Тема: Решение линейных уравнений с параметром аналитическим и графическим способами. (7 класс)
Решение уравнений и неравенств с параметром одна из сложнейших тем в курсе математики средней школы. Ученика нужно постепенно приучать к заданиям, содержащим параметр. Чем больше учитель разбирает таких задач, тем дети осознаннее подходят к решению упражнений этой темы. Поэтому начинать решать уравнения с параметром следует как можно раньше, с самых простых заданий. Предлагаю урок в 7 классе для углубленного изучения математики.
Цель урока: научиться решать уравнения с параметром линейного вида.
Ход урока:
ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.
Выполненные на отдельных листах упражнения из домашнего задания, вывешиваются перед уроком на специальной доске для самопроверки.
НАЧНЕМ УРОК С УСТНЫХ УПРАЖНЕНИЙ.
Первой решим логическую задачу.
На конференции 85% делегатов знают английский язык и 75 % испанский. Какая часть делегатов знают оба языка?
(85% + 75%=160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет чего образовался излишек? За счет тех людей, которые оба языка знают, - их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60 % делегатов конференции.)
Найдите корни уравнения
а) 1 + х = 2 – х, (0,5)
б) 9х 4 = 9х + 5, ()
в) 3х + 1 = 3х + 1. (х R)
При каких значениях b число 3 является корнем уравнения?
а) bx = 6, (b = 2)
б) 8x = 3b. (b = 8)
Что значит решить уравнение с параметром? (Под решением уравнения f(x;a)=0
с параметром а будем понимать систему значений х и а из области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство)
Решите уравнение с параметром:
а) , (если m = 0, то x R; если m 0, то решений нет)
б) , (х = а/4)
в) (если а = 0, то решений нет; если а 0, то х = а/4).
Назовите одно из решений уравнения .
На крыльце дома сидят мальчик и девочка. Саша говорит:»Я – девочка». Женя говорит: «Я – мальчик». Если по крайней один из детей врет, то кто из них мальчик, а кто девочка? (Если один из детей врет, то врет и второй. Следовательно, Саша – мальчик, а Женя – девочка.)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Сегодня мы посвятим урок решению задач с параметром аналитическим и графическим способами.
№1. Решите уравнение: .
Решение:
Если а = 0, решений нет.
Если а 0, преобразуем уравнение: а+х = а2 + ах,
х ах = а 2 а,
(1 а) х = а (а 1),
(а 1) х = а (а 1).
2) Если а 1 = 0, 3) Если а 1, а 0,
а = 1, тогда , х = а.
х R.
Для удобства записи ответа сделаем рисунок решений
[pic]
Ответ: если а = 0, то решений нет, если а = 1, то х– любое число, если а 0, а 1, то х= а.
Дадим геометрическую интерпретацию уравнения
[pic]
Работа с графиком:
Назовите пары решения уравнения
Например: а = 1, х = 2,
а = 1, х = 3,
а = 2, х = 2,
а = 5, х = 5.
№ 2 Отцу 40 лет. Через сколько лет отец будет в два раза старше сына?
Решение:
Пусть сыну а лет. Пусть через х лет отец будет в два раза старше сына.
х + 40 (лет) будет отцу, а + х (лет) будет сыну. Т.к. по условию задачи отец будет в два раза старше сына, то 40 + х = 2 (а + х),
40 х = 2 а,
х = 40 2 а.
По смыслу задачи а 0, но 40 2 а 0, а значит а 20. Следовательно, условию задачи удовлетворяют значения 0 а 20.
Ответ: 40 2 а, где 0 а 20.
Вопрос: Если сыну 16 лет, через сколько лет отец будет в два раза старше сына?
(а = 16, х = 8)
№ 3 Решите уравнение двумя способами: x + 2=a.
1 способ. Аналитический
00У: аR, x R.
1. Если а = 0; х + 2 = 0,
х = 2.
2. Если a < 0, x + 2 = a,
.
3. Если a > 0, x + 2 = a или х + 2 = а,
х = а 2, х = а 2.
[pic]
Ответ: если a < 0, то решений нет;
если а = 0, то х = 2;
если a > 0, то х1 = а 2.
х 2 = а 2.
2 способ. Графический
Построим в одной системе координат графики функций у = х + 2 и у = а.
у = х + 2,
[pic] .
[pic]
Если a > 0, то у = х 2, или у = х + 2,
у = а, у = а,
х 2 = а, х + 2 = а,
х = а 2; х = а 2.
Ответ: еслиa < 0, то решений нет;
если а = 0, то х = 2;
если a > 0, то х1 = а 2.
х 2 = а 2.
№ 4 Самостоятельно с последующей проверкой на доске.
При каком значении а уравнение имеет один корень?
а) х+х а = 3,
б) х + х а = 0,
в) 2х + х 1 = а.
Решение:
а) х+х а = 3,
Ответ: при любом а корней нет, т.к. сумма двух неотрицательных чисел есть число неотрицательное.
б) х + х а = 0,
Ответ: при а = 0, единственный корень х = 0.
в) 2 х + х 1 = а.
Это уравнение решить аналитически трудно. Попробуем решить его графически.
Построим в одной системе координат графики функций: у = 2 х + х 1 и у = а.
у = 2 х + х 1
[pic]
Если х < 0, y = 2x x + 1,
y = 3x + 1.
Если 0x<1, y = x + 1,
y = x + 1.
Если x 1,y = 2x+x 1,
y = 3x 1.
[pic]
[pic]
Ответ: при а = 1 уравнение имеет единственный корень х = 0.
УЧИТЕЛЬ ПОДВОДИТ ИТОГ УРОКА…
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
№ 749 (4) Повторение действий с многочленами. № 737 Текстовая задача.
При каком значении а уравнение 3 х 1 + х 2 = а не имеет корней?
Необязательное задание: найти натуральное число А, если известно, что из трех данных утверждений два верно, а одно – нет. 1) А + 7 – точный квадрат,
2) последняя цифра А равна 1, 3) А 8 – точный квадрат.
