

6. Абсолютной погрешностью приближения называется

а) Разность между приближенным значением, измеряемой величины, и ее точным значением

б) Модуль разности между точным значением, измеряемой величины, и ее приближенным значением

в) Модуль разности между точным значением, измеряемой величины, и ее относительной погрешностью

г) Отношение точного значения к приближенному значению, измеряемой величины

7. Формулы для нахождения верхней и нижней границы приближения выглядят следующим образом:

а) В.Г. = а +Δ; Н.Г. = а - Δ б) В.Г. = а - Δ; Н.Г. = а + Δ в) В.Г. = x + а; Н.Г. = x – а г) Правильного ответа нет

8. Относительная погрешность находится по формуле

а) б) в) г)

9. Абсолютная погрешность приближения 20,46 числа 20,4 равна

а) 20,02 б) 0,01 в) 0, 02 г) 0,06

10. Округляя число 824,934 до единиц, получаем

а) 824 б) 825 в) 826 г) 824,9

Тема «Действительные числа. Погрешности приближений»

Самостоятельная работа по теме

«Действительные числа. Погрешность приближений»

Вариант 1

Выполнить действия:

Выполнить действия. Полученный результат записать в виде десятичной дроби с точностью до сотых долей.

3. Произвести округление числа 4375,5494 до сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен.

Найти нижнюю и верхнюю границы приближенной величины и записать число только с помощью верных цифр:

х = 8,44 (0,07)

5. Округлите число 27,0915 до сотых долей и найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.

6. По известной относительной погрешности приближенного числа найти его абсолютную погрешность и границы, в которых заключено само число.

х = 75,8; ω = 0,3%

7. При измерении длины одного отрезка с точностью до 0,004 м, было найдено значение 4,36 м , а при измерении длины другого отрезка с точностью до 0,05 см получено 10,5 см. Какое измерение по своему качеству лучше?

8. Найти сумму и разность чисел и оценить абсолютную и относительную погрешность результата:

а = 25,831 ± 0,03

в = 1,739 ± 0,005

Вариант 2

Выполнить действия:

Выполнить действия. Полученный результат записать в виде десятичной дроби с точностью до сотых долей.

3. Произвести округление числа 5497,1857 до сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен.

4. Найти нижнюю и верхнюю границы приближенной величины и записать число только с помощью верных цифр:

х = 8,44 (0,02)

5. Округлите число 6,324 до десятых долей и найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.

х = 100; ω = 0,5%

7. При измерении длины одного отрезка с точностью до 0,003 м, было найдено значение 8,75 м , а при измерении длины другого отрезка с точностью до 0,004 км получено 9,63 км. Какое измерение по своему качеству лучше?

8. Найти сумму и разность чисел и оценить абсолютную и относительную погрешность результата:

а = 1542 ± 6

в = 30,03 ± 0,02

Вариант 3

Выполнить действия:

Выполнить действия. Полученный результат записать в виде десятичной дроби с точностью до сотых долей.

3. Произвести округление числа 8040,5048 до сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен.

4. Найти нижнюю и верхнюю границы приближенной величины и записать число только с помощью верных цифр:

х = 34,546 (0,003)

5. Округлите число 56,2135 до сотых долей и найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.

х = 12,7; ω = 1,2%

7. При измерении расстояния между двумя населенными пунктами с точностью до 0,003 км, было найдено значение 10,74 км , а при измерении расстояния между двумя другими населенными пунктами с точностью до 0,002 км получено 6,86 км. Какое измерение наиболее точно?

8. Найти сумму и разность чисел и оценить абсолютную и относительную погрешность результата:

а = 57,32 ± 0,01

в = 338,02 ± 0,04

Вариант 4

Выполнить действия:

Выполнить действия. Полученный результат записать в виде десятичной дроби с точностью до сотых долей.

3. Произвести округление числа 9485,3755 до сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен.

4. Найти нижнюю и верхнюю границы приближенной величины и записать число только с помощью верных цифр:

х = 8,447 (0,005)

5. Округлите число 24,812 до десятых долей и найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.

х = 78,2; ω = 0,2%

7. При измерении температуры жидкости в одной емкости с точностью до 0,04С, было найдено значение 40,3С , а при измерении температуры жидкости в другой емкости с точностью до 0,002С получено 5,23 С. Какое измерение наиболее точно?

8. Найти сумму и разность чисел и оценить абсолютную и относительную погрешность результата:

а = 151,2 ± 1

в = 0,38 ± 0.02

Самостоятельная работа по теме

«Комплексные числа»

Вариант 1

Вариант 2

Оценка «3»

Понятие комплексного числа.
(3 + i) + (-3 – 8i)
(1 – i) – (7 – 3i)

Понятие модуля комплексного числа.
(5 – 4i) + (7 + 4i)
(2 – 3i) – (-3 – 4i)

Оценка «4»

Понятие противоположных комплексных чисел.
(3+ 5i) + (-2-i) – (4 – 7i) – i⁴

Понятие сопряженных комплексных чисел.
(7i – 2) + (2 + 3i) – i⁸ – (-2 + 5i)

Оценка «5»

Корни и степени. Логарифмы.

Самостоятельная работа по теме

«Степень с действительным показателем»

Вычислить

Вариант 1

Вариант 2

Самостоятельная работа по теме

«Корни и степени. Решение задач»

Оценка «3» - уровень А

Оценка «4» - уровень В

Оценка «5» - уровень С

А.1

Упростите выражение

А.2

Упростите выражение

А.3

Разложите на множители:

А.4

Разложите на множители:

А.5

Разложите на множители:

В.1

Разложите на множители:

В.2

Разложите на множители:

А.6

Разложите на множители:

С.1

Разложите на множители:

С.2

Разложите на множители:

С.3

Разложите на множители:

С.4

Разложите на множители:

В.3

Найдите значение выражения:

В.4

Найдите значение выражения:

С.5

Найдите значение выражения:

В.4

Найдите значение выражения:

А.7

Найдите значение выражения:

А.8

Вычислите:

А.9

Вычислите:

А.10

Вычислите:

А.11

Вычислите:

В.5

Вычислите:

В.6

Вычислите:

В.7

Вычислите:

С.6

Вычислите:

С.7

Вычислите:

А.12

Вычислите:

С.8

Вычислите:

С.9

Вычислите:

В.8

Вычислите:

В.9

Вычислите:

В.10

Вычислите:

В.11

Вычислите:

В.12

Вычислите:

С.10

Вычислите:

С.11

Вычислите:

С.12

Вычислите:

С.13

Выполните указанные действия:

С.14

Выполните указанные действия:

С.15

Сократите дробь:

С.16

Сократите дробь:

В.12

Сократите дробь:

В.13

Сократите дробь:

С.17

Сократите дробь:

А.13

Запишите в виде степени с рациональным показателем:

А.14

Запишите в виде степени с рациональным показателем:

А.15

Запишите в виде степени с рациональным показателем:

В.14

Запишите в виде степени с рациональным показателем:

В.15

Запишите в виде степени с рациональным показателем:

С.18

Запишите в виде степени с рациональным показателем:

В.16

Запишите с помощью радикалов:

В.17

Запишите с помощью радикалов:

В.18

Запишите с помощью радикалов:

А.16

Запишите с помощью радикалов:

А.17

Запишите с помощью радикалов:

А.18

Запишите с помощью радикалов:

А.19

Упростите:

А.20

Упростите:

А.21

Упростите:

В.19

Упростите:

В.20

Упростите:

А.22

Упростите:

А.23

Упростите:

В.21

Упростите:

С.19

Упростите:

В.22

Упростите:

А.23

Выполните действия:

С.20

Выполните действия:

В.23

Выполните действия:

А.24

Выполните действия:

А.25

Выполните действия:

В.24

Выполните действия:

В.24

Выполните действия:

С.21

Выполните действия:

С.22

Выполните арифметические действия:

С.23

Выполните арифметические действия:

В.25

Выполните арифметические действия:

В.26

Выполните арифметические действия:

А.26

Выполните арифметические действия:

А.27

Выполните арифметические действия:

А.28

Упростите иррациональные выражения:

А.29

Упростите иррациональные выражения:

А.30

Упростите иррациональные выражения:

А.31

Упростите иррациональные выражения:

А.32

Упростите иррациональные выражения:

А.33

Упростите иррациональные выражения:

А.34

Упростите иррациональные выражения:

В.27

Упростите иррациональные выражения:

В.28

Упростите иррациональные выражения:

С.24

Вычислите:

С.25

Вычислите:

С.26

Вычислите:

В.29

Вычислите:

А.35

Вычислите:

А.36

Вычислите:

С.27

Вычислите:

Самостоятельная работа по теме

«Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество»

Вычислить.

Вариант 1

Вариант 2

Самостоятельная работа по теме

«Свойства логарифмов»

Вариант 1

Составьте формулы. (соедините стрелочками выражения из правого столбика с выражением левого столбика) .

Найти значения выражения.

Вариант 2

Составьте формулы. ( соедините стрелочками выражения из правого столбика с выражением левого столбика) .

Найти значения выражения

Самостоятельная работа по теме

«Корни, степени и логарифмы»

Вариант 1

Задание 1. Вычислить

Задание 2. Упростить выражение.

а) б)

Задание 3. Выполнить указанные действия.

а) б)

в)

Задание 4. Упростить выражение.

Вариант 2

Задание 1. Вычислить

Задание 2. Упростить выражение.

а) б)

Задание 3. Выполнить указанные действия.

а) б)

в)

Задание 4. Упростить выражение.

Основы тригонометрии.

Самостоятельная работа по теме

«Основные понятия тригонометрии. Тригонометрическое тождество»

Вариант 1

Отношение противолежащего катета к гипотенузе – это …

А) sin α Б) cos α В) tg α Г) ctg α

2. Установите соответствие.

А) 270⁰1)

Б) 30⁰ 2)

В) -180⁰ 3)

Г) 90⁰ 4) -

Синусом угла называется ……, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол α.
Расставьте знаки косинуса по четвертям.

Найдите основное тригонометрическое тождество.

А) sin x + cos x = 1 Б) sin²x + cos²x = 1

В) sin²x + cos²x = 2 Г) sin 3x + cos 9x = 1

6. Какой знак имеет значение выражения tg (+α)

7. Найти значение выражения sin - cos 5

А) 1 Б) 2 В) -2 Г) 0

Вариант 2

Отношение противолежащего катета к прилежащему катету – это …

А) sin α Б) cos α В) tg α Г) ctg α

2. Установите соответствие.

А) 360⁰1)

Б) 60⁰ 2)

В) 45⁰ 3)

Г) -90⁰ 4) 2

1. Косинусом угла называется ……, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол α.
2. Расставьте знаки синуса по четвертям.

1. Найдите основное тригонометрическое тождество.

А) sin x + cos x = 1 Б) sin²x + cos²x = 1

В) sin²x + cos²x = -1 Г) sin 3x + cos 9x = 1

6. Какой знак имеет значение выражения cos (- α)

7. Найти значение выражения sin 4 + cos ( )

А) 1 Б) -1 В) -2 Г)

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические тождества»

Вариант 1 Вариант 2

1 задание: установить соответствие

через и

через и

2 задание: вычислить.

3 задание: вычислить

Дано:

. Найти: , .

Дано:

. Найти: , .

