При вычислении процентов от некоторого числа удобно связывать проценты с представлением доли этого числа. Для некоторых процентов приведём таблицу соответствий.
(100 - a) (100 - b) = (100 – а) x 100 – 100 x b + ab =
= 100 ((100 – a) – b) + ab,
где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 100 соответственно.
Умножение чисел, близких к 1000
Пример:
987 x 996 = (987 – 4) x 1000 + 4 x 13 = 983052
Обоснование:
(1000 - a) (1000 - b) = (1000 – а) x 1000 – 1000 x b + ab =
= 1000 ((1000 – a) – b) + ab,
где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 1000 соответственно.
Корень квадратный в уме
Каким способом можно быстро извлечь корень квадратный из целого числа, имеющего в десятичной записи не более четырех знаков? Предполагается, что корень извлекается из данного числа нацело.
Алгоритм извлечения корня квадратного
Рассмотрим на примере [pic] .
Для нахождения произведем следующие действия:
1) десятичную запись числа 273529 разобьем на группы по две цифры, начиная справа;
2) для старшей группы, образующей число 27, подберем такую цифру, чтобы ее квадрат был наибольшим, но не превосходил числа 27; такой цифрой будет 5, ее запишем в качестве первой цифры ответа;
3) из старшей группы цифр вычтем найденный в предыдущем пункте квадрат первой цифры ответа и к полученной разности 27 – 25 = 2 припишем, справа следующую группу цифр 35; получим число 235;
4) удвоив записанное в ответе число 5, припишем справа такую цифру , чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 235; такой цифрой будет 2 (ибо 102 x 2 = 204 < 235, но 103 x 3 = 309 > 235), ее и запишем в качестве второй цифры ответа;
5) из числа 235 вычтем найденное в предыдущем пункте произведение 204 и к остатку 31 снесем следующую группу цифр 29; получим число 3129;
6) удвоив записанное в ответе число 52, припишем, справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 3129; такой цифрой будет 3 (ибо 1043 x 3 = 3129), ее и запишем в качестве третьей цифры ответа;
7) разность между снесенным числом 3129 и полученным в предыдущем пункте произведением равна 0, поэтому корень квадратный из числа 273529 извлекается нацело и равен записанному в ответе числу 523.
Признак делимости - алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.
Как правило, признаки делимости применяются при устном счёте.
Признаки делимости в десятичной системе счисления
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (так как все числа вида 10n при делении на 3 дают в остатке единицу).
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится на 4.
Чтобы узнать, делится ли двузначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам — если сумма делится на 2, значит, число делится на 4. Например, 92: 9 + 1 = 10, значит, 92 делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).
Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую… Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули, или образуют число, которое делится на 8.
Чтобы узнать, делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например, 952: 95 + 1 = 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих чётные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нёчетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих чётные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится.
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 18
Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 2.
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 20
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.
Признак делимости на 21
Число делится на 21 тогда и только тогда, когда оно делится на 7 и на 3.
Признак делимости на 22
Число делится на 22 тогда и только тогда, когда оно делится на 11 и на 2.
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 — очевидно, делится на 23).
Признак делимости на 24
Число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 8 и на 3.
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (то есть последние две цифры образуют 00, 25, 50 или 75).
Признак делимости на 26
Число делится на 26 тогда и только тогда, когда оно делится на 13 и на 2.
Признак делимости на 28
Число делится на 28 тогда и только тогда, когда оно делится на 7 и на 4.
Признак делимости на 30
Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно делится на 10 и на 3.
Признак делимости на 33
Число делится на 33 тогда и только тогда, когда оно делится на 11 и на 3.
Признак делимости на 99
Разобьём число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьём число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём алгебраическую сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел m и n называется их общий делитель d (то есть [pic] и [pic] ), который делится на любой другой общий делитель m и n.
Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Наибольший общий делитель существует и однозначно определён (с точностью до знака), если хотя бы одно из чисел m или n не ноль. Эффективным способом его вычисления является алгоритм Евклида.
Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел m и n (из двух возможных значений наибольшего общего делителя, отличающихся знаком, выбирается одно, положительное):
(m, n)
НОД(m, n)
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n — это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n. Обычно обозначается [m, n], а иногда НОК(m, n).
НОК для ненулевых чисел m, n всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:
[pic]
Это частный случай более общей теоремы:
Если [pic] — ненулевые числа, тогда
[pic]
Взаимно простые числа
Числа m и n называются взаимно простыми, если НОД(m,n) = 1.
Способы обозначения концентрации раствора в прописи рецепта.
В рецепте объемная и массообъемная концентрация веществ в прописи рецепта могут быть обозначены в процентах (1) и (2):
Rp: Sol. Acidi hydrochlorici 2% - 200ml (1)
Rp: Sol. Natrii bromidi 2% - 200 ml (2)
И с указанием соотношения массы или объема лекарственного средства (вещества) и объема растворителя (3) и (4):
Rp: Sol. Acidi hydrochlorici ex 1: 50 - 200ml (3)
Rp: Sol. Natrii bromidi ex 1: 50 - 200 ml (4)
Практическая работа №1
Задача № 1
Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для чисел 272 и 16250
Решение:
Разложение на простые множители
[pic]
2
2
2
2
17
1
[pic]
16250 2
5
5
5
5
13
1
Запись числа
272 = 2*2*2*2*17 = 24*171 = 24*50*130*171
16250 = 2*5*5*5*5*13 = 21*54*131 = 21*54*131*170
[a,b] = 24*54*131*171
(а,b) = 21 = 2
Задача № 2
В аптеку поступил рецепт.
