Муниципальное об
ГБОУ лицей № 144
Конспект открытого урока по геометрии
«Метод координат в пространстве.
Задача 14 в ЕГЭ»
11 класс
Разработан
учителем математики
Оханцевой И.В.
Санкт-Петербург
2015
Цель урока: познакомить учащихся с понятием уравнение плоскости. Применить знания в решении задач ЕГЭ.
Задачи урока:
Научить записывать уравнение плоскости по точке и направляющему вектору, по трем точкам .
Применить метод координат в решении задач на нахождение расстояния от точки до плоскости
Воспитание внимания, умения слушать.
Воспитание трудолюбия, настойчивости в достижении цели.
Оборудование урока:
Наглядный материал: мультимедийная презентация
ХОД УРОКА.
1. Организационный момент
Учитель: Здравствуйте ребята и наши гости!
Тема урока сегодня «Уравнение плоскости».
Наша задача – познакомиться со стандартным видом уравнения плоскости, научиться записывать уравнение по имеющимся данным, применить знания в решении задач ЕГЭ.
2. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний
Пусть задана прямоугольная система координат Охуz и дана некоторая поверхность Р, например плоскость. Уравнение с тремя переменными х, у, z назыается уравнением поверхности Р, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности Р и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. Отметим, что понятие уравнения поверхности аналогично понятию уравнения прямой, введенному в курсе планиметрии.
Выведем уравнения плоскости, проходя-шей через точку М0 (х0; у0; z0) и перпендикулярной
ненулевому вектору п(а; b; с).
Если точка М (х; у; z), отличная от М0,принадлежит плоскости, то векторы п (а; b; с) и М:М взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
а (х - х0) + b (у - у0) + с (z - z0) = 0. (*)
Отметим, что координаты точки М0 также удовлетворяют этому уравнению. Если же точка
М (х; у; z) не принадлежит плоскости, то угол между векторами п и М0М отличается от 90° (на величину
угла между прямой М0М и плоскостью), и поэтому скалярное произведение этих векторов отлично от нуля. Следовательно, равенство не выполняется.
Итак, уравнению (*) удовлетворяют координаты любой точки плоскости и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей в этой плоскости. Поэтому уравнение (*) является уравнением плоскости, проходящей через точку М0 (х0; у0; z0) и перпендикулярной к ненулевому вектору п (а; b, с).
Уравнение плоскости можно использовать для вычисления расстояния от данной точки до этой плоскости.
3.Координаты многогранников
На слайде представлен рекомендуемый способ введения системы координат для:
1. единичного куба
2. параллелепипеда
3.правильной шестиугольной призмы
4.правильной треугольной призмы
5. правильной треугольной пирамиды
6. правильной четырехугольной пирамиды
7. правильной шестиугольной пирамиды.
3. Изучение нового материала. Вывод формулы для расстояния от точки до плоскости в координатах
Задача.
Найти расстояние от точки до плоскости, если известны координаты точки и уравнение плоскости.
Решение
Пусть М0 (х0; у0; z0) — данная точка, ах + + bу + сz + d = 0, где (а2 +b2 + с2 0) — уравнение данной плоскости α, М1 (х1; у1; z1) — проекция точки М0 на плоскость α. Поскольку точка М1 лежит в плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости:
aх1 + bу1 + сz1 + d= 0.
Вектор М0М1, как и вектор п, перпендикулярен к плоскости α, поэтому М0М1 || п. Следовательно, существует такое число к, что М0М1 = кп. Запишем это равенство в координатах:
x1 - х0 = ка, y1-у0 = кb, z1 - z0 = кс. (**)
Заметим, наконец, что искомое расстояние I равно длине вектора М0М, т. е.
1 =
Выразим теперь координаты точки М1, из уравнений (**) и подставим их в уравнение (*):
а (ка + х0) + b(кb + у0) + с (кс + z0) +d = 0.
Отсюда находим
k =,
l =
4. Первичное закрепление знаний
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (задание на слайде).
5. Решение задач № 14.
Умение написать уравнение плоскости позволяет решать такие задачи как:
Рассмотрим на конкретных примерах.
№ 1 В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости (BDC1) .
№ 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF1)
№ 3. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми АD1 и ВD.
№ 4. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми АD1 и ВD.
6. Подведение итогов урока.
Итак, сегодня на уроке мы изучили понятие «Уравнение плоскости». И более подробно – способы задания плоскости. Научились находить расстояние от точки до плоскости методом координат.
Я благодарю вас за работу. Желаю вам успехов в дальнейшем изучении геометрии.
Приложение (мультмедийная презентация)