Самостоятельная работа по теме

«Формулы двойного угла»

Вариант 1

Упрастите выражение.

Докажите справедливость равенства.

Вариант 2

Упрастите выражение.

Докажите справедливость равенства:

;

Самостоятельная работа по теме

«Основные тригонометрические формулы и тождества»

Вариант 1

1. Найти значение выражения

а) – 2,5 в) 5,5

б) – 4,75 г) 3,25

2. Упростить выражение

а) - cosɑ в) sin²ɑ

б) cosɑ г) sinɑ

3. Упростить выражение

а) 2 cosɑ cosβ в) sin²ɑ sin²β

б) 2 sinɑ sinβ г) - 2 sinɑ sinβ

4. Сравнить с нулем выражения (выбрать правильную серию ответов).

а) - - + в) + + -

б) - + - г) - + +

5. Упростить выражение

а) cos²ɑ в) cosɑ

б) sin²ɑ г) - sinɑ

6. Найти

а) в)

б) г)

7. Упростить выражение

а) tg2ɑ в) ctg2ɑ

б) 2 ctg2ɑ г) -2 tg2ɑ

8. Упростить выражение

а) 1 в) -1

б) tg(ɑ + 35⁰) г) –ctg(ɑ + 55⁰)

9. Сократить дробь

а) в) 2cosɑ

б) tg4ɑ г) 2 sinɑ

Вариант 2

1. Найти значение выражения

а) – 3,5 в) 9,5

б) – 0,5 г) 6,5

2. Упростить выражение

а) - 2cosɑ в)

б) 2sinɑ г) -

3. Упростить выражение

а) 2 cosɑ sinβ в) sin2ɑ

б) 2 cosβ г) - 2 sinɑ cosβ

4. Сравнить с нулем выражения (выбрать правильную серию ответов).

а) - + - в) + - -

б) + - + г) - + +

5. Упростить выражение

а) sin²ɑ в) – cos²ɑ

б) cos²ɑ г) - sinɑ

6. Найти

а) в)

б) г)

7. Упростить выражение

а) -tg2ɑ в) tg2ɑ

б) - ctg2ɑ г) сtg2ɑ

8. Упростить выражение

а) tg(ɑ + 68⁰) в) 1

б)-1 г) -tg(ɑ + 68⁰)

9. Сократите дробь

а) - в)

б) - г)

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические формулы»

Вариант 1

Вариант 2

1. Найдите , если и .

2. Найдите , если и .

3. Найдите , если .

4. Найдите , если .

5. Найдите , если и .

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические уравнения»

Вариант 1

Ответьте на следующие вопросы.

Каково будет решение уравнения cos x = a при |a|1?
При каком значении а уравнение cos x = a имеет решение?
Какой формулой выражается это решение?
На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a?
В каком промежутке находится arсcos a?
В каком промежутке находится значение а?
Каким будет решение уравнения cos x= 1?
Каким будет решение уравнения cos x=- 1?
Каким будет решение уравнения cos x= 0?
Чему равняется arccos (-a)?
В каком промежутке находится arctg a?
Какой формулой выражается решение уравнения tg x=a?
Чему равен arctg(-a)?

Вариант 2

Ответьте на следующие вопросы.

Каково будет решение уравнения sin x = a при |a|1?
При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение?
Какой формулой выражается это решение?
На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x = a?
В каком промежутке находится arcsin a?
В каком промежутке находится значение а?
Каким будет решение уравнения sin x= 1?
Каким будет решение уравнения sin x= -1?
Каким будет решение уравнения sin x= 0?
Чему равняется arcsin (-a)?
В каком промежутке находится arcctg a?
Какой формулой выражается решение уравнения ctg x=a?
Чему равен arcctg(-a)?

Самостоятельная работа по теме

«Решение простейших тригонометрических уравнений»

Вопрос № 1. Решить уравнение

А) Б)

В) Г)

Вопрос № 2. Решить уравнение cos 2x = 0

А) Б)

В) Г)

Вопрос № 3. Решить уравнение cos x =1,2

А) Нет правильного ответа Б) Множество решений

В) Нет решений Г)

Вопрос № 4. Решить уравнение sin x = 0

А) Б)

В) Г)

Вопрос № 5. Решить уравнение sin x = -

А) Б)

В) Г)

Вопрос № 6. Решить уравнение sin 2x =

А) Б)

В) Г)

Вопрос № 7. Решить уравнение tg x = 1

А) х = π /4 + π n,n є Z Б) х = π + π n,n є Z

В) Нет решений Г) х = - π/4 + π n,n є Z

Вопрос № 8. Решить уравнение tg = -

А) Б)

В) Г)

Самостоятельная работа по теме

«Простейшие тригонометрические уравнения»

I группа: «3»

II группа: «4»

III группа: «5»

cosx = ½

sinx = 0,3

cos²x- sin²x = - ½

sin2x =

2cos(х+) =

sin(π - х) – cos(+ x) =

cos = 1

sin(π + х) = 1

cos(π + х) = sin

sinx =

4sin(х+) = 2

2sinx cosx = ½

cos(х -) = 0

(1-2cosx)(sin4x+1) = 0

3cosx – sin2x = 0

sin(х+) = 1

sin3x cosx + cos3x sinx = -1

cos²x = 1+sin²x

cos3x =

(1+sinx)(4-sinx) = 0

(2cos4x - 4)(2cosx+1) = 0

Самостоятельная работа по теме

«Преобразование тригонометрических выражений. Решение уравнений»

часть “А” – оценка «3»; часть “В” – оценка «4»; часть “С” – оценка «5».

А1. Вычислите

А2. Решить уравнение 2cos x = 1

А3. Найдите

A4. Решить уравнение 5 – sin3x = 0

А5. Упростите выражение:

А6. Упростите выражение:

А7. Упростите:

A8. Решить уравнение tg x =

В1. Найдите 50 sin 2x, если cos x = -

В2. Найдите значение выражения

В3. Найдите значение выражения

В4. Вычислить sin 2x, если sinx+cosx=

В5. Решить уравнение

В6. Решить уравнение sin²x + 4sin2x + cos²x = 2

В7. Вычислите

C1. Вычислите

С2. Вычислите

С3. Вычислите

С4. Найдите значение выражения:

С5. Решить уравнение cos2x – cos²x - cos(π/2 - x) = 0

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические уравнения»

1 вариант

2 вариант

В ответе записать наибольший отрицательный корень.

В ответе напишите наименьший положительный корень.

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

В ответе напишите наименьший положительный корень.

В ответе напишите наибольший отрицательный корень

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические неравенства»

Самостоятельная работа по теме

«Однородные тригонометрические уравнения»

Уважаемый студент! Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5».

Какой бы уровень сложности Вы не выбрали - должно получить слово.

Вариант 1

(3 балла)

sin3x - cos3x = 0

х= π/12 +π/3 n, nZ (АРИСТ)

х= 3π/4 +3πn, nZ (ЕВК)

х= π/18 +π/3 n, nZ (ДЕК)

х= π/18 +2πn, nZ (ЭЙ)

(4 балла)

sin² x - 5 sinx cosx + 4cos²x = 0

х= arctg4+ π n, nZ

х= π/4+πn, nZ (АРИСТ)

х=4 arctg4+ 4πn, nZ

х= π+4π n, nZ (ДЕК)

х=1/4 arctg4+ π/4 n, nZ

х= π/8+π/8 n, nZ (ЕВК)

х=1/4 arctg2+ π/4 n, nZ

х= π/12+π/4 n, nZ (ЭЙ)

(5 баллов)

3sin²x – sinx cosx = 2

х= arctg2+ 4πn, nZ

х=-π/4+ 2πn, n Z (ЕВК)

х=5 arctg2+ 5π n, nZ

х=-π/4+ πn/4, nZ (ЭЙ)

х= arctg2+ πn, nZ

х=-π/4+ πn, nZ (АРИСТ)

х=1/5 arctg4+ π/5 n, nZ

х=-π/20+ 5πn, nZ (ДЕК)

Вариант 2

(3 балла)

5 sin2x +6 cos2x = 0

х= -1/2arctg 6/5 +π/2 n, nZ (ОТЕЛЬ)

х= -2arctg 6/5 +2πn, nZ (ЛИД)

х= 1/2arctg 6/5 +π n, nZ (АРТ)

х= -1/2arctg 5/6 +π/2 n, nZ (ЛЕР)

(4 балла)

sin²x - 4 sinx cosx - 5cos²x = 0

х= arctg5+ πn, nZ

х=- π/4 +πn, nZ (ОТЕЛЬ)

х=1/4 arctg5+ π/4 n, nZ

х=- π/32 +π/4 n, nZ (АРТ)

х=8 arctg5+ 8π n, nZ

х=- π/4 +8πn, nZ (ЛИД)

х=-1/8 arctg4+ π/8 n, nZ

х=- π/4 +π/8n, nZ (ЛЕР)

(5 баллов)

4sin²x +2sinx cosx = 3

х=2аrctg3+πn,nZ

х=π+4 πn, nZ (ЛИД)

х=-2аrctg3+πn,nZ

х=π/2+ πn, nZ (ЛЕР)

х=-аrctg3+πn,nZ

х=π/4+πn,nZ (ОТЕЛЬ)

х=-4аrctg6+2πn,nZ

х=π/3+2 πn, nZ (АРТ)

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические уравнения. Решение задач»

Вариант 1

Задание 1. Вычислить.

Задание 2. Решить уравнение.

Задание 3. Решить неравенство.

Вариант 2

Задание 1. Вычислить.

Задание 2. Решить уравнение.

Задание 3. Решить неравенство.

Функции, их свойства и графики.

Самостоятельная работа по теме

«Функция. Повторение»

Вариант 1

Дана функция

а) Найдите , , , .

б) Постройте график данной функции.

в) Укажите для данной функции D(y), E(y), промежутки знакопостоянства.

Вариант 2

Дана функция

а) Найдите , , , .

б) Постройте график данной функции.

в) Укажите для данной функции D(y), E(y), промежутки возрастания и убывания.

Вариант 3

Дана функция

а) Найдите , , , .

б) Постройте график данной функции.

в) Укажите для данной функции D(y), E(y), промежутки знакопостоянства.

Вариант 4

Дана функция

а) Найдите , , , .

б) Постройте график данной функции.

в) Укажите для данной функции D(y), E(y), промежутки возрастания и убывания.

Вариант 5

Дана функция

а) Найдите , , , .

б) Постройте график данной функции.

в) Укажите для данной функции D(y), E(y), промежутки знакопостоянства.

Самостоятельная работа по теме

«Числовые функции, их свойства и графики»

Вариант 1

Найдите область определения функции .

1) 2) 3) 4)

На рисунке изображен график функции .

Укажите, при каких значениях х функция убывает.

1) 2) [2; 3] 3) и [2; 3] 4) и [1; 3]

Укажите функцию, графиком которой является гипербола.

1) 2) 3) 4)

Укажите функцию, графиком которой НЕ является прямая.

1) 2) 3) 4)

Соотнесите аналитическое и графическое задания функций (рис. а – г).

1) 2) 3) 4)

На рисунке изображен график функции .

При каких значениях х, выполняется неравенство ?

1) 2) 3) 4)

Укажите функцию, которая имеет обратную.

1) 2) 3) 4)

Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке.