Rp: Раствор калия хлорида 4% - 150 ml
D.S.
Определите массу сухого вещества.
Решение:
V р-ра = 150 ml
mвещества = х
4,0 калия йодида будет содержаться в 100 ml раствора, а
Х г калия йодида ----- в 150 ml раствора.
4 ∙ 150
х = −−−−− = 6,0 калия хлорида.
Ответ: 6,0 г
Задача №3.
В аптеку поступил рецепт.
Rp: Раствор калия хлорида 2:50 - 150 ml
D.S.
Определите массу сухого вещества.
Решение.
V р-ра = 150 ml
mвещества = х
50 ml раствора содеожит 2,0 калия хлорида, а
В 150 ml - х
150 ∙ 2,0
Х = −−−−−−−− = 6,0 калия хлорида.
50
Ответ: 6,0 г
Задачи для самостоятельной работы
1. В аптеку поступил рецепт.
Rp: Раствор глюкозы (1:10) - 150 ml
M.D.S. По 1 дес.л. 3 раза в день.
Рассчитайте массу сухого вещества, которая пойдет на приготовления раствора данной концентрации.
2. Для удобства и быстроты работы фармацевта в аптеке используется внутриаптечная заготовка концентрированного раствора магния сульфата 25% - 2,5л.
Рассчитайте массу сухого вещества, которая пойдет на приготовления раствора данной концентрации.
3. В аптеку поступил рецепт.
Rp: Раствор калия йодида (1:50) - 150 ml
M.D.S. По 1 дес.л. 3 раза в день.
Рассчитайте массу сухого вещества, которая пойдет на приготовления раствора данной концентрации.
4. В аптеку поступил рецепт.
Rp: Раствор натрия бромида 3%-200 ml
M.D.S. По 1 дес.л. 3 раза в день.
Рассчитайте массу сухого вещества, которая пойдет на приготовления раствора данной концентрации.
5. В аптеку поступил рецепт.
Rp: Раствор кальция хлорида 20,0 – 400 ml
M.D.S. По 1 дес.л. 3 раза в день.
Рассчитайте концентрацию данного раствора.
Ответы пр. р. №1:
15,0 г.
625,0 г
3,0 г
6,0
5%
Тема 1. 3.
Приближенные вычисления.
Требования к знаниям:
Требования к умениям:
находить абсолютную и относительную погрешность;
определять результаты вычислений по правилам подсчета цифр.
записывать любое положительное число в стандартном виде.
Общие сведения
Приближенные вычисления
Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого (например, семизначная таблица логарифмов при вычислениях с числами, имеющими 5 верных значащих цифр - избыточна). Твёрдое знакомство с правилами приближенных вычислений необходимо каждому, кому приходится вычислять.
Погрешности
Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < А, то величина А называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Отношение А / a = В называется предельной относительной погрешностью; последнюю часто выражают в процентах.
Пример:
3,14 является приближенным значением числа Р, погрешность его равна 0,00159..., предельную абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а предельную относительную погрешность равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%. Для краткости обычно слово предельная опускается.
Значащие цифры
Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные.
Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524*102 или 0,524/105. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчете значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.
Примеры:
Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна d/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.
Действия над приближенными числами
Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Погрешность результата может быть выражена через погрешности первоначальных данных при помощи следующих теорем:
Т1: «Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых»
Т2: «Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых»
Т3: «Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя»
Т4: «Относительная погрешность n-ой степени приближенного числа в n раз больше относительной погрешности основания (как у целых, так и для дробных n)»
Пользуясь этими теоремами, можно определить погрешность результата любой комбинации арифметических действий над приближенными числами.
Предельная абсолютная погрешность заведомо превосходит абсолютную величину истинной погрешности, поскольку предельное значение вычисляется в предположения, что различные погрешности усиливают друг друга; практически это бывает редко. При массовых вычислениях, когда не учитывают погрешность каждого отдельного результата, пользуются следующими правилами подсчета цифр.
При соблюдении этих правил можно считать, что в среднем полученные результаты будут иметь все знаки верными, хотя в отдельных случаях возможна ошибка в несколько единиц последнего знака.
При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков.
При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.
При возведении в квадрат или куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближённое число ( последняя цифра квадрата и особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания ).
При увеличении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое значение подкоренного числа (последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надёжна, чем последняя цифра подкоренного числа).
Во всех промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается.
Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя, лишь одну лишнюю цифру.
Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с K цифрами данные следует брать с таким числом цифр, какое даёт согласно правилам 1-4(К+1) цифру в результате.
Округление - математическая операция, позволяющая уменьшить количество знаков в числе за счёт замены числа его приближённым значением с определённой точностью.
Методы округления
В разных сферах могут применяться различные методы округления. Во всех этих методах «лишние» знаки обнуляют (отбрасывают), а предшествующий им знак корректирует по какому-либо правилу.
Округление к ближайшему целому - наиболее часто используемое округление. Число в десятичной системе округляют до N-ого знака в зависимости от N+1 знака:
* если N+1 знак < 5, то N-ый знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;
* если N+1 знак ≥ 5, то N-ый знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют.
Например: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
Использование округления
Округление используется для нескольких целей:
удобство работы с круглыми числами (в случае, если точное значение числа не важно, проще использовать круглые числа)
указание на точность измерения.
Правила приготовления сложных порошков.
