Контрольная работа №1.
1. Точки А, В и С принадлежат пря-мой. Точка М не принадлежит ей. До-кажите, что данные четыре точки расположены в одной плоскости.
2. Можно ли провести через точку пересечения диагоналей четырёх-угольника прямую, которая не пере-секает его стороны.
3. Стороны АВ и АС треугольника АВС лежат в одной плоскости [pic] . До-кажите, что и медиана АМ этого тре-угольника лежит в плоскости [pic] .
Вариант 2.
1. Прямая m имеет с пересекающи-мися прямыми a и b две общие точ-ки. Докажите, что три эти прямые расположены в одной плоскости.
2. Точка М принадлежит медиане АК треугольника АВС. Можно ли про-вести через точку М прямую, которая не пересекает сторон данного тре-угольника?
3. Прямые АВ и СК не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и ВК не пересекаются.
Вариант 3.
1. Прямые a и b пересекаются в точке О.прямые c и d, не проходящие через точку О, пересекают каждую из пря-мых a и b. Докажите, что прямые c и d лежат в одной плоскости.
2. Через точку пересечения прямых АВ и АС проведена прямая d, не ле-жащая с ними в одной плоскости. До-кажите, что прямые d и ВС не пересекаются.
3. Докажите, что через любые две точки можно провести хотя бы одну плоскость.
Вариант 4.
1. Дана прямая a и не лежащая на ней точка В. Через точку В проведены три прямые, пересекающие прямую a. Докажите, что все эти прямые лежат в одной плоскости.
2. Прямая b лежит в плоскости [pic] , а прямая d пересекает плоскость [pic] в точке, не принадлежащей прямой b. Докажите, что прямые b и d не пересекаются.
3. Прямая d лежит в плоскости [pic] . Докажите, что через прямую d можно провести плоскость [pic] , отличную от [pic] .
Ответы.
Ответы.
Ответы.
Ответы.
1.
1.
1.
1.
2.
Да.
2.
Да.
2.
2.
3.
3.
3.
3.
Контрольная работа №2.
Вариант 1.
1. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой ВС, пересекает сторону АВ в точке Р, а сторону АС в точке К. Точка Р делит отрезок АВ в отношении 3:5, считая от точки А. Найдите длину отрезка РК, если ВС=12дм.
2. Даны две параллельные плоскости. Через точки М и К, принадлежащие одной из этих плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках М1и К1. Чему равна длина отрезка М1К1, если МК=8,8см? Ответ поясните.
3. Одно из оснований трапеции рас-положено в плоскости [pic] . Через сере-дины боковых сторон трапеции про-ведена прямая m. Докажите, что пря-мая m параллельна плоскости [pic] .
Вариант 2.
1. Через концы отрезка АВ и его се-редину О проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость [pic] в точках А1, В1 и О1 соответственно. Известно, что АА1=5см, ОО1=4см. Найдите длину отрезка ВВ1,если отрезок АВ не пере-секает плоскость [pic] .
2. Даны две параллельные плоскости. Прямая а пересекает эти плоскости в точках А1 и А2, а параллельная ей прямая b – в точках В1 и В2 соответ-ственно. Чему равна длина отрезка В1В2, если А1А2=3,5см. Ответ пояс-ните.
3. Плоскость [pic] проходит через сто-рону АС треугольника АВС. Точки К и Е середины отрезков соответствен-но. Докажите, что ЕК║ [pic] .
Вариант 3
1. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС в точке Е, а сторону ВС в точке К. Точка Е делит отрезок АС в отношении 3:7, считая от точки А. Найдите длину отрезка ЕК, если АВ=20дм.
2. Даны две параллельные плоскости. Через точки Р и Е, принадлежащие одной из этих плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках Р1и Е1. Чему равна длина отрезка Р1Е1, если РЕ=6,3см? Ответ поясните.
3. Плоскость [pic] проходит через осно-вание АК трапеции АВСК. Точки Е и Р середины отрезков АВ и СК со-ответственно. Докажите, что ЕР║ [pic] .