1) 2)

3) 4)

Даны функции f(x)=4^x и g(x)=. Вычислите значение сложной функции g(f(x)), если аргумент x = 5.

2) 16

64 4) 256

Постройте график обратной функции.

Вариант 2

Найдите область определения функции .

1) 2) 3) 4)

Найдите множество значений функции .

1) 2) 3) 4)

Определите функцию, которая является нечетной.

Укажите промежутки на которых функция положительна.

1) 2) 3) 4)

На рисунке изображена часть графика функции .

Найдите , если известно, что функция четная.

Ответ: ________________

На рисунке изображен график функции .

Укажите промежутки на которых функция возрастает.

1) 2) [0; 2] 3) и [2; 3] 4) и [0; 2]

Задайте аналитически функцию, график которой изображен на данном рисунке.

1) 2)

3) 4)

Функция задана формулой . Найдите функцию обратную данной.

1) 2) 3) 4)

Даны ункции f(x)=sin x + cos x и g(x)=. Вычислите значение сложной функции f(g(x)), если аргумент x =.

1 4) -1

Постройте график обратной функции.

Самостоятельная работа по теме

«Степенная функция»

Вариант 1

Уровень А

Постройте график функции и опишите ее свойства

Уровень В

Решите графически систему уравнений

Уровень С

Известно Докажите, что

Вариант 2

Уровень А

Постройте график функции и опишите ее свойства

Уровень В

Решите графически систему уравнений

Уровень С

Известно Докажите, что

Вариант 3

Уровень А

Постройте график функции и опишите ее свойства

Уровень В

Решите графически систему уравнений

Уровень С

Известно Докажите, что

Самостоятельная работа по теме

«Показательная функция»

Вариант 1

1. Сравнить числа:

а) и ;

б) и ;

в) и .

2. Построить эскиз графиков функций:

а);

б);

в).

3. Построить графики функций:

а);

б);

в).

Вариант 2

1. Сравнить числа:

а) и ;

б) и ;

в) и .

2. Построить эскиз графиков функций:

а);

б);

в).

3. Построить графики функций: а);

б);

в).

Самостоятельная работа по теме

«Функция у = cosx и y = sinx»

Вариант 1

Вариант 2

Постройте график функции y = sin x.

Постройте график функции y = cos x.

Назовите область определения функции y=sin x.

Назовите область определения функции y=cos x.

При каких значениях x функция y=sin x принимает наибольшее значение?

При каких значениях x функция y=cos x принимает значение, равное 0?

На каких промежутках график функции y=sin x убывает?

При каких значениях x функция y=cos x принимает наименьшее значение?

Назовите множество значений функции y=sin x.

На каких промежутках функция y=cos x больше 0?

На каких промежутках функция y=sin x меньше 0?

Функция y=cos x четная или не четная? Почему?

При каких значениях x функция y=sin x принимает наименьшее значение?

Назовите множество значений функции y=cos x.

На каких промежутках график функции y=sinx убывает?

На каких промежутках график функции y=cos x возрастает?

Периодическая или непериодическая функция у = sinx? Чему равен наименьший период функции y=sin x?

Периодическая или непериодическая функция у = cosx? Чему равен наименьший период функции y=cos x?

Координаты и векторы.

Самостоятельная работа по теме

«Понятие вектора»

Вариант 1

1. От точки А отложите вектор: а) равный ; б) сонаправленный ; в) противоположно направленный .

2. ABCD – ромб. Равны ли векторы:

а) ; б) ; в) .

3. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О и делятся точкой О пополам. Равны ли векторы:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

4. Дайте понятие компланарным векторам.

Вариант 2

1. От точки В отложите вектор: а) равный ; б) сонаправленный ;в) противоположно направленный .

2. ABCD – квадрат. Равны ли векторы:

а) ; б) ; в) .

3. Диагонали четырехугольника ABCD равны и точкой пересечения О делятся пополам. Равны ли векторы:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

4. Сформулируйте правило параллелепипеда.

Самостоятельная работа по теме

«Действия над векторами»

Вариант 1

1. Начертите неколлинеарные векторы . Постройте векторы

2. Упростите а)

б)

3. MNKP – прямоугольник.

4. Найдите разность векторов: а); б)

5. . Выразите вектор через .

Вариант 2

1. Начертите неколлинеарные векторы . Постройте векторы

2. Упростите а)

б)

3. ABCD – параллелограмм.

4. Найдите разность векторов: а); б)

5. . Выразите вектор через .

7. Векторравен…

Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 1

При каком значении векторы = (3; + 1; 1) и = (-4; 2; 3) будут перпендикулярны?

а) -2; б) 2

в) ; г) верного ответа нет.

2. Найти длину вектора , если А (4; 0; 5), В (3; 2; -1):

а) ; б)

в) г) верного ответа нет.

3. Найти координаты вектора , если ;

а) 5; б) 18;

в) 36; г) верного ответа нет.

Вариант 2

1. При каком значении векторы (4; 6; ) и будут коллинеарны?

а) -24; б) 24;

в) 6 г) верного ответа нет.

2. Найти скалярное произведение векторов, если = 3; = 4, = 30°

а) 6; б) ;

в) -6; г) верного ответа нет.

3. Найти длину вектора , если = 3

а) ; б) ;

в) 26; г) верного ответа нет.

Вариант 3.

1. Найти если ;

а) 8; б) 9;

в) 17; г) верного ответа нет.

2. При каком значении вектора и будут перпендикулярны?

а) 2; б) -2;

в) ; г) верного ответа нет.

3. Найти координаты вектора , если

а) (5; 6; 7); б) (-1; 6; 7);

в) (-1; 6; -3); г) верного ответа нет.

Вариант 4.

1. При каком значении вектора и будут перпендикулярны?

а) -3; -2; б) 4;

в) 3; 4; г) -3.

2. Вычислить скалярное произведение, если

а) 23; б) 71;

в) 25; г) 10.

3. Найти длину вектора

а) ; б) 5;

в) 2; г) .

Самостоятельная работа по теме

«Координаты вектора»

Вариант 1

1. Какие из данных точек Y( 7; 3; 0), D (2; 0; 0), A(0; 0; -7), L(-1; 0; -32), O( 0; -0,1; 0), S(10; 1; 0); M(0; 2,5; -1),

N(4; 2; 1), K(-9;0;0) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

2. а) Запишите координаты векторов: = -0,4 + - ; = 9 - 5; = -8

б) Запишите разложения векторов и по координатным векторам , , и найдите их скалярное произведение: ;

3. Даны векторы ;. Найдите координаты вектора = (2-)+ (2)

4. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и . Найдите длины этих векторов.

Вариант 2

1. Какие из данных точек A( 0; 3; 0), B (2; 0; 8), C(0; 5; -7), D(-1; 5; -3), E( 5; -3,5; 0), F(10; 0; 0); G(0; 8; -1),

N(4; 2; 1), K(0;0;6) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

2. а) Запишите координаты векторов: = 4 - 7; = 12 + 5- 2,8; = -0,8

б) Запишите разложения векторов и по координатным векторам , , и найдите их скалярное произведение: ;

3. Даны векторы ;. Найдите координаты вектора = (-+ 2)+ ( + 3)

4. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и . Найдите длины этих векторов.

Начала математического анализа.

Самостоятельная работа по теме

«Числовые последовательности»

Вариант 1

Вариант 2

1. Последовательность задана формулой n-го члена.

Найти x1; x4; x20; xk+1.

xn = 6n - 1

xn = 4n + 3

2. Дана последовательность. Является ли эта последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией? Если «да», то найти формулу n-го члена и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

А) 32; 16; 8; 4; 2 …

Б) ½ ; 0; - ½ ; -1; - 1 ½ ; -2 …

А) 81; 27; 9; 3; 1 …

Б) ¼ ; 0; - ¼ ; - ½ ; -3/4; - 1 …

3. Исследовать последовательность на монотонность.

Найти предел последовательности при n →∞.

xn = (5 + 3/n)

xn = (3 - 2/n)

Самостоятельная работа по теме

«Понятие производной функции»

Вариант 1

1. Найти производную функции f(x)=3х⁴ – 7х³ + х + π

А) 12х⁴ - 21х³ + х + π В) 12х³ – 21х² + π

Б) 12х³ – 21х² +1 Г) 9х³ – 14х² + 1

2. Найти производную функции f(x)=2 sin x - 3 cos x + 5

А) 2 cos x - 3 sin x В) 2 cos x + 3 sin x

Б) 2 cos x - 3 sin x +5 Г) cos x + sin x +5

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t³ – 0,5t² + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

А) 8 м/с В) 10 м/с

Б) 7 м/с Г) 4,5 м/с

4. Найти производную сложной функции f(x)= (3 – 2х)³

А) 3 (3 - 2х)² В) 6 (3 – 2х)²

Б) -3 (3 – 2х)² Г) -6 (3 –2х)²

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 3х³ – 2х + 1 в его точке с абсциссой х0 = 1

А) 5 В) 9

Б) 7 Г) 11

6. Найти вторую производную функции у=

Вариант 2

1. Найти производную функции f(x)=2х⁴ – 7х³ + х + 6

А) 8х⁴ - 21х³ + х + 6 В) 8х³ – 21х² + 6

Б) 8х³ – 21х² +1 Г) 6х³ – 14х² + 1

2. Найти производную функции f(x)=2 sin x + 3 cos x + 4

А) 2 cos x + 3 sin x В) 2 cos x - 3 sin x

Б) 2 cos x + 3 sin x +4 Г) cos x - sin x +4

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t³ – 0,5t² + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t= 2с.

А) 25 м/с В) 20 м/с

Б) 22 м/с Г) 18 м/с

4. Найти производную сложной функции f(x)= (4х – 9)⁷

А) 7 (4х - 9)⁶ В) -63 (4х - 9)⁶

Б) 6 (4х - 9)⁷ Г) 28 (4х - 9)⁶

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 3х² – 2х + 1 в его точке с абсциссой х0 = 1

А) 4 В) 2

Б) 1 Г) 5

6. Найти вторую производную функции у=

Вариант 3

1. Найти производную функции f(x)=3х⁴ – 6х³ + 2х + π

А) 12х⁴ - 18х³ + 2х + π В) 12х³ – 18х² + π

Б) 12х³ – 18х² +2 Г) 9х³ – 12х² + 2

2. Найти производную функции f(x)=+ х⁶

А) В) -

Б) Г) -

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= t⁵ – t⁴ + 6 (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=2с.