При приготовлении сложных порошков необходимо, прежде всего, затереть поры ступки. Для этого используют индифферентное вещество (глюкоза, сахар), если они прописаны в рецепте. Если же таких веществ нет, то поры ступки затирают веществом, имеющим наименьшие относительные потери при растирании. Относительные потери находят по формуле:
Абсол.п ∙ 100%
Отн.п = −−−−−−−−−−−−−−− ;
m вещества
Абсолютные потери – приложение 6.
M вещества – это общая масса вещества, выписанная в рецепте.
Практическая работа №2
Задача №1.
В аптеку поступил рецепт на порошки по прописи:
Rp: Кофеин натрия бензоат 0,5
Анальгин 2,5
Смешай, пусть будет сделан порошок.
Раздели на равные части №10
Обозначь:
Рассчитайте относительные потери для сухих веществ в процентах.
Дано в задаче:
mкоф.бенз.натрия = 0,5
mанальгина = 2,5
Абсол.потери – (приложение 6)
Решение.
0,016 ∙ 100%
Отн.п.коф.бенз.натрия = −−−−−−−−−−−− = 3,2%
0,5
0,022 ∙ 100%
Отн.п.анальгина = −−−−−−−−−−− = 0,88%
2,5
Ответ: 3,2%, 0,88%.
Задача № 2.
В аптеке был проведен химический анализ раствора натрия хлорида 0,9% - 200мл. Для этого в колбу отмерили 1 мл раствора натрия хлорида 0,9%, добавили 1 мл воды дистиллированной, 1 каплю индикатора и оттитровали раствор нитратом серебра 0,05н концентрацией. На титрование ушло 3,15 мл серебра. Проведите расчеты, округлите полученный результат до десятых значений.
Решение:
Расчеты анализа:
C% = Тсоотв.* VAgNO3 * KAgNO3 * 100/ VNaCl;
Дано:
ТAgNO3/NaCl– 0,0028536 (приложение №4)
VAgNO3 – 3,15ml;
K AgNO3 – 0,898884 (приложение №5)
VNaCl – 1 ml;
C% = ТAgNO3/NaCl * VAgNO3 * KAgNO3 * 100/ VNaCl
= 0,0028536 * 3,15мл * 1 * 100/ 1мл
= 0,898884 ≈ 0,9 %
Ответ: ≈ 0,9 %
Задача №3.
Рассчитайте стоимость 1 упаковки таблеток «Кислота Ацетилсалициловая», если цена 1 упаковки у завода-производителя равна была 10,15р. Оптовая фирма при продаже сделала наценку 10%, а аптека сделала наценку 13,45%.
Полученный ответ округлите до сотых.
Решение.
Сумма наценки = 10% + 13,45% = 23,45%
10,15 - 100%
Х - 123,45%
10,15 ∙ 123,45%
Х = −−−−−−−−−−−−− = 12,5301 р
100%
Ответ: ≈ 12,53р.
Задачи для самостоятельной работы
Задача № 1.
В аптеке был проведен химический анализ раствора натрия бромида 2% - 100мл. Для этого в колбу отмерили 1 мл раствора натрия бромида, добавили 1 мл уксусной кислоты, 1 каплю индикатора и оттитровали раствор нитратом серебра 0,05н концентрацией. На титрование ушло 4,3 мл серебра. Проведите расчеты, округлите полученный результат до сотых значений.
Задача № 2.
В аптеке был проведен химический анализ раствора соляной кислоты 8,3% - 100мл. Для этого в колбу отмерили 2 мл раствора соляной кислоты, добавили 1 каплю индикатора и оттитровали раствор гидроксидом натрия 1н концентрацией. На титрование ушло 5,5 мл гидроксида натрия. Сделайте расчеты, округлите полученный результат до сотых значений.
Задача №3.
В аптеке был проведен химический анализ раствора тиосульфата натрия 3% - 100мл. Для этого в колбу отмерили 1 мл раствора тиосульфата натрия, добавили 1 каплю индикатора и оттитровали раствором йода с К=1. На титрование ушло 1,21 мл йода. Сделайте расчеты, округлите полученный результат до сотых значений.
ТI2/Na2S2O3 – смотри приложение №4;
Задача №4.
В аптеке был проведен химический анализ раствора сульфацила натрия 7% - 100мл. Для этого в колбу отмерили 1 мл раствора сульфацила натрия, добавили 2 мл соляной кислоты, 2 мл раствора калия бромида, 2-3 капли индикатора и оттитровали раствором нитрита натрия (К = 1). На титрование ушло 3 мл нитрита натрия. Сделайте расчеты, округлите полученный результат до десятых значений.
ТNaNO2/ сульфацил натрия– смотри приложение №4;
Задача № 5
В аптеку поступил рецепт на порошки по прописи:
Rp: Магния оксид 2,5
Висмут субнитрат 2,5
Смешай, пусть будет сделан порошок.
Раздели на равные части №10
Обозначь:
Рассчитайте относительные потери сухих веществ в процентах. Данные округлить до сотых.
Задача № 6
В аптеку поступил рецепт на порошки по прописи:
Rp: Фталазол 5,5
Норсульфазол 2,3
Стрептоцид 1,5
Смешай, пусть будет сделан порошок.
Обозначь:
Рассчитайте относительные потери сухих веществ в процентах. Данные округлить до десятых.
Задача №7
В аптеку поступил рецепт на порошки по прописи:
Rp: Амидопирин 2,2
Анальгин 4,9
Кислота ацетилсалициловая 2,7
Смешай, пусть будет сделан порошок.
Раздели на равные части №10
Обозначь:
Рассчитайте относительные потери сухих веществ в процентах. Данные округлить до десятых.
Задача №8.