Вариант 4.
1. Плоскость, параллельная прямой АВ треугольника АВС, пересекает сторону АС в точке А1, сторону ВС – в точке В1. Найдите отрезок А1В1, если АВ=25 см, АА1:А1С=:2:3.
2. Даны параллельные плоскости [pic] и [pic] . Через точки А и В плоскости [pic] проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость [pic] в точках А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ=5 см.
3. Треугольник ВКС и прямоуголь-ник АВСР не лежат в одной плоскос-ти. Точки M и N середины отрезков ВК и КС соответственно.Докажите, что АК║MN.
Ответы.
Ответы.
Ответы.
Ответы.
1.
9 см
1.
3 см
1.
14 см.
1.
15 см.
2.
8,8 см
2.
3,5 см
2.
6,3 см.
2.
5 см
3.
-
3.
-
3.
-
3.
-
Контрольная работа № 3.
1. Определите, может ли при парал-лельном проектировании прямо-угольника получится
а) параллелограмм;
б) квадрат;
в) трапеция;
г) отрезок.
2. [pic] параллельная проекция равнобедренного треугольника ( АС- проекция основания ). Постройте проекцию средней линии треуголь-ника, соединяющей его боковые сто-роны.
3. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью MNK, где
M [pic]
Вариант 2.
1. Определите, может ли при парал-лельном проектировании ромба получится
а) параллелограмм;
б) квадрат;
в) трапеция;
г) отрезок.
2. [pic] параллельная проекция равнобедренного треугольника ( АС- проекция основания ). Постройте проекцию биссектрисы треугольни-ка, проведённой из вершины, проти-волежащей основанию.
3. Постройте сечение тетраэдра PKMN плоскостью АВС, где А [pic] KM,
B [pic] PN, C [pic] PM.
Вариант 3.
1. Определите, может ли при парал-лельном проектировании квадрата получится
а) параллелограмм;
б) квадрат;
в) трапеция;
г) отрезок.
2. [pic] параллельная проекция равнобедренного треугольника ( АВ- проекция основания ). Постройте проекцию высоты треугольника, про-ведённой к основанию.
3. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью АВС.
Вариант 4.
1. Определите, может ли при парал-лельном проектировании прямо-угольной трапеции получится
а) параллелограмм;
б) квадрат;
в) трапеция;
г) отрезок.
2. [pic] параллельная проекция равнобедренного треугольника ( АВ- проекция основания ). Постройте проекцию перпендикуляра, проведен-ного из середины боковой стороны к основанию треугольника.
3. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение данного параллелепипеда плос-костью РКЕ, где Р [pic] ВВ1, К [pic] СС1
Е [pic] DD1.
Ответы.
Ответы.
Ответы.
Ответы.
1. а)
Да
1. а)
Да
1. а)
Да
1. а)
Нет
1. б)
Да
1. б)
Да
1. б)
Да
1. б)
Нет
1. в)
Нет
1. в)
Нет
1. в)
Нет
1. в)
Да
1. г)
Да
1. г)
Да
1. г)
Да
1. г)
Да
2.
-
2.
-
2.
-
2.
-
3.
-
3.
-
3.
-
3.
-
Контрольная работа № 4.
1. Прямые АВ, АС и АК попарно пер-пендикулярны. Найдите длину отрез-ка ВС, если АК= [pic] , КС= [pic] , КВ=с.
2. АВСD квадрат, ВМ [pic] (АВС). Най-дите отрезок DМ, если АВ= [pic] см, а ВМ=5см.
3. В [pic] треугольнике АВС угол С ра-вен 900, угол А равен 300. От верши-ны С к плоскости треугольника про-ведён перпендикуляр СК. АС=18см, СК=12см. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ.
Вариант 2.
1. Прямые АВ, АС и АК попарно пер-пендикулярны. Найдите длину отрез-ка АС, если ВК= [pic] , КС= [pic] , АВ=с.