А) 48 м/с В) 70 м/с

Б) 54 м/с Г) 88 м/с

4. Найти производную сложной функции f(x)= (5 + 2х)³

А) 3 (5 + 2х)² В) 6 (5 + 2х)²

Б) 3 (5 + 2х)³ Г) 15 (5 + 2х)²

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 3х² – 5х + 1 в его точке с абсциссой х0 = 2

А) 3 В) 1

Б) 8 Г) 7

6. Найти вторую производную функции у=

Вариант 4

1. Найти производную функции f(x)=3х⁵ – 7х² + х + π

А) 15х⁴ - 14х³ + х + π В) 15х³ – 14х² + π

Б) 15х³ – 14х² +1 Г) 12х³ – 7х² + 1

2. Найти производную функции f(x)=2 sin x - 3 cos x + 5

А) 2 cos x - 3 sin x В) 2 cos x + 3 sin x

Б) 2 cos x - 3 sin x +5 Г) cos x + sin x +5

А) 8 м/с В) 10 м/с

Б) 7 м/с Г) 4,5 м/с

4. Найти производную сложной функции f(x)= (3х – 7)⁵

А) 5 (3х - 7)⁴ В) -35 (3х – 7)⁴

Б) 15 (3х – 7)⁴ Г) 4 (3х –7)⁴

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 3х² – 7х + 12 в его точке с абсциссой х0 = 1

А) 18 В) 11

Б) 23 Г) 8

6. Найти вторую производную функции у=

Вариант 5

1. Найти производную функции f(x)=3х⁴ – 7х³ + х + π

А) 12х⁴ - 21х³ + х + π В) 12х³ – 21х² + π

Б) 12х³ – 21х² +1 Г) 9х³ – 14х² + 1

2. Найти производную функции f(x)=2 sin x + cos x + 5

А) 2 cos x + sin x В) 2 cos x - sin x

Б) 2 cos x+ sin x +5 Г) cos x - sin x +5

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t⁵ – 0,5t⁴ + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

А) 8 м/с В) 10 м/с

Б) 7 м/с Г) 11 м/с

4. Найти производную сложной функции f(x)= (31 – 2х)⁷

А) -14 (31 - 2х)⁶ В) 217 (31 – 2х)⁶

Б) -2 (31 – 2х)⁶ Г) 14 (31 –2х)⁶

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = -2х² + 3х + 5 в его точке с абсциссой х0 = -1

А) 7 В) 0

Б) 1 Г) 5

6. Найти вторую производную функции у=

Самостоятельная работа по теме

«Применение правил и формул дифференцирования»

Уровень А

1. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t = 1 до t = 3, если точка движется по закону S(t) = 1 + 2t

а) 2 б) -2 в) 1 г) 3

2. Найдите мгновенную скорость движения, если точка движется по закону S(t) = 3 - 5t.

а) 3 б) 4 в) 5 г) 6

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = 2x - 1 в точке с абсциссой х0 = 2.

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4

Уровень В

1. Найдите мгновенную скорость движения, если точка движется по закону S(t) = 3/2 t².

а) 5 б) 7t в) 3t г) 3

2. Используя определение производной, найти f^/(x), если f(x) = 2x² – 3.

а) 4x б) 4x – 3 в) 2x г) 2

3. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 3/x² в точке с абсциссой x0 = 1.

а) y = 3(x – 1) б) y = 3 – 3(x – 1) в) y = 1 – 3(x – 1) г) y = 3x - 1

Самостоятельная работа по теме

«Производная. Правила дифференцирования»

Вариант 1

А1. Найдите производную функции .

1) 12х²2) 12х 3) 4х²4) 12х³

А2. Найдите производную функции .

1) -52) 11 3) 64) 6х

А3. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А4. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А5. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А6. Вычислите значение производной функции в точке хо=2.

1) 10 2) 12 3) 8 4) 6

А7. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А8. Вычислите значение производной функции в точке хо= 4.

1) 21 2) 24 3) 0 4) 3,5

А9. Вычислите значение производной функции

в точке . 1) 2 2) 3) 4 4)

А10. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

Вариант 2

А1. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А2. Найдите производную функции .

1) 72) 12 3) -54) -5х

А3. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А4. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А5. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А6. Вычислите значение производной функции в точке хо=2.

1) 13 2) 3 3) 8 4) 27

А7. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А8. Вычислите значение производной функции в точке .

1) -47 2) -49 3) 47 4) 11,5

А9. Вычислите значение производной функции

в точке . 1) 2 2) -1 3) -2 4)

А10. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

Самостоятельная работа по теме

«Формулы и правила дифференцирования»

Самостоятельная работа по теме «Геометрический смысл производной»

Составить уравнение касательной к графику функции, заданной формулой в точке с абсциссой x0:

А1

y = -17x + 2

y = -x + 12

y = 17x - 2

y = 17x - 26

А2

y = 4x + 40

y = -18x - 10

y = 18x + 8

y = 8x +18

А3

y = 33x + 24

y =- 24x + 63

y = 24x + 33

y = 24x - 63

А4

y =- 2x - 4

y = - 16x -18

y = 4x + 2

y = 2x + 10

А5

y = -6x + 14

y = 6x - 14

y = 14x - 6

y = 6x + 18

А6

y = 14x - 12

y = -14x - 12

y = 14x + 12

y = 16x + 32

А7

y = 42x + 42

y = 24x - 24

y = - 24x + 24

y = 42x - 6

А8

y = 5x - 12

y = 11x - 5

y = 8x + 12

y = - 5x + 11

А9

y = 5x - 5

y = 28x - 53

y = -12x + 19

y = 12x - 19

А10

Самостоятельная работа по теме

«Производная функции. Основные правила и формулы»

часть “А” – оценка «3»;
часть “В” – оценка «4»;
часть “С” – оценка «5».

Выполнить задания и угадать слово.

Уровень

Задание

Ответ

Соответствующая буква

у = 4х³ – 2х² + х – 5

12х² – 4х + 1

у = (х³ – 1)(х² + х + 1)

6х⁵ + 4х³ + 3х² – 2х – 1

у =

у = (х² -5х + 8)⁶

у =

у = sin (4х – 1)

у = sin²

у =

2 tg 2x · sec 2x

у =

у = tg x – x

6(х² – 5х + 8)⁵(2х – 5)

у = arcsin 2x

у = arctg(2x² – 5)

у = arccos x

4 cos (4x – 1)

у = sec 2x

у = sin² x · cos x

Вопросы:

Производной функции f в точке x0 называется ……
Функцию, имеющую производную в точке x 0, называют….
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке x 0, то их сумма……..
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке x 0, то их произведение….
Если функция f(x) дифференцируема в точке xо, а С- постоянная, то функция Cf(x)…….
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке x о и g(x)≠0, то частное…
Для любого целого α и любого x () (x^α)= …
Если функция g имеет производную в точке x 0, а функция f имеет производную в точке u о = g(x о), то сложная функция y(x)=f(g(x)) также имеет производную в точке xо, которая находится по формуле ….
Найдите производные функций:

Самостоятельная работа по теме

«Производная сложной функции»

Вариант 1

Выберите правильный вариант ответа

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

Вычислить производную для функции :

а) ; б) ; в) .

Вариант 2

Выберите правильный вариант ответа

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

Вычислить производную для функции :

а) ; б) ; в) .

Вариант 3

Выберите правильный вариант ответа

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

Вычислить производную для функции :

а) ; б) ; в) .

Вариант 4

Выберите правильный вариант ответа

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

2 Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

3 Вычислить производную для функции :

а) ; б) ; в) .

Самостоятельная работа по теме

«Производная функции. Решение задач»

Вартант 1 (уровень сложности А)

Найдите производную функции:

у = 4х⁴ - х⁵ + х² -3х
у = (х + 4)²
у =
у = sin x – cos x

Вычислите у ' , если у(х) = ctgx – tgx.

Вариант 2 (уровень сложности В)

Найдите производную функции:

у =
у = sin(2х² + 3)
у =
у = cos3x

Вычислите у ' (60⁰), если у(х) =
Решите уравнение: f ' (x) = 0, если f (x) =
написать уравнение касательной, проведенной к графику функции у= 3х² – 2х + 1 в его точке с абсциссой х0 = 1

Вариант №3 (уровень сложности С)

Найдите производную функции:

у =
у = (х² + 6)
у =
у = arctg 2x

Вычислите у ' (30⁰), если у(х) = sin x · cos² x
Решите уравнение: f ' (x) = 0, если f (x) = x – tg x
Дополнительно. Решить неравенство у ^'> 0, если у(х) = (3х – 1)¹⁰· (2х + 5)⁷.
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Самостоятельная работа по теме

«Интервалы монотонности и точки экстремума»

«Работа в парах»

Вариант 1

Задание 1. Найти область определения, множество значений и нули функции.

y=x² + Зx - 5

Задание 2. Найти производную функции в точке.

f '(-1) = ?

Задание 3. Определите вид критической точки.

Задание 4. «Математики шутят». Подберите к графикам функций пословицы и поговорки в русском языке, так или иначе, отражающие их свойства, в том числе и монотонность.

Как аукнется, так и откликнется.
Тише едешь, дальше будешь.
Повторенье – мать ученья.
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Любишь кататься, люби и саночки возить.

Вариант 2

Задание 1. Найти область определения, множество значений и нули функции.

y= lg(x+1)

Задание 2. Найти производную функции в точке.

f '(1) = ?

Задание 3. Определите вид критической точки.

Как аукнется, так и откликнется.
Тише едешь, дальше будешь.
Повторенье – мать ученья.
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Любишь кататься, люби и саночки возить.

Вариант 3

Задание 1. Найти область определения, множество значений и нули функции.

Задание 2. Найти производную функции в точке.

f '(4) = ?

Задание 3. Определите вид критической точки.

Как аукнется, так и откликнется.
Тише едешь, дальше будешь.
Повторенье – мать ученья.
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Любишь кататься, люби и саночки возить.

Вариант 4

Задание 1. Найти область определения, множество значений и нули функции.

Задание 2. Найти производную функции в точке.

f '(1) = ?

Задание 3. Определите вид критической точки.

Как аукнется, так и откликнется.
Тише едешь, дальше будешь.
Повторенье – мать ученья.
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Любишь кататься, люби и саночки возить.

Вариант 5

Задание 1. Найти область определения, множество значений и нули функции.

Задание 2. Найти производную функции в точке.

f '(1) = ?

Задание 3. Определите вид критической точки.

Как аукнется, так и откликнется.
Тише едешь, дальше будешь.
Повторенье – мать ученья.
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Любишь кататься, люби и саночки возить.

Вариант 6

Задание 1. Найти область определения, множество значений и нули функции.

Задание 2. Найти производную функции в точке.

f '(1) = ?

Задание 3. Определите вид критической точки.

Как аукнется, так и откликнется.
Тише едешь, дальше будешь.
Повторенье – мать ученья.
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Любишь кататься, люби и саночки возить.

Самостоятельная работа по теме

«Определенный интеграл»

Вариант 1 (для оценки “удовлетворительно”)

Вычислите интегралы:

Вариант 2 (для оценки “хорошо”)

Вариант 3 (для оценки “отлично”)

Самостоятельная работа по теме

«Вычисление площади криволинейной трапеции»

Вычислить площадь фигур ограниченных линиями, используя формулу

Ньютона-Лейбница.

Уровень А

№ 1 № 2

№3 № 4

№ 5

Уровень В

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Самостоятельная работа по теме

«Вычисление площади плоской фигуры»

Оформить решение задачи по следующей схеме.

Вариант 1

1. Пользуясь прилагаемой инструкцией, постройте графики функций:

а)

2. Найдите точки пересечения этих графиков:

а) ______________________________

3. Определите промежуток интегрирования

а) _______________

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций:

а) S = ________________________

S1 = ________________________

S2 = ________________________

Вариант 2

1. Пользуясь прилагаемой инструкцией, постройте графики функций:

а)

2. Найдите точки пересечения этих графиков:

а) ______________________________

3. Определите промежуток интегрирования

а) _______________

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций:

а) S = ________________________

S1 = ________________________

S2 = ________________________

Вариант 3

1. Пользуясь прилагаемой инструкцией, постройте графики функций:

а)

2. Найдите точки пересечения этих графиков:

а) ______________________________

3. Определите промежуток интегрирования

а) _______________

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций:

а) S = ________________________

S1 = ________________________

S2 = ________________________

Самостоятельная работа по теме

«Определенный интеграл»

Уровень А - оценка «3»

Вычислить:

Уровень В – оценка «4; 5»

Дидактическая игра «Интеграл»

Расшифруйте высказывание.