В аптеке 1 упаковка Арбидола стоила 178,10р. Определите стоимость препарата у завода-производителя, если известно, что аптека за партию товара (10500 уп) заплатила 1 496040,00р. Какую наценку сделала аптека?
Задача № 9
Рассчитайте стоимость 1 упаковки таблеток «ампициллина», если цена 1 упаковки у завода-производителя равна была 32=55. Оптовая фирма при продаже сделала наценку 12,35%, а аптека сделала наценку 11,84%.
Полученный ответ округлите до сотых.
Тема 1.4.
Проценты и пропорции.
Требования к знаниям:
Требования к умениям:
находить неизвестный член пропорции;
находить процент числа;
находить число по его проценту;
решать задачи на составление и решение пропорции.
Общие сведения
Процент — одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг. Справедливо также утверждение, что 200 % от 500 кг является 1000 кг. Поскольку по отношению к половине тонны, тонна соответствует 2×100 %.
[pic] Соотношение процентов и десятичных дробей
0 % = 0;
0,07 % = 0,0007;
45,1 % = 0,451;
100 % = 1;
200 % = 2.
Пропорция (лат. proportio — соразмерность, выровненность частей), равенство отношений числовых величин, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство [pic] (часто читается как: «a относится к b так же, как c относится к d»). Если a : b = c : d, то a и d называют крайними, а b и c — средними членами пропорции.
[pic] Основные свойства пропорций
Обращение пропорции. Если a : b = c : d, то b : a = d : c
Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d, то ad = bc.
Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d, то
a : c = b : d (перестановка средних членов пропорции),
d : b = c : a (перестановка крайних членов пропорции).
Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d, то
(a + b) : b = (c + d) : d (увеличение пропорции),
(a – b) : b = (c – d) : d (уменьшение пропорции).
Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d, то
(a + с) : (b + d) = a : b = c : d (составление пропорции сложением),
(a – с) : (b – d) = a : b = c : d (составление пропорции вычитанием).
Массовая доля растворенного вещества
Массовая доля растворенного вещества ω — это отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора:
m
ω = −−− ,
m1
где m — масса растворенного вещества;
m1 — общая масса раствора.
Массовую долю растворенного вещества обычно выражают в долях единицы (или в процентах):
m
ω = −−− ∙100%;
m1
Так, 20%-м раствором хлорида калия называют раствор, в котором на каждые 100 единиц массы раствора приходится 20 единиц массы КС1 (массовая доля равна 0,2).
Пример.
Определите массовую долю (%) хлорида калия КС1 в растворе, если 50 г КС1 растворено в воде массой 200 г.
Решение.
Общая масса раствора КС1 равна m1 = 200 + 50 = 250 г.
Подставляя известные значения в формулу, получаем
m 50
ω = −−− ∙100%; ω = −−−−− ∙ 100% = 20%.
m1 250
Практическая работа № 3
Тип задачи 1.
Определение процента от числа
Найти: 25% от 120.
Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.
Ответ: 30.
Тип задачи 2.
Определение числа по известной его части, выраженной в процентах
Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или:
х - данное число;
0,15.х = 300;
х = 200.
Ответ: 200.
Тип задачи 3.
На сколько процентов 10 больше 6?
На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%
3.3 Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?
Решение:
Пусть цена товара х руб.
1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х - 0,25.1,25х = 0,9375х
3) х - 0,9375х = 0,0625х
4) 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
3.4 Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение:
1) 22 * 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.
Ответ: 2,5 кг.
Тип задачи 4.
При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "% - й раствор". Поэтому предлагаю задачи на эти понятия.
Процентное содержание. Процентный раствор.
4.1 Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение:
10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.
4.2 Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:
Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Концентрация.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.
Пример.
Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Сколько чистого серебра в сплаве?
Решение:
300 . 0,87 = 261 (г).
Ответ: 261г.
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах. Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты. Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина. Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: К=р/100% (к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в процентах)).
Типовые задачи по химии
Задача №1
При пропускании оксида углерода(1V) через раствор гашеной извести массой 18,5 г с массовой долей 20% выпавший вначале осадок растворился. Вычислите массу образовавшейся соли и объем (н.у.) газа, необходимый для полного растворения осадка.
Решение.
1. Напишем уравнения происходящих реакций:
Са(ОН)2 + С02 → CaC03↓ + Н20 (1)
Образовался осадок белого цвета СаС03, который через некоторое время исчезает за счет образования растворимой соли гидрокарбоната кальция Са(НС03)2;
СаС03 + Н20 + С02 → Са(НС03)2 (2)
Суммируя уравнения реакций (1) и (2), получаем
Са(ОН)2 + 2С02 → Са(НС03)2 (3)
2. Находим массу Са(ОН)2:
m
ω = −−− ∙100%;
m1
m1 ∙ ω 18,5 ∙ 20%
m = −−−−−− = −−−−−−−−−− = 3,7г.
100% 100%
3. По уравнению реакции (3) вычисляем массу образовавшейся соли Са(НС03)2:
Масса молекулы Са(ОН)2 - приложение 1;
Масса молекулы Са(НС03)2 – приложение 1.
на 74 г Са(ОН)2 приходится 162 г Са(НС03)2
на 3,7 г Са(ОН)2 ------------ х г Са(НС03)2
х = 3,7∙ 162 / 74;
х = 8,1 г
и объем С02:
на 74 г Са(ОН)2 приходится 2 • 22,4 л С02
на 3,7 г Са(ОН)2 ------------- х л С02
х = 3,7 ∙ (2 ∙ 22,4) / 74;
х = 2,24 л.
Задача №2.