2. СDЕК - квадрат со стороной, рав-ной 2 см., В D [pic] (С DЕ). Найдите расстояние от точки В до плоскости СDЕ, если ВК= [pic] см.
3. Прямая ЕК перпендикулярна к плоскости остроугольного треуголь-ника МКР. КН -высота треугольни-ка, равная 15 см. найдите расстояние от точки Е до прямой РМ, если КЕ=8 см.
Вариант 3.
1. Прямые АВ, АС и АК попарно пер-пендикулярны. Найдите длину отрез-ка СК, если АК= [pic] , ВС= [pic] , КВ=с.
2. Точка О –центр квадрата со сторо-ной [pic] см, ОА – отрезок, перпенди-лярный к плоскости квадрата и рав-ный 8 см. Найдите расстояние от точки А до вершин квадрата.
3. В [pic] треугольнике АВС угол С ра-вен 900, угол В равен 600. От верши-ны С к плоскости треугольника про-ведён перпендикуляр СК. АС=12см, СК=8см. Найдите расстояние от точ-ки К до прямой АВ.
Вариант 4.
1. Прямые АВ, АС и АК попарно пер-пендикулярны. Найдите длину отрез-ка ВК, если АВ= [pic] , ВС= [pic] , СК=с.
2. Точка О – пересечение диагоналей квадрата, со стороной [pic] см. ОА – отрезок, перпендикулярный к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если расстояние от точки А до вершин квадрата равно 10 см.
3. В [pic] треугольнике АВС стороны АС=АВ=20см и угол А равен 300. Длина перпендикуляра ВК к плос-кости треугольника равна 10см. Най-дите расстояние от точки К до пря-мой АС.
Ответ
Ответ
Ответ
Ответ
1.
[pic] .
1.
[pic]
1.
[pic]
1.
[pic]
2.
7 см
2.
8 см
2.
10 см
2.
6 см
3.
15см
3.
17 см
3.
10 см
3.
[pic] см
Контрольная работа № 5.
1. В перпендикулярных плоскостях [pic] и [pic] расположены соответственно точки А и В. К линии пересечения плоскостей проведены перпендику-ляры АС и ВК, причем АС=12 см, а ВК=15 см. Расстояние между точка-ми С и К равно 16 см. Вычислите длину отрезка АВ.
2. Из точки А к плоскости проведены две наклонные АВ и АС. Наклонная АВ равна 8см и образует с плоскостью угол 300. Какой угол образует с плоскостью наклонная АС, если её проекция на плос-кость равна 4см? [pic]
3. Двугранный угол равен 600. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на 6 [pic] см. Найдите рас-стояние от данной точки до второй гра-ни.
Вариант 2.
1. В перпендикулярных плоскостях [pic] и [pic] проведены перпендикуляры МС и КЕ к линии их пересечения – прямой СЕ. Вычислите длину отрезка СЕ, если МС=8 см, КЕ=9 см, МК=17см..
2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 6см, проведена наклонная, образующая с плоскостью угол 300. Най-дите длину наклонной и ее проекцию.. [pic]
3. Две плоскости пересекаются под углом 600. Точка на одной из них уда-лена от другой на расстоянии равном а [pic] см. Найдите расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей.
Вариант 3.
1. Из точек А и В, которые лежат в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВР на прямую пе-ресечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=4см, РС=4см, ВР=2см
2. . Из точки S к плоскости [pic] проведе-на наклонная SА. Найдите длину про-екции наклонной и расстояние от точки S до плоскости, если наклонная равна
6 см и образует с плоскостью угол 600.
3. Двугранный угол равен 450. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от второй грани на 5 [pic] см. Найдите рас-стояние от данной точки до ребра угла.
Вариант 4.
1. Из точек А и В, которые лежат в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВР на прямую пе-ресечения плоскостей. Найдите длину отрезка СР, если АВ=8см, АР=4см, ВС=7см.
2. Из точки, отстоящей от плоскости, проведена наклонная, образующая с плоскостью угол 450 . Найдите длину наклонной и расстояние от точки до плоскости, если проекция наклонной равна 4 см.