106

Самостоятельная работа по теме

«Первообразная и интеграл»

Вариант 1

Часть 1

Укажите функцию, для которой F(х) = 17х²-7cosx является первообразной.

1) у = 5х³-7sinx 2) y = 34x+7sinx 3) y = x²-7sinx 4) 17x+7sinx

2. Докажите, что F(х) = 2+3sinx является первообразной для функции

у = +3cosx на интервале

3. Укажите, на каком рисунке изображен график первообразной для

функции у = 2х-1

4. Вычислить определенный интеграл.

А)

Б)

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х²-4 и у = 0

Часть 2

1. Найти неопределенный интеграл.

А)

Б)

2. Вычислить определенный интеграл.

А)

Б)

3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y = x², y = 2x – x² и осью Ox.

Часть 3

1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² – 8x + 18, y = -2x + 18.

Вариант 2

Часть 1

Укажите функцию, для которой F(х) = 4x³– 7^x является первообразной.

1) у = 4х⁴-7^x⁺¹ 2) y = 12x²+7^x 3) y = 12x²-7^xln7 4) y = 4x+7^x^{- 1}

2. Докажите, что F(х) = sin2x является первообразной для функции

у = 2cos2x на всей числовой прямой.

3. Верно ли рассуждение? Если да, то укажите правило, которым вы пользуетесь. Если нет, то укажите, в чём ошибка.

Найдём первообразную функции y=2xcosx. Первообразная для 2x = x², для cosx = sinx. Значит первообразной для функции y=2xcosx будет служить функция y=x²sinx.

а) Да, используем правило__________________________________________

б) Нет, т.к._______________________________________________________

4. Вычислить определенный интеграл.

А)

Б)

5. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой: у = 4 – х².

Часть 2

1. Найти неопределенный интеграл.

А)

Б)

2. Вычислить определенный интеграл.

А)

Б)

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x + y – 5 = 0, x – 2y + 4 = 0 и осью Ox.

Часть 3

1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = - x² + 10x - 16, y = x + 2.

Прямые и плоскости в пространстве.

Самостоятельная работа по теме

«Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:

а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают.

2. Какое из следующих утверждений неверно:

а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ.

4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости , прямая а перпендикулярна к плоскости . Каково взаимное расположение прямых с и в?

а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д) определить нельзя.

5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:

а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г.

6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ АВ, ВЕ ВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ:

а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости, д) перпендикулярны, но не пересекаются.

7.Какое из следующих утверждений неверно?

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин, г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно?

а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны.

9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно?

а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны.

10.Какое из следующих утверждений верно?

а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой, д) все линейные углы двугранного угла различны.

11.Какое из следующих утверждений верно?

а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию.

12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются:

а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Самостоятельная работа по теме

«Перпендикулярность прямой и плоскости»

1) каждая карточка выполняется на отдельном листке бумаги и остается после защиты у консультанта (в качестве консультанта выступает сильный студент); тем самым предотвращается списывание;

2) первоначально учитель раздает задания таким образом, что у рядом сидящих студентов находятся карточки разного цветового сигнала;

3) в случае затруднения, студент может обратиться за помощью к консультанту соответствующего цветового сигнала.

Содержание карточек:

1. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин B и C, если AC=a, BC=b, AD=c.

1. Сформулируйте теорему о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

2. Пусть в правильном треугольнике ABC через вершину С проходит прямая , О-центр ABC.через точку О проведена прямая . Найти расстояние от точки K до вершин А и В, если известно, что см, , .

1. Сформулируйте обратную теорему о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

2. Прямые PP1 и QQ1 перпендикулярны плоскости и пересекают плоскость соответственно в точках P1 и Q1. Известно, что PP1=21.5, QQ1=33.5, PQ=15. найти расстояние между прямыми PP1 и QQ1.

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Отрезок BM перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости MBC.

Самостоятельная работа по теме

«Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

Вопрос 1. Сколько существует случаев взаимного расположения двух различных прямых в пространстве?

а) 2

б) 3

в) 1

Вопрос 2. В тексте дано определение скрещивающихся прямых. Правильно ли следующее определение: "Две прямые называются cкрещивающимися, если не существует плоскости, в которой лежат обе эти прямые".

а) нет

б) да

в) ответить однозначно нельзя

Вопрос 3. Сколько существует случаев взаимного расположения плоскостей?

а) 2

б) 3

в) 1

Вопрос 4. Сколько пар параллельных плоскостей имеет куб?

а) 1

б) 2

в) 3

Вопрос 5. Сколько случаев взаимного расположения прямой и плоскости?

а) 2

б) 4

в) 3

Вопрос 6. Что необходимо для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны?

Вопрос 7. Что необходимо для того, чтобы две плоскости были параллельны?

Вопрос 8. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они принадлежат одной плоскости и не имеют общих точек. Верно ли утверждение?

а) да

б) нет

Самостоятельная работа по теме

«Расположение прямых и плоскостей в пространстве»

Вариант 1

Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.
Сколько существует случаев взаимного расположения прямых в пространстве? Перечислите их.
Дайте определение прямой параллельной плоскости.
ABCDA1B1C1D1 – КУБ. K, M, N - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР B1C1, D1D, D1C1 СООТВЕТСТВЕННО,

P - ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДИАГОНАЛЕЙ ГРАНИ AA1B1B.

Определите взаимное расположение прямых B1M и ВD, A1B и B1M, плоскостей ABCD и BB1C1C .

Вариант 2

Сколько существует случаев взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве? Перечислите их.
Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Сформулируйте определение параллельных и пересекающихся прямых.
Дано: SABC - ТЕТРАЭДР. ТОЧКИ K, M, N, P – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР SA, SC, AB, BC CОТВЕТСТВЕННО.

Определите взаимное расположение прямых KM и NP, AB и SC, плоскостей ABC и KMNP .

Вариант 3

Сформулируйте следствия из аксиом стереометрии.
Сколько существует случаев взаимного расположения плоскостей в пространстве? Перечислите их.
Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
ABCDA1B1C1D1 – КУБ. K, M, N - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР B1C1, D1D, D1C1 СООТВЕТСТВЕННО,

P - ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДИАГОНАЛЕЙ ГРАНИ AA1B1B.

Определите взаимное расположение прямых B1M и NP, NP и B1C1, плоскостей AA1D1D и BB1C1C .

Вариант 4

Сформулируйте аксиомы стереометрии.
Какие прямые называются скрещивающимися? Приведите примеры.
Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
Дано: SABC - ТЕТРАЭДР. ТОЧКИ K, M, N, P – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР SA, SC, AB, BC CОТВЕТСТВЕННО.

Определите взаимное расположение прямых KР и MN, AC и NP, плоскостей SBC и SAB .

Самостоятельная работа по теме

«Прямые и плоскости в пространстве»

1. Заполните пропуски.
  1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она ………….к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
  2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они ………………………
  3. Если прямая перпендикулярна к двум……………. прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
  4. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой………….., проведенной из этой же точки к этой плоскости.
  5. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется ………….. от точки до плоскости.
  6. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее ………….., перпендикулярна и самой наклонной.
  7. Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является ……………..
  8. Все линейные углы……………….угла равны друг другу.
  9. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его …………..угла.
  10. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, …………………к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
  11. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-………………………
  12. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда -……………………
  13. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называются……………..прямоугольного параллелепипеда.
  14. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме …………….трех его измерений.
  15……………………прямоугольного параллелепипеда равны.
2. Задачи
  1. Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 5см и наклонная длиной х см, угол между наклонной и ее проекцией на плоскость 30 . Найдите длину наклонной.
  2. Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 6см и две равные наклонные длиной 10см. Угол между проекциями равен 90 . Найдите расстояние между основаниями наклонных.
  3. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см, угол между диагональю и высотой 45 .Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда.
  4. Двугранный угол равен 90 . На разных гранях двугранного угла выбраны точки, удаленные от ребра угла на расстоянии 12 и 9 см. Найдите расстояние между этими точками.
  5. Из точки к плоскости равнобедренного треугольника с основанием 10см и боковыми сторонами 13 см через вершину треугольника проведен перпендикуляр длиной 2см.
  Найдите расстояние от точки до основания треугольника.

Самостоятельная работа

«Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

1.Если угол между двумя прямыми равен 90 , то эти прямые:
а ) пересекаются

б ) параллельны

в) скрещиваются

г)перпендикулярны

д) совпадают.

2. Какое из следующих утверждений неверно:
а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости,
б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает,
в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны,
г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны,
д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?
а) да

б)да, но при определенных условиях

в)определить нельзя

г)нет

д) другой ответ.

4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости α, прямая а перпендикулярна к плоскости α. Каково взаимное расположение прямых с и в?
а) параллельны

б) пересекаются

в) параллельны или пересекаются

г) совпадают,
д) определить нельзя.

5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:
а) другая плоскость параллельна прямой

б) прямая лежит в другой плоскости

в) другая плоскость перпендикулярна прямой

г) прямая не пересекает другую плоскость,
д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г.

6.Какое из следующих утверждений неверно?
а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины,
б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая,
в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин,
г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции,
д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

7.Угол между двумя плоскостями равен 80⁰ . Какое из следующих утверждений неверно?
а) плоскости пересекаются,
б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости,
в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости,
г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости,
д) плоскости не перпендикулярны.

8. Какое из следующих утверждений верно?
а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90 ,
б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а,
в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую , перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны,
г) угол между плоскостями всегда тупой,
д) все линейные углы двугранного угла различны.

9. Какое из следующих утверждений верно?
а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы,
б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые,
в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом,
г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений,
д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию.

10.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются:
а) высотами прямоугольного параллелепипеда,
б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда,
в) измерениями прямоугольного параллелепипеда,
г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда,
д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Уравнения и неравенства.

Самостоятельная работа по теме

«Равносильность уравнений»

Вариант 1

Вариант 2

1. Когда при решении уравнения может произойти потеря корней?

1. Когда при решении уравнения могут появиться посторонние корни?

2. Установить какое из двух уравнений является следствием другого.

x – 3 = 0 и x² – 5x + 6 = 0

и x² – 3x + 2 = 0

3. Решить уравнение

Самостоятельная работа по теме

«Показательные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

1);

2);

3) .

Вариант 2

Решить уравнения:

1);

2);

3) .

Самостоятельная работа по теме

«Простейшие логарифмические уравнения»

Самостоятельная работа по теме

«Решение логарифмических уравнений»

Самостоятельная работа по теме

«Показательные и логарифмические уравнения»

Вариант1 Вариант 2

Часть I.