При разложении некоторого вещества массой 22,2 г получился оксид меди (П) массой 16 г и оксид углерода (IV) объемом 2,24 л (н.у.). Выведите формулу взятого вещества.
Решение.
Сопоставим массы вступившего в реакцию вещества и веществ, полученных после реакции:
m(СuО) + m(С02) = 16 г + 4,4 г = 20,4 г.
Разность массы вступившего в реакцию вещества и массы полученных веществ составляет 22,2 г — 20,4 г = 1,8 г. Следовательно, образовалось еще вещество массой 1,8 г, а значит разложению подвергалась не средняя соль угольной кислоты состава CuC03, а основная — (СuОН)2С03 — малахит, дигидроксокарбонат меди (П).
Проверим высказанное предположение:
22,2 г 16 г 4,4 г 1,8 г
(СuОН)2С03 → 2СuО + С02 + Н20
Находим молярную массу малахита по любому из образующих веществ:
на 22,2 г (СuОН)2С03 приходится 1,8 г Н20
на х г 18 гН20
х=222г.
Таким образом, А/(СиОН)2С03 = 222 г/моль.
Ответ: 222 г/моль.
Задача №3.
Какая соль образовалась и в каком количестве, если 5,5 мл 40%-го раствора фосфорной кислоты (плотность 1,115 г/см3) поглотили 1,12 л аммиака?
Решение.
1. Определяем массу фосфорной кислоты в 5,5 мл 40%-го раствора:
m
ω = −−− ∙100%;
m1
m1 ∙ ω (5,5 ∙ 1,115)г ∙ 40%
m = −−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−− =2,45г.
100% 100%
2. Фосфорная кислота трехосновная, поэтому может образовывать с аммиаком три ряда солей:
Н3Р04 + NH3 → NH4H2P04 (1)
дигидрофосфатаммония
Н3Р04 + 2NH3 → (NH4)2HP04 (2)
гидрофосфат аммония
Н3Р04 + 3NH3 → (NH4)3P04 (3)
фосфат аммония
3. Предположим, что взаимодействие прошло по реакции (1), тогда:
Масса молекулы Н3Р04 – приложение 1
98 г Н3Р04 взаимодействуют с 22,4 л NH3
х г Н3Р04 с 1,12 л NH3
98 ∙ 1,12
Х = −−−−−−−−− = 4,9,
22,4
а в реакцию вступило только 2,45 г; следовательно, для образования ди-гидрофосфата аммония не хватит фосфорной кислоты.
4. Предположим, что взаимодействие прошло по реакции (2), тогда:
98 г Н3Р04 взаимодействуют с 2 • 22,4 л аммиака
Х г Н3Р04 — с 1,12 л аммиака
98 ∙ 1,12
Х = −−−−−−−−− = 2,45,
2 ∙ 22,4
следовательно, образовалась соль гидрофосфат аммония.
5. Определяем массу соли, образованной по реакции (2):
на 98 г Н3Р04 приходится 132 г (NH4)2HP04
на 2,45 г Н3Р04 х г (NH4)2HP04
х=3,3г.
Таким образом, была получена соль гидрофосфат аммония массой 3,3 г.
Ответ: получена соль гидрофосфат аммония массой 3,3 г
Задача № 4.
При кипячении 5,35 г хлорида аммония с порошком магния выделился газ. Каков объем образовавшегося газа?
Решение.
1. При кипячении NH4C1 происходит гидролиз соли по уравнению
NH4C1 + НОН → NH4OH + НС1
2. Полученная хлороводородная кислота вступила в реакцию с Mg:
2НС1 + Mg → MgCl2 + Н2
3. Определяем массу кислоты, образовавшейся по первому уравнению реакции:
на 53,5 г NH4C1 приходится 36,5 г НС1
нa 5,35 г NH4Cl х г НС1
х = 3,65г.
4. Определяем объем выделившегося газа по второму уравнению реакции:
на 2 • 36,5 г НС1 приходится 22,4 л Н2
на 36,5 г НС1 х л Н2
х = 1,12 л Н2.
Таким образом, выделилось 1,12 л водорода.
Ответ: выделилось 1,12 л водорода.
Задача № 5
Рассчитайте необходимое количество заготовленного свежего сырья травы пустырника, чтобы получилось 100 кг сухого сырья травы пустырника.
Решение.
Для решения этой задачи необходимо знать массу сырья после сушки в процентах (приложение 3). У травы пустырника это значение равно 25%. Следовательно, 100 кг сухого сырья это 25% от общей массы свежего сырья. Поэтому составляем пропорцию:
100 кг сырья ---- 25% 100 ∙ 100
Х кг сырья ---- 100% х = −−−−−−−−− = 400,0 кг
25
Ответ: 400,0 кг травы пустырника необходимо заготовить, чтобы получилось 100,0кг сухого сырья.
Задачи для самостоятельной работы
Найти 14% от 84.
Найти число, если 12% его составляют 9,03.
Цена товара 64 руб. После снижения цен товар стал стоить 57 руб. На сколько процентов снижена цена.
При продаже товара за 1548 руб. получено 20% прибыли. Определить себестоимость товара.
Свежие фрукты содержали 72%, а сухие - 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?
Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве было 40% меди?
имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?
Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%. Вкладчик внес в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года?
Площадь прямоугольника равна 100 см2. Одна сторона прямоугольника уменьшилась на 16,4%, вторая увеличилась на 25%. Найти площадь нового прямоугольника.
Сколько получится сухого сырья плодов черемухи, если в аптеке заготовили 232 кг свежих плодов черемухи.
Тема 1.5.