3. Плоскости [pic] и [pic] пересекаются по прямой с. Найдите угол между [pic] и [pic] , если точка, лежащая в плоскости [pic] , удалена от плоскости [pic] на 2 [pic] м, а от прямой с на 4м.
Ответы
Ответы
Ответы
Ответы
1.
25 см
1.
12
1.
6 см
1.
1 см
2.
450
2.
12см, [pic] см
2.
3 см. [pic] см.
2.
4 [pic] см, 4см.
3.
9 см
3.
2а см
3.
10 см.
3.
450.
Контрольная работа № 6.
1. Найдите на оси [pic] точки, которые удалены от точки А(4;-2;3) на рас-стояние 7.
2. Даны три вершины А(0;2;-3),
В(-1;1;1), С(2;-2;-1) параллелограмма АВСК. Найдите координаты четвер-той вершины К.
3. Дан треугольник АВС с вершина-ми А(11;-2;-9), В(2;6;-4), С(8;-6;-8).
а) Найдите координаты и модуль вектора [pic]
б) Докажите перпендикулярность векторов [pic] и [pic] .
в) Найдите косинус угла С треуголь-ника АВС.
Вариант 2.
1. Найдите на оси [pic] точки, которые удалены от точки А(-3;2;4) на рас-стояние 13.
2. Даны три вершины А(2;1;3),
С(-2;1;5), К(-1;2;1) параллелограмма АВСК. Найдите координаты четвер-той вершины В.
3. Дан треугольник АВС с вершина-ми А(2;2;2), В(2;2;0), С(2;0;2).
а) Найдите координаты и модуль вектора [pic]
б) Докажите перпендикулярность векторов [pic] и [pic] .
в) Найдите угол В треугольника АВС.
Вариант 3.
1. Найдите на оси [pic] точки, которые удалены от точки В(-4;2;-3) на рас-стояние 6.
2. Даны три вершины А(1;-2;7),
В(2;3;5), К(-1;3;6) параллелограмма АВСК. Найдите координаты четвер-той вершины С.
3. Дан треугольник АВС с вершина-ми А(6;-4;2), В(3;2;3), С(3;-5;-1).
а) Найдите координаты и модуль вектора [pic]
б) Докажите перпендикулярность векторов [pic] и [pic] .
в) Найдите угол С треугольника АВС.
Вариант 4.
1. Найдите на оси [pic] точки, которые удалены от точки К(-4;2;-3) на рас-стояние 7.
2. Даны три вершины А(1;4;2),
В(2;-1;5), С(0;-2;4) параллелограмма АВСК. Найдите координаты четвер-той вершины К.
3. Дан треугольник АВС с вершина-ми А(3;-2;1), В(-2;1;3), С(1;3;-2).
а) Найдите координаты и модуль вектора [pic]
б) Найдите скалярное произведение векторов [pic] и [pic] .
в) Найдите угол С треугольника АВС.
Ответы.
Ответы.
Ответы.
Ответы.
1.
(10;0;0), (-2;0;0).
1.
(0;14;0), (0;-10;0).
1.
(0;0;3), (0;0;-9)
1.
(-10;0;0), (2;0;0).
2.
К(3;-1;-3)
2.
В(1;0;7)
2.
(0;8;4)
2.
(-1;3;1)
3. а)
[pic] (6;-12;-4), [pic]
3. а)
[pic] (0;0;-2), [pic] =2
3. а)
[pic] (3;1;3), [pic]
3.а)
[pic] (-3;-2;5), [pic]
3. б)
[pic] (-9;8;5), [pic] (-3;-4;1)
-9 [pic]
3. б)
[pic] (0;0;-2), [pic] (0;-2;0)
0 [pic]
3. б)
[pic] (-3;6;1), [pic] (-3;-1;-3),
[pic]
3. б)
19
3. в)
[pic]
3. в)
450.
3. в)
[pic]
3. в)
600