1. Решить уравнения

1) 5^х= 125 1) 2^х= 64

2) log7(3x) = log728 2) log5(6x) = log542

2. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1)3^6х+7= 243 1)7^5х-6= 49

1. (-3; -1) 2. (-1;0) 3. (0;1) 4. (1;3) 1. (-3;-1) 2. (-1;0) 3. (0;1) 4. (1;3)

3. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) log2(5x) = log2280 – log27 1) log6(5x) = log62 + log617

1. (5;9) 2. (2;4) 3. (1;2) 4. (0;1) 1. (6;8) 2.(1;3) 3. (3;6) 4. (0;1)

Часть II

1. Решить уравнение

4*2^x^{– 1}- 2^х = 1 7^x- 7^{х - 2} = 48

2. Решить уравнение и найти сумму корней, если их несколько

log5(x²- 2x - 8) = log57 log2(x²- 3x + 4) = log4(x + 16)

Часть III

1. Найти произведение всех корней уравнения

1. (5 ^{х -61} – 125) * lg (19 – 7x –x²) = 0

Самостоятельная работа по теме

«Показательные неравенства»

Вариант 1

Решить неравенства:

1) ;

2);

3).

Вариант 2

Решить неравенства:

1) ;

2);

3).

Самостоятельная работа по теме

«Логарифмические неравенства»

Вариант 1

1),

2),

3),

4),

5).

Вариант 2

1) ,

2),

3),

4),

5).

Самостоятельная работа по теме

«Решение уравнений и систем уравнений»

Вариант 1

Задание 1.

а)

б)

Задание 2.

а)

б)

Задание 3.

а)

б)

Задание 4.

Вариант 2

Задание 1.

а)

б)

Задание 2.

а)

б)

Задание 3.

а)

б)

Задание 4.

Многогранники.

Самостоятельная работа по теме

«Прямоугольный параллелепипед»

Задания части А

Ребро куба равно a. Найдите: диагональ грани, диагональ куба, периметр основания, площадь грани, площадь поверхности куба.
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 32 см², а площадь полной поверхности 40 см². Найдите высоту призмы.
Существует ли призма, имеющая 50 рёбер? 54 ребра?

Задания части В.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в 3 раза.
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда высотой 30 см. Если в него налить 30 л. воды, то до верхнего края останется 5 см. Сколько литров воды нужно, чтобы наполнить пустой аквариум доверху?
Кубик весит 10 гр. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала.

Задания части С.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AС1 и плоскостью BСC1.
2. Сторона основания правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 12, а боковое ребро .Найдите градусную меру угла между плоскостями AB1C и ABC.
3. В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1найдите угол между плоскостью АА1С и прямой А1В, если АА1=3, АВ=4, ВС= 4.

Самостоятельная работа по теме

«Призма»

Вариант 1

А1

Основание призмы АВСDA1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются cкрещивающимися?

1) С1D и D1C 2) C1D и AB1 3) C1D и AB 4) AB и CD

А2.

Укажите плоскость, параллельную прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей граней AA1B1B и BB1C1C параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

1) ADC1 2) DD1C1 3) CB1D1 4)

А3.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 4, а сторона основания 4. Найдите расстояние между вершиной C и точкой пересечения диагоналей боковой грани AA1B1B.

1) 2 2) 4 3) 4 4) 2

А4.

Основание прямой призмы – прямоугольник со сторонами 4 и 3, а её высота равна 3. Найдите тангенс угла между диагональю призмы и плоскостью большей по площади боковой грани.

1) 2) 3) 4)

В1.

Высота правильной шестиугольной призмы равна 3, а площадь основания - . Найдите длину большей диагонали призмы.

В2.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна , а сторона основания - . На продолжении бокового ребра BB1 за точку B1 отложен отрезок B1K, равный ребру BB1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A,C и K.

В3.

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 8, а боковое ребро – 6. Точка К – середина отрезка ВС, точка О – середина отрезка СD1. Найдите объём многогранника AA1KO.

В4.

В правильной четырёхугольной призме боковое ребро равно стороне основания. Найдите угол между диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

Вариант 2.

А1.

Основание призмы A1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися?

1) AD и BC 2) B1C и A1D 3) AD1 и BC1 4) A1B и B1C1

A2.

Укажите плоскость, параллельную прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей граней AA1D1D и AA1B1B параллелепипеда АВСDA1B1C1D1.

1) B1C1D1 2) BDA1 3) BDD1 4) B1CC1

А3.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна , а сторона основания – 2. Найдите расстояние между вершиной C и точкой пересечения диагоналей боковой грани AA1B1B.

1) 2,5 2) 5 3) 4)

А4.

Основание прямой призмы – прямоугольник со сторонами 4 и 3, а её высота равна 3. Найдите тангенс угла между диагональю призмы и плоскостью меньшей по площади боковой грани.

1) 2) 3) 4)

В1.

Высота правильной шестиугольной призмы равна 2, а площадь основания - . Найдите меньшую диагональ призмы.

В2.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна , а сторона основания - 8. На продолжении ребра АА1 за точку А1 отложен отрезок А1М, равный высоте призмы. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B,D и M.

В3.

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 16, а боковое ребро – 12. Точка М – середина стороны основания АD, точка Р – середина отрезка АВ1. Найдите объём многогранника СС1РМ.

В4.

Вариант 3.

А1.

Основание призмы A1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися?

1) A1D1 и B1C1 2) BC1 и AD13) AD1 и A1D 4) AB1 и A1D1

A2.

Укажите плоскость, параллельную прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей граней AA1D1D и B1BCC1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1.

1) B1C1D 2) BDA1 3) AA1B 4) B1CC1

А3.

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 - прямоугольник со сторонами АВ=6 и ВС=12. Высота призмы равна 8. Найдите расстояние между вершиной С и точкой пересечения диагоналей грани AA1B1B .

1) 6,5 2) 13 3) 4)

А4.

Основание прямой четырёхугольной призмы – прямоугольник со сторонами 8 и 6, а её высота равна 6. Найдите синус угла между диагональю призмы и плоскостью большей по площади боковой грани.

1) 2) 3) 4)

В1.

Высота правильной шестиугольной призмы равна 3, а радиус окружности, вписанной в основание, . Найдите длину большей диагонали призмы.

В2.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна , а сторона основания - 6. На продолжении ребра BB1 за точку B1 отложен отрезок B1К, равный половине ребра BB1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, С и К.

В3.

В основании прямоугольного параллелепипеда MNPQM1N1P1Q1 лежит квадрат со стороной 8, боковое ребро равно 6. Точка К – середина отрезка M1N1, точка О – середина отрезка N1P. Найдите объём многогранника QQ1КО.

В4.

Вариант 4.

А1.

Основание призмы A1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися?

1) AC и А1C1 2) C1C и A1A 3) AD1 и BC1 4) A1B и DC1

A2.

Укажите плоскость, параллельную прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей граней ABCD и AA1B1B параллелепипеда АВСDA1B1C1D1.

1) B1C1D 2) B1CC1 3) BDD1 4) BDA1

А3.

В основании прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник со сторонами АВ=6 и ВС=12. Высота призмы - 8. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани B1BСС1

1) 26 2) 13 3) 4)

А4.

В основании прямой четырёхугольной призмы лежит прямоугольник со сторонами 4 и 3, а её высота равна 3. Найдите синус угла между диагональю призмы и плоскостью меньшей по площади боковой грани.

1) 2) 3) 4)

В1.

Высота правильной шестиугольной призмы равна 2, а радиус окружности, вписанной в основание, . Найдите меньшую диагональ призмы.

В2.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна , а сторона основания - 12. На продолжении ребра АА1 за точку А1 отложен отрезок А1М, равный половине высоте призмы. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B,D и M.

В3.

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы EFGHE1F1G1H1 – квадрат со стороной 16, а боковое ребро равно 12. Точка М – середина отрезка E1H1, точка Р – середина отрезка GH1. Найдите объём многогранника FF1РМ.

В4.

Вариант 5.

А1.

Основание призмы A1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися?

1) A1D1 и B1C1 2) B1C и AD 3) AС и A1С1 4) A1В и AВ1

A2.

Укажите плоскость, параллельную прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей граней СС1D1D и AA1B1B параллелепипеда АВСDA1B1C1D1.

1) B1C1D 2) BDA1 3) BDD1 4) B1CС1

А3.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 8, а сторона основания – 8. Найдите расстояние между вершиной A и точкой пересечения диагоналей грани DD1C1C.

1) 4 2) 8 3) 8 4) 4

А4.

В основании прямой четырёхугольной призмы лежит прямоугольник со сторонами 12 и 9, а её высота равна 9. Найдите котангенс угла между диагональю призмы и плоскостью большей по площади боковой грани.

1) 2) 3) 4)

В1.

Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 5, а площадь основания - . Найдите высоту призмы.

В2.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна , а сторона основания - . На продолжении бокового ребра BB1 за точку B1 отложен отрезок B1K так, что отношение BK : B1K=2:1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A,C и K.

В3.

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 4, а боковое ребро – 3. Точка К – середина отрезка АD, точка О – середина отрезка СD1. Найдите объём многогранника ВВ1KO.

В4.

Вариант 6.

А1.

Основание призмы АВСDA1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися?

1) А1В1 и СВ 2) DС и D1С1 D

3) AB и DС 4) СD1 и А1В

A2.

Укажите плоскость, параллельную прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей граней СС1D1D и A1B1С1D1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1.

1) B1C1D 2) B1CС1 3) BDD1 4) BDA1

А3.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна , а сторона основания – 2. Найдите расстояние между вершиной A и точкой пересечения диагоналей грани DD1C1C.

1) 2,5 2) 5 3) 5 4)

А4.

Основание прямой призмы - прямоугольник со сторонами 4 и 3, а её высота равна 3. Найдите котангенс угла между диагональю призмы и плоскостью большей по площади боковой грани.

1) 2) 3) 4)

В1.

Длина меньшей диагонали правильной шестиугольной призмы равна 4, а площадь основания - . Найдите высоту призмы.

В2.

Высота правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна , а сторона основания - 8. На продолжении ребра АА1 за точку А1 отложен отрезок А1М так, что отношение высоты призмы к отрезку АМ равно 1:2. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B,D и M.

В3.

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 4, а боковое ребро – 3. Точка М – середина стороны основания СD,

точка Р – середина отрезка А1D . Найдите объём многогранника ВВ1РМ.

В4.

Самостоятельная работа по теме

«Призма, параллелепипед, куб»

Вариант 1

Сделай рисунок прямой четырехугольной призмы, обозначь ее и запиши: вершины, боковые ребра, основания, боковые грани.
Продолжи предложение

Призма называется правильной, если___________________________

В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна 10 см и наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Одна из сторон основания равна 8 см. Найти вторую сторону основания.

Вариант 2

Сделай рисунок правильной треугольной призмы, обозначь ее и запиши: вершины, боковые ребра, основания, боковые грани.
Продолжи предложение

Многогранник называется выпуклым, если _____________________

В основании прямоугольного параллелепипеда квадрат. Высота равна 8 см. диагональ наклонена к плоскости основания под углом в 45⁰. Найти стороны основания.

Вариант 3

Сделай рисунок четырехугольной призмы, обозначь ее и запиши: диагонали, боковые ребра, основания, боковые грани.
Продолжи предложение

Призма называется прямой, если___________________________

В основании прямоугольного параллелепипеда прямоугольник со сторонами 3см и 4 см. Высота равна 12 см. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Вариант 4

Сделай рисунок треугольной призмы, обозначь ее и запиши: вершины, боковые ребра, основания, боковые грани.
Продолжи предложение

Многогранником называется ___________________________

В основании прямоугольного параллелепипеда прямоугольник со сторонами 5 см и 10см. Диагональ наклонена к плоскости основании под углом 60⁰. Найти высоту прямоугольного параллелепипеда.