Линейные уравнения
Требования к знаниям:
Требования к умениям:
Общие сведения
Равенство с одной переменной называется уравнением с одной переменной, если нужно найти те значения переменной, при которых получается истинное высказывание (верное числовое равенство)
Линейное уравнение — это уравнение, обе части которого могут быть выражены многочленами (от неизвестных) первой степени.
Линейное уравнение можно привести к виду: ax + b = 0. Количество решений зависит от параметров a и b.
Если a = b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку [pic]
Если [pic] , то уравнение не имеет решений, поскольку [pic]
Если [pic] , то уравнение имеет единственное решение [pic]
Решение линейного уравнения основано на 2 теоремах:
Т1: Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число, то получается уравнение, равносильное данному
Т2: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число неравное нулю, то получится уравнение равносильное данному.
Практическая работа № 4.
Решение линейных уравнений
¼ х +3/8 = 0
Из обеих частей уравнения вычтем одно и тоже число
¼ х = - 3/8
х = -3/8 / ¼
х = -3/2
2.
2-5х 6х – 4
6 - 2х - ------- = -------
3 5
Приведем дроби к общему знаменателю и умножим обе части уравнения на одно и тоже число
90-30х-5(2-5х)=3(6х-4)
Приведем подобные члены
90-30х-10+25х=18х-12
-30х+25х-18х=-12-90+10
-23х=-92
х=4
Ответ: х=4
Задача № 3
Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение:
Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава.
Тогда получим (20 + х) кг нового сплава.
В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра.
Составим уравнение:
8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);
х = 13 1/3.
Ответ:
13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.
Задача № 4
К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
Решение.
Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли.
Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержится 0,8 . (15 + х) л соли.
В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли. Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.
Ответ:
добавили 10 л 5%-ного раствора.
Задача № 5
Сплав олова и меди массой 32 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы в новом сплаве содержалось 60% олова?
Решение:
Обозначим за х кг -массу олова, добавленную к исходному сплаву.
(32+х) кг – масса нового сплава, который содержит 60% олова и 40 % меди.
Исходный сплав содержит 55% олова и 45% меди
Получим уравнение:
0,45*32=0,4*(32+х)
0,45*32
---------- = 32+х
0,4
х = 4 кг
Ответ: 4 кг.
Задачи для самостоятельной работы
Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?
Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра?
Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?
Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа.
Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг нового сплава, содержащего 10% олова?
Тема 1. 6.
Системы линейных уравнений.
Требования к знаниям:
Требования к умениям:
находить определители матриц второго и третьего порядка;
решать задачи на составление и решение системы линейных уравнений с помощью определителей.
Решать системы линейных уравнений методом Гаусса
Общие сведения
Линейное уравнение – это уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько линейных уравнений относительно одних и тех же неизвестных образуют систему линейных уравнений. Решением системы называют набор чисел c1, c2, ..., cn, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных.
Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система).
Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:
[pic] (1)
где a11, a12, a21, a22, b1, b2— какие-либо числа.
Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:
[pic] ,
[pic] ;
здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель
[pic] отличен от нуля.
В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b1, b2; в выражении для первого неизвестного x1 заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x2 — второй.
Аналогичное правило применимо и при решении любой системы линейных уравнений с n - неизвестными, т. е. системы вида:
[pic] (2)
здесь aij и bi (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b1, b2, ..., bn называют обычно свободными членами.
Если определитель D системы (2), составленный из коэффициентов aij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k (k = 1, 2, ..., n) неизвестное x k равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b1, b2, ..., bn.
Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.
Если все bi = 0 (систему называют в этом случае однородной), то при D=0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все xk = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы линейных уравнений с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:
[pic] (3)
Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:
x1 : x2 : ... : xn = D1 : D2 : ... : Dn,
где Dn — умноженный на ( — 1)k определитель, полученный из матрицы коэффициентов aij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей Di отличен от 0).
Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.
Общая система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:
[pic] (4)
Вопрос о совместности системы линейных уравнений (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц
[pic]
и
[pic]
Если ранги совпадают, то система совместна;
Если ранг матрицы В больше ранга матрицы А, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли).
[pic]
Матричная форма
Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:
[pic]
или:
Ax = B.
Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.
Методы решения
Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Описание метода
Пусть исходная система выглядит следующим образом
[pic]
Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
[pic]
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [pic] .
Тогда переменные [pic] называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число [pic] , где i > r, то рассматриваемая система несовместна.
Пусть, что [pic] для любых i > r.
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом [pic] ( [pic] , где [pic] — номер строки):
[pic] ,
где [pic]
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
Следствия:
1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.
2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.
Описание метода
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
[pic]
с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде
[pic]
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
[pic]
В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом.
Пример
Система линейных уравнений:
[pic]
Определители:
[pic]
Решение:
[pic]
Пример:
[pic]
Определители:
[pic]
[pic]
Закон Авогадро — одно из важных основных положений химии, гласящее, что «в равных объёмах различных газов, взятых при одинаковых температуре и давлении, содержится одно и то же число молекул».
Первое следствие из закона Авогадро: один моль любого газа при одинаковых условиях занимает одинаковый объём.
В частности, при нормальных условиях, т.е. при 0°С (273К) и 101,3 кПа, объём 1 моля газа, равен 22,4 л/моль. Этот объём называют молярным объёмом газа Vm.
Практическая работа №5
Решение систем линейных уравнений
Метод Крамера
[pic]
3х+4у=18
2х+5у=19
Вычислим определитель
[pic] [pic] 4
∆ = = 3*5-2*4=7≠0 → система имеет единственное решение
2 5
[pic] [pic] [pic] [pic] 18 4 3 18
19 5 18*5-4*19 2 19 3*19-2*18
х = -------------- = --------------- = 2; у = ---------------- = ------------------ = 3
7 7 7 7
Ответ: х=2; у=3.
Типовые задачи по химии
Задача №1.
Смесь солей NaCl и КС1 массой 64 г обработали горячей концентрированной серной кислотой. Общая масса полученных в результате этого сульфатов оказалась равной 76 г. Какова массовая доля (%) NaCl и КСl в смеси?
Решение:
Примем массу NaCl в смеси за х, массу КС1 за у, тогда получим первое уравнение системы: х + у = 64 г. (1)
Реакции хлоридов с концентрированной серной кислотой проходят по уравнениям
2NaCl(TB.) + H2S04(kohц.) = Na2S04 + 2HC1↑
2КС1(тв.) + H2S04(kohц.) = K2S04 + 2HC1↑
Масса молекулы NaCl, КС1, Na2S04, K2S04 (приложение №1).
Из уравнений реакций мы видим что,
из 2молекул • 58,5 г NaCl образуется 142 г Na2S04
из х г NaCl ------------ а г Na2S04
2 ∙ 58,5а =142х ;
а = 142х/117;
а = 1,214х.
из 2 молекул • 74,5 г КС1 образуется 174 г K2S04
из у г KCl ------------- б г K2S04
2∙ 74,5б = 174у;
б = 174у/149;
б = 1,168у.
Следовательно, второе алгебраическое уравнение имеет вид 1,214х+1,168у=76. (2)
Решаем полученную систему уравнений
( [pic] 1) х + у = 64
(2) 1,214х + 1,168у = 76,
х = 27, у = 37,
определим массовую долю КС1 и NaCl в смеси:
m
ω = −−− ∙100%;
m1
27
ω (NaCl) = −−− ∙ 100% = 42,1875%≈42,2%;
64
37
ω (NaCl) = −−− ∙ 100% = 57,8125%≈57,8%.
64
Ответ: 42,2%; 57,8%.
Задача №2
При действии азотистой кислоты на 12,2 г смеси этиламина и аланина выделилось 4,48 л азота (н.у.). определите массовую долю (%) веществ в смеси.
Решение:
CH3 – CH2NH2 + HNO2 →CH3 – CH2OH + N2 + H2O (1)
ЭТИЛАМИН
СH3 – CH – COOH + HNO2 → CH3 – CH – COOH + N2 + H2O (2)
[pic] [pic]
NH2OH
Аланин
Пусть масса этиламина – х гр, тогда масса аланина составит (12,2 – х) г. Определяем объем азота, выделившегося при взаимодействии HNO2 с х г. этиламина:
Масса молекулы этиламина, аланина (приложение 1)
45 г этиламина выделяют 22,4 л азота
х г этиламина - у л азота
22,4х = 45у;
у = 22,4х/45. (1)
Определим объем азота, выделившегося при взаимодействии с (12,2 - х) г аланина:
89 г аланина выделяют 22,4 л азота
(12,2 – у) г аланина -- с л азота
(12,2 – у) ∙ 22,4 = 89с;
с = (12,2 – у) ∙ 22,4 / 89.
Зная, что х + с = 4,48 л азота, составляем уравнение с одним неизвестным:
22,4х (12,2 – у) ∙ 22,4
−−−− + −−−−−−−−−−−− = 4,48, х = 5,7
89
Следовательно, в смеси 5,7 г этиламина, аланина (12,2 – 5,7 ) = 6,5 г;
Т.е. массовая доля этиламина в смеси равна :
m
ω = −−− ∙100%;
m1
5,7
ω (этиламина) = −−−− ∙ 100% = 46,7%;
12,2
6,5
ω (аланина) = −−−−− ∙ 100% = 53,3%.
12,2
Ответ: 46,7%; 53,3%.
Задача №3
На 18 г сплава меди, серебра и золота подействовали концентрированной азотной кислотой с массовой долей кислоты 60 % (плотность 1,39 г/см3), при этом выделилось 6,72 л газа (н.у.). Определите массовую долю (%) металлов в сплаве. Сколько миллилитров кислоты было израсходовано на растворение сплава?
Решение.
1. Записываем уравнения реакций металлов сплава с концентрированной азотной кислотой:
Сu + 4HN03 → Cu(N03)2 + 2N02 + 2Н20 (1)
[pic] Ag + 2HN03 → AgN03 + N02 + H20 (2)
Au + HN03 →
2. На основе этих реакций вычисляем:
а) массу меди и серебра, входящих в состав сплава:
масса молекулы сплава (Сu + Ag) – приложение 1;
3 ∙ 22,4 л азота - 2N02 + N02 в уравнение (1) и (2).
на (64 + 108) г Сu, Ag приходится 3 ∙ 22,4 л N02
на х г Сu, Ag — 6,72 л N02
3 ∙ 22,4х = (64 + 108)∙ 6,72;
Х =(64 + 108)∙ 6,72 / 67,2;
х=17,2г;
б) объем 60%-го раствора азотной кислоты, израсходованного на растворение меди и серебра:
6 • 63 г HN03 - 4HN03 + 2HN03 в уравнении (1) и (2);
Масса молекулы HN03 – приложение 1.
на 6 • 63 г HN03 приходится 3 • 22,4 л N02
на х г HN03 - 6,72 л N02
х= 37,8 г HN03,
тогда масса 60%-го раствора азотной кислоты составит:
m
ω = −−− ∙100%;
m1
m ∙ 100% 37,8 ∙ 100 m 63
m1 = −−−−−−−− = −−−−−−−−−− = 63; V = −−−−− = −−−−− = 45.3 мл.