Самостоятельная работа по теме «Пирамида»

Вариант 1

Задача №1

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6см и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды.

Задача №2

Найдите площадь полной поверхности треугольной пирамиды, если длина каждого ее ребра равна 3 см.

Вариант 2

Задача №1

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60?. Найдите боковое ребро пирамиды.

Задача №2

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 6 и 8 см. Боковые ребра пирамиды наклонены к
основанию пирамиды под углом 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Вариант 3

Задача №1

Основание пирамиды – ромб с диагоналями 10см и 18 см. Высота пирамиды равна проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см Найдите боковое ребро пирамиды.

Задача №2

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 6 и 8 см. Боковые грани пирамиды наклонены к
основанию пирамиды под углом 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Вариант 4

Задача № 1

Основанием пирамиды – ДАВС является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС=21 см. Ребро ДА перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача №2

Основанием пирамиды служит прямоугольник, длины сторон которого
4 и 3 см. Длина каждого ребра пирамиды 10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Вариант 5

Задача № 1

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 30?. Чему равны боковые ребра пирамиды?

Задача №2

В треугольной пирамиде стороны основания равны 13 см, 14 см, 15см, все боковые ребра составляют с основанием углы, равны. Найти высоту пирамиды.

Самостоятельная работа по теме

«Пирамида. Понятия и формулы»

1. Сделай рисунок четырехугольной пирамиды, обозначь ее и запиши:

вершину__________________________

боковые ребра_____________________

основание_________________________

боковые грани_____________________

1. Продолжи предложения

Высотой пирамиды называется___________________________

_________________________________________________________

Пирамида называется правильной, если____________________

_________________________________________________________

Площадью полной поверхности пирамиды называется________

_________________________________________________________

Площадью боковой поверхности пирамиды называется________

__________________________________________________________

Усеченная пирамида – нижний многогранник, отсекаемый от пирамиды плоскостью, параллельной_______________________

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью_________________

__________________________________________________________

Диагональное сечение пирамиды – сечение плоскостью проходящей через два несоседних________________________

Примеры моделей пирамид из реальной жизни_____________________

________________________________________________________________

1. Боковое ребро пирамиды перпендикулярно к одной стороне основания. Можно ли принять это ребро за высоту пирамиды?

Ответ поясни рисунком и соответствующими

записями_________________________________

Основание треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Одна из боковых граней ее перпендикулярна к плоскости основания. Является ли данная пирамида правильной?

Ответ поясните рисунком__________________

Сторона квадрата равна 10 см. Можно ли на нем построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см? Ответ обоснуйте.
Измените условие задачи так, чтобы она имела решение. Сформулируйте вашу задачу.

Самостоятельная работа по теме

«Призма. Пирамида»

Вариант 1

Сделай рисунок четырехугольной пирамиды, обозначь ее и запиши:

вершину_________________________

боковые ребра____________________

основание________________________

боковые грани____________________

Продолжи предложение

Призма называется правильной, если___________________________

Вариант 2

Сделай рисунок четырехугольной призмы, обозначь ее и запиши:

вершины__________________________

боковые ребра_____________________

основания_________________________

боковые грани_____________________

Продолжи предложение

Пирамидой называется многогранник ___________________________

Вариант 3

Сделай рисунок треугольной пирамиды, обозначь ее и запиши:

вершину_________________________

боковые ребра____________________

основание________________________

боковые грани____________________

Продолжи предложение

Призма называется прямой, если___________________________

Вариант 4

1. Сделай рисунок треугольной призмы, обозначь ее и запиши:

вершины__________________________

боковые ребра_____________________

основания_________________________

боковые грани_____________________

1. Продолжи предложение

Высотой пирамиды называется ___________________________

Самостоятельная работа по теме

«Сечения многогранников»

Вариант 1.

Самостоятельная работа

Вариант 2.

Самостоятельная работа по теме

«Многогранники»

Вариант 1

Задача 1.

Дана треугольная пирамида OABC, в основании которой лежит прямоугольный треугольник ACB (угол ACB = 90⁰), угол CAB = 30⁰, АС = 8 см. Ребро ОС данной пирамиды перпендикулярно плоскости основания и его длина равна 4 см. Найти остальные ребра пирамиды.

Задача 2.

Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат, длина стороны которого 6 см. Вычислите расстояние от вершины А до середины отрезка A1C1, если длина диагонали боковой грани параллелепипеда равна 10 см.

Задача 3.

Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки M, N, P рёбер AD, AB, DC соответственно, при условии, что MN не параллельна DP.

Задача 4.

Дана четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. Точки K и N являются серединами сторон АА1 и СС1 соответственно. Точка М принадлежит ребру DC. Построить сечение призмы проходящее через данные точки.

Вариант 2

Задача 1.

Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит прямоугольник ACBD, а боковое ребро SA данной пирамиды перпендикулярно плоскости основания и его длина равна 4 см. Найти остальные ребра пирамиды, если AB = 6 см, ВС = 4см.

Задача 2.

Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат, длина стороны которого 6 см. Вычислите расстояние от середины ребра DD1 до середины отрезка В1D1, если длина бокового ребра параллелепипеда равна 16 см.

Задача 3.

Построить сечение призмы ABCA1B1C1, в основании которой лежит треугольник плоскостью, проходящей через точки M и N – середины ребер АС и ВВ1 соответственно, а также точку Е, лежащую на продолжении ребра АА1.

Задача 4.

Дана четырехугольная пирамида SABCD. Точки K, О и М Лежат на ребрах SC, AB и SD соответственно, так что отрезок КМ не параллелен CD. Построить сечение пирамиды проходящее через данные точки.

Тела и поверхности вращения.

Самостоятельная работа по теме

«Тела вращения»

1. Сколько диаметров у сферы?

А.1. Б.2.

В.3. Г. бесконечно много.

2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

А. отрезком Б. окружностью

В. кругом Г. сферой.

3. Отрезок по которой пересекаются большие круги шара это

А. центр сферы Б. диаметр сферы

В. радиус сферы Г. большой круг.

4. Конус можно получить, если вращать вокруг стороны

А. равносторонний треугольник Б. тупоугольный треугольник.

В. остроугольный треугольник Г. прямоугольный треугольник.

5. Плоскость может разделить шар на

А. сегменты Б. секторы В. сферы Г. круги

6. У цилиндра осевым сечением является.

А. Треугольник Б.Круг.

В. Прямоугольник Г. Нет осевого сечения.

7. У конуса плоскостей симметрии

А. нет Б.1.

В. 2 Г. бесконечно много.

8. Отрезок соединяющий, две точки на поверхности сферы, называется…

А. Диаметр Б. Хорда

В. Высота Г. Ось

9. Какие существуют случаи взаимного расположения сферы и плоскости?

A. 1 Б. 2

В. 3 Г. 4

10. Цилиндр можно получить при вращении

А. Прямоугольного треугольника Б. Равнобедренной трапеции

Б. Прямоугольника Г. Параллелограмма

Самостоятельная работа по теме

«Цилиндр и конус»

Задания группы А

1). Выберите неверное утверждение:

а). Конус может быть подучен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов

б). Прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса.

в). Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле Sб = Пr(r+l)

г). Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция

д). Конус называется равносторонним, если его осевое сечение правильный треугольник

Ответ: в)

2). Образующая конуса равна 4см и наклонена к плоскости основания под углом 60^о. Найти площадь осевого сечения конуса.

а) 83см²;

б)3см²;

в) 163см²;

г) 43см²;

д) 23см²

Ответ: г)

3). Радиусы оснований усеченного конуса 10v3 и 6v3 , а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60^о. Найти высоту усеченного конуса.

а) 4см;

б) 6см;

в)12см;

г) определить нельзя;

д) 3см.

4). Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого 12см. Найти S боковой поверхности цилиндра.

а) 36П см²;

б) 72П см²;

в) 362Псм²;

г) 483Псм²;

д) 144Псм²;

5). Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра d, угол между диагоналями развертки 120⁰. Найти Sб цилиндра.

Задания группы В

1). Развертка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого 10см. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

2). Трапеция равнобедренная с основаниями 15 и 25, и высотой 12 вращается около большого основания. Найти площадь поверхности тела вращения.

3). Площадь осевого сечения цилиндра равна 24π см². Найдите площадь его боковой поверхности.

4). Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности дугу в 120^о. Высота цилиндра 5см. Радиус цилиндра 23см. Найти S сечения.

5) В усечённом конусе диагональ осевого сечения равна 10м, радиусы оснований 2м и 4м. Найдите высоту конуса.

Задания группы С

1). Площадь боковой поверхности цилиндра вдвое больше площади основания, а площадь полной поверхность равна 256П см. Найти r и h.

2). Радиус кругового сектора равен 6см, а его угол 120^о. Сектор свернут в коническую поверхность. Найти площадь полной поверхности конуса.

3). Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см. Найти высоту пирамиды.

4). Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается вокруг гипотенузы. Найти площадь поверхности полученного тела.

5). Прямой круговой цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получается квадрат. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если известно, что радиус основания равен 10см, а расстояние от сечения до оси цилиндра 6см.

Самостоятельная работа по теме «Сфера и шар»

Вариант 1

1. Если сфера касается всех граней многогранника, то она называется…

а) описанной около многогранника;

б) вписанной в многогранник;

в) касательной к многограннику.

2. Все вершины многогранника лежат на сфере, такой многогранник называется…

а) вписанным в сферу;

б) описанным около сферы;

в) касательным к сфере.

3. Шар можно вписать в …

а) произвольную призму;

б) треугольную пирамиду;

в) треугольную призму.

4. В прямую призму, в основание которой вписана окружность, можно вписать сферу, если…

а) высота призмы равна диаметру вписанной окружности;

б) центр сферы лежит на высоте призмы;

в) высота призмы равна радиусу вписанной окружности.

5. Во всякий цилиндр можно вписать сферу, если…

а) если центр сферы лежит на оси цилиндра;

б) сфера касается оснований цилиндра:

в) его осевое сечение-квадрат.

Вариант 2.

1. Если на сфере лежат все вершины многогранника, то она называется…

а) описанной около многогранника;

б) вписанной в многогранник;

в) касательной к многограннику.

2. Если каждая грань многогранника является касательной плоскостью к сфере, то такой многогранник называется…

а) вписанным в сферу;

б) описанным около сферы;

в) касательным к сфере.

3. Шар можно описать около …

а) любой призмы;

б) любой правильной пирамиды;

в) наклонной призмы.

4. В прямую призму, вписана сфера, около призмы еще описана сфера, центры этих сфер…

а) лежат на разных диагоналях призмы;

б) принадлежат высоте призмы и не совпадают;

в) совпадают.

5. Около любого цилиндр можно описать сферу. Основания цилиндра являются…

а) касательными плоскостями к сфере;

б) большим кругом сферы.:

в) сечениями сферы..

Самостоятельная работа по теме

«Тела и поверхности вращения»

1 уровень (сфера)

1. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.

2. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16π см².

3. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.

4. Найдите радиус сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра касательной плоскости равно 13 см.

1 уровень (цилиндр)

1. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен 2см, а высота 7 см.

2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если радиус основания равен 7см, а высота 2 см.

3. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, где радиус основания равен 5см, а высота 15 см.

4. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 80π, а высота цилиндра 10.

5. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания цилиндра равен 5 см, а площадь полной поверхности цилиндра равна 90π см².

6. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь осевого сечения цилиндра равна 64 дм², а высота цилиндра 16 дм.

1 уровень (конус)

1. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а образующая равна 7 см.

2. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 3 см, а высота равна 4 см.

3. Найдите площадь полной поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а образующая равна 6 см.

4. Найдите площадь осевого сечения конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а высота равна 6 см.

5. Найдите площадь сечения проходящего через вершину конуса, если угол между образующими в сечении равен 30° и образующая равна 5см.

6. Найдите высоту конуса, если радиус основания конуса равен 6 см, а площадь боковой поверхности равна 60π см².

2 уровень (сфера)

1. Площадь сечения проходящего через центр шара, равна 16π см². Чему равен радиус шара?

2. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.

3. Шар с центром в т.О касается плоскости в т.В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 20 см, АВ = 12 см. Найдите радиус шара.

2 уровень (конус)

1. Площадь полной поверхности конуса равна 136π см², радиус основания конуса – 6 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

2. Площадь осевого сечения конуса равна 36 см², а высота конуса 12 см. Найдите радиус основания.

3. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности конуса, у которого радиус равен 4 см, а высота равна 3 см?

2 уровень (цилиндр)

1. Радиус основания цилиндра 1,5 см, а высота – 4 см. Чему равна диагональ осевого сечения?

2. Площадь боковой поверхности 75π см². Найдите площадь его полной поверхности, если радиус основания равен 5 см.

3. Высота цилиндра 20 см, радиус основания 10 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 см от неё.

Самостоятельная работа по теме

«Тела и поверхности вращения»

Карточка№1

Тема «Тела вращения»

1.Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите радиус шара.

2.Найдите дугу сектора, представляющую собой развертку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в 60⁰

……………………………………………………………………………………….

Дополнительные задачи

3. Около правильной четырехугольной пирамиды описана сфера. Отношение радиуса сферы к стороне основания равно . Найдите угол наклона боковой грани, к плоскости основания.

4.В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна а, а острый угол между его диагоналями равен φ1. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол φ2 . Найдите радиус конуса.

Карточка№2

Тема «Тела вращения»

1.Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

2. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой равной 180⁰

……………………………………………………………………………………….

Дополнительные задачи.

3. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен 6 см, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 см.

4.В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол . Найдите площадь поверхности шара.

Карточка№3

Тема «Тела вращения»

1.Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая равна 9 см. Найдите площадь осевого сечения.

2. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 270⁰

……………………………………………………………………………………….

Дополнительные задачи.

3.Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, Высота пирамиды MH перпендикулярна плоскости основания, угол AMH равен φ. О - центр сферы описанной около пирамиды. Найти отношение

4. В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол φ. Найдите радиус цилиндра.

Карточка №4

Тема «Тела вращения»

1. Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину.

2.Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

……………………………………………………………………………………….

Дополнительные задачи.

3.Около шара описана прямая призма, основанием которой является параллелограмм с острым углом . Найти угол между большей диагональю призмы и плоскостью основания.

4. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом между диагоналями φ. Одно из меньших боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол . Радиус сферы описанной около пирамиды равен R. Найдите площадь основания пирамиды.

Карточка №5

Тема «Тела вращения»

1.Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30⁰, а его высота равна 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

2.Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен φ, диагональ равна d. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

…………………………………………………………………………………

Дополнительные задачи.

3.Вычислить радиус шара вписанного в правильный тетраэдр с ребром а.

4. Центр сферы вписанной в правильную четырехугольную пирамиду делит высоту пирамиды в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите угол между двумя смежными боковыми гранями.

Карточка№6.

Тема «Тела вращения»

1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

2. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой равной 90⁰

……………………………………………………………………………………

Дополнительные задачи.

3.В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндр, если радиус основания равен высоте цилиндра.

4. MABC-пирамида, основанием которой является треугольник ABC. Стороны AB, BC, AC равны соответственно 13, 14, 15. Расстояние от вершины пирамиды до сторон основания равно 5. Найдите радиус шара вписанного в пирамиду.

Измерения в геометрии.

Самостоятельная работа по теме

«Объем цилиндра, конуса»

Прием «Ромашка Блума» Это система вопросов, построенных в зависимости от уровней познавательной деятельности: знание, понимание, применение, анализ, синтез и оценка. Шесть лепестков – шесть типов вопросов.

Простые вопросы требуют знания, фактического материала,

ориентированы на работу памяти.

Уточняющие вопросы – «насколько правильно я понял?»

Интерпретирующие вопросы (объясняющие) – побуждая

учеников к интерпретации, мы учим их навыкам осознания

причин тех или иных поступков или мнений (почему?)

Оценочные вопросы (сравнение) – необходимо использовать, когда вы слышите, что кто-либо из учеников выражает соседу по парте свое недовольство или удовольствие от произошедшего на уроке

Творческие вопросы (прогноз) – «Как вы думаете, что произойдет дальше…?»

Практические вопросы – «Как мы можем…?» «Как поступили бы вы…?»

Решение задач. Каждая пара учеников выбирает задачу своего уровня сложности, используя «ромашку Блюма». Решение обсуждается в парах, коротко записывается в тетрадь.

№701(а,б) учебника

Заполните таблицу.

Sосн.

Vцилиндра

5 см

3 см

2,6 дм

4 дм

49П см²

122,5П см³

13 м

33,8П м³

№701(в), 666 (в) учебника

1. Почему осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник, если известно, что объём фигуры равен см³, а образующая конуса mcм? Найдите площадь боковой поверхности такого конуса.
2. Сколько в связке электродов для электросварки если их общая масса 10 кг, а каждый электрод, кусок стальной проволоки длинной 45 см. и диаметром 6 мм. Плотность стали 7600 г/м3.

Чтобы ответить на вопрос задачи нужно знать массу 1 стержня.
Чтобы найти массу одного стержня , найдем объем одного стержня.
Чтобы найти объем одного стержня воспользуемся формулой .

При составлении плана решения задачи наши логические рассуждения запишем в обратном порядке:

Найдем объем одного стержня;
Найдем массу одного стержня;
Найдем количество стержней.

Сравните объёмы конусов, полученных вращением прямоугольного треугольника SBО вокруг катета SO, если острый угол В сначала равен 30^о, а затем 45^о, а высота конуса равна а см.

Сравните объемы цилиндров, если их образующие раны a см, а радиус основания одного цилиндра в 3 раза больше чем у второго.

Если два конуса имеют равную образующую а см, но у первого конуса осевое сечение – правильный треугольник, а у второго – прямоугольный треугольник, то объём какого конуса больше и во сколько раз?

Секущая плоскость делит объем цилиндра пополам. Делится ли пополам этой секущей плоскостью площадь поверхности данного цилиндра.

.Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10см с образующей 13см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?

При монтаже трубопровода по поверхности земли используются трубы размеры которой даны на рисунке. Размеры даны в см. Вычислить металла, который затратят на изготовление этой трубы. Проанализируем условие задачи и составим план решения.

Данное тело можно разбить на несколько цилиндров:

d = 80, h = 5 таких цилиндров 2;

d = 60, h = 390;

d = 50, h = 400.

Самостоятельная работа по теме

«Объем шара и его частей. Площадь сферы»

Вариант 1

1 уровень

1. Объем шара равен 36π см³. Найдите площадь сферы, ограничивающий данный шар.

2. В шаре радиуса 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81π см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

2 уровень

Решить задачи:

1. Внешний диаметр полого шара равен 18 см, а толщина стенок – 3 см. Найдите объем материала, из которого сделан шар.

2. Сечение, перпендикулярное диаметру шара, делит этот диаметр в отношении 1: 3. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого от шара, если площадь поверхности шара равна 144π см².

3. Радиус шарового сектора равен R, а угол между радиусами в осевом сечении сектора равен 120°. Найдите объем сектора.

Вариант 2

1 уровень

1. Площадь поверхности шара равна 144π см². Найдите объем данного шара.

2. На расстоянии 9 м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24π см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующая сектор, составляет треть диаметра шара.

2 уровень

Решить задачи:

1. Внутренний диаметр полого шара равен 12см, а толщина стенок-3см. Найдите объем материала, из которого сделан шар.

2. Сечение, перпендикулярное радиусу шара, делит этот радиус пополам. Площадь поверхности шара равна 144π см². Найдите объем большего шарового сегмента, отсекаемого от шара.

3. Круговой сектор радиуса R с центральным углом в 60°вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

Элементы комбинаторики.

Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.

Самостоятельная работа по теме

«Размещения, перестановки, сочетания»

5 5

У одного студента 5 книг, у другого – 9. все книги различные. Сколькими способами студенты могут произвести обмен 2 книг на 2 книги?

Сколькими способами можно расставлять на полке 6 различных книг, чтобы определенные три из них стояли рядом?

Самостоятельная работа по теме

«Бином Ньютона»

Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.
Найти пятый член разложения бинома .
Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.
Найти седьмой член разложения бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.
Сколько членов разложения бинома являются целыми числами?
Вычислить сумму .
Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома .
Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.
При каких значениях х четвертое слагаемое разложения больше двух соседних с ним слагаемых?
При каком значении х четвертое слагаемое разложения в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?
В какую наибольшую степень следует возвести бином чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ?

Самостоятельная работа по теме

«Решение комбинаторных задач»

Вычислить.

Сколькими способами 10 человек могут организовать очередь?
Сколько можно составить целых чисел, каждое из которых изображается тремя различными цифрами?
Сколько можно составит билетов из 20 вопросов программы, если в каждом билете содержится три вопроса?
Сколькими способами 15 книг можно расположить на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом? (все книги различны)
Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трех гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это делать?
Имеется собрание сочинений из четырех книг одного автора и собрание сочинений из шести книг другого автора. Сколько наборов из четырех книг можно сделать, чтобы в наборе было две книги первого автора и две книги другого автора?
Из пяти офицеров и десяти солдат надо составить наряд так, чтобы в него входило два офицера и три солдата. Сколькими способами можно это сделать?
Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:

а)

б)

в)

Найти пятый и девятый член разложения:
а) , б)
Используя треугольник Паскаля найти коэффициент разложения:
а) , б) .

Сводная таблица контроля оценки результатов обучения

Процент результативности (правильных

ответов)

Оценка уровня подготовки

балл (отметка)

вербальный аналог

90 ÷ 100

Отлично

80 ÷ 89

Хорошо

70 ÷79

Удовлетворительно

менее 70

неудовлетворительно

Заключение

Самостоятельная работа всегда завершается какими-либо результатами. Это выполненные задания, упражнения, решенные задачи, написанные сочинения, заполненные таблицы, построенные графики, подготовленные ответы на вопросы.

Таким образом, широкое использование методов самостоятельной работы, побуждающих к мыслительной и практической деятельности, развивает столь важные интеллектуальные качества человека, обеспечивающие в дальнейшем его стремление к постоянному овладению знаниями и применению их на практике.