ω 60% ρ 1.39
3. Определяем содержание металлов в сплаве. Составим два уравнения с двумя неизвестными.
Предположим, что масса меди m (Сu) в сплаве равна х граммов, тогда масса серебра m (Ag) будет равна (17,2 - х) граммов. По уравнению (1) вычисляем объем газа, вытесненный из кислоты медью:
64 г Сu образуют 44,8 л N02
х г Сu — а л N02
44.8х = 64а;
а = 44,8х/64.
По уравнению (2) вычисляем объем газа, вытесненный из кислоты серебром:
108 г Ag образуют 22,4 л N02
(17,2 – х ) г Ag ----- б л N02
(17,2 – х) ∙ 22,4 = 108б;
б = (17,2 – х) ∙ 22,4/108.
Составляем систему уравнений и решаем ее:
[pic] а + б = 6,72,
44,8х (17,2 – х) ∙ 22,4
−−−−− + −−−−−−−−−−−− = 6,72
108
1209,6х 358,4 (17,2 – х) 11612,16
−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−,
1728 1728 1728
1209,6х + 358,4(17,2 – х) = 1209,6х + 6164,48 – 358,4х = 851,2х + 6164,48 = 11612,16,
851,2х = 5447,68;
5447,68
Х = −−−−−−− = 6,4 Cu
851,2
Следовательно, в сплаве было 6,4 г Сu (35,5 %), 17,2 - 6,4 = 10,8 г Ag (60 %), 18 - (6,4 4- 10,8) = 0,8 г Аu (4,5 %), т.е. сплав содержал 35,5 % Сu, 60 % Ag, 4,5 % Аu; объем израсходованной кислоты составил 45,3 мл.
Ответ: объем израсходованной кислоты составил 45,3 мл.
Задачи для самостоятельной работы
1 [pic] .
8х + 4у = 7
4х +2у = 9
2.
[pic]
х+2у х-2у 7-2у
------ - ------ - ------ = 1-х
4 2 3
3х - 2у = 8
3 [pic] .
5х – у – z = 0
x + 2y + 3z = 14
4x + 3y + 2z = 16
Задача 4.
При прокаливании смеси мрамора и малахита массой 4,42 г остался нелетучий остаток массой 2,72 г. Определите массовую долю карбонатов в смеси.
Глоссарий терминов
Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два натуральных делителя (только 1 и самого себя).
Составное число — натуральное число больше 1, не являющееся простым. Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел, больших 1.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел m и n называется их общий делитель d (то есть [pic] и [pic] ), который делится на любой другой общий делитель m и n.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n — это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n. Обычно обозначается [m, n], а иногда НОК(m, n).
Погрешностью называется разница между точным числом x и его приближенным значением a данного приближенного числа.
Предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a называется величина А, если известно, что | x - a | < А.
Предельной относительной погрешностью называется отношение А / a = В.
Округление - математическая операция, позволяющая уменьшить количество знаков в числе за счёт замены числа его приближённым значением с определённой точностью.
Процент — одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому.
Пропорция (лат. proportio — соразмерность, выровненность частей), равенство отношений числовых величин, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство [pic]
Массовая доля растворенного вещества ω — это отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора:
Литература:
Ерохин Ю.М. «Химия» учебник для СПО, М., Изд.ц. «Академия», 2013
Ерохин Ю.М., В.И. Фролов «Сборник задач и упражнений по химии» учебное пособие для СПО, М., Изд.ц. «Академия», 2014
Пехлецкий В.П. «Математика» учебник для СПО, М.,
В.Р. Богомолова «Практикум по математике» учебное пособие для СПО, М., 2014
РЕЦЕНЗИЯ
на учебно-методическое пособие «Методические рекомендации к практическим занятиям по математике для студентов отделения «Фармации» медицинского колледжа» для специальности «Фармация» преподавателя математики
ГАПОУ «Альметьевский медицинский колледж»
Бадретдиновой Наталии Михайловны
Пособие «Методические рекомендации к практическим занятиям по математике для студентов отделения «Фармации» медицинского колледжа» разработано в соответствии с требованиями ФГОС в части требований к уровню подготовки выпускника по специальности «Фармация» в области математики и химии.
В учебно-методическом пособии автор ставит цель ознакомить обучающихся с основами математического аппарата как инструмента для решения теоретических и практических задач фармации и химии, а также выработки у них навыков применения математических расчетов при решении химических задач. Математические методы, наряду с химическими, являются мощным инструментом при исследовании биологических и медицинских проблем.
Данное пособие дает обучающимся такой набор «ремесленных» приемов и методов, которые позволят им самим решать задачи в области профессиональной деятельности при изучении дисциплин специального цикла.
Структура пособия способствует эффективному достижению обратной связи и коррекции информации в зависимости от уровня познавательных интересов, способностей и опыта студентов. Пособие рассчитано на 12 часов (2 часа теоретических занятий и 10 часов практических занятий). Пособие включает в себя: требования ФГОС к знаниям и умениям по математике для студентов отделения «Фармация», общие сведения (краткое изложение теоретического материала по математике и химии), практические работы № 1-5 с тренировочными задачами и задачами для самостоятельной работы, приложения, глоссарий терминов, список литературы.
Пособие может служить раздаточным материалом к практическим занятиям по математике, так и обучающим средством для индивидуальной работы студентов и на занятиях специальных дисциплин.
Настоящее пособие по нашему мнению заслуживает внимания и внедрения в учебный процесс.
[pic]
