Межшкольная научно-практическая конференция учащихся
«В науку – шаг за шагом»
Вероятность успешного решения тестового задания путём угадывания правильного ответа
Выполнила: ученица 9 класса
МКОУСОШ с. Лучки
Лучко Ангелина
Руководитель:
Новосад Галина Степановна,
учитель математики первой
категории
Хороль, 2016г
Оглавление
Введение _____________________________________________________3
Глава 1. Теория вероятностей ___________________________________5
1.1. Из истории становления теории вероятности __________________5
1.2. Определение и основные формулы «Теории вероятности» ____ __ 5
Глава 2. Вероятность в нашей жизни________ ______________________7
Глава 3. Практическая часть.
3.1. Определение вероятности успешного решения тестового задания
по алгебре путём угадывания верного ответа.________________________8
3.2. Вероятность сдачи экзамена по обществознанию угадыванием
верного ответа_________________________________________________ 9
Заключение ___________________________________________________11
Список использованных источников и литературы______________________12
Приложения __________________________________________________13
Введение
Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка, угадал или не угадал правильный ответ в тесте, результаты выборов и референдумов.… Этот ряд можно продолжить и дальше. Казалось бы, тут нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь вездесущая царица наук – математика – может обнаружить интересные закономерности и спрогнозировать результат.
Цель моего исследования: доказать с помощью математики, что вероятность угадать верные ответы в тестовом задании очень мала, а значит практически невозможно получить положительную оценку без подготовки.
Для этого я поставила перед собой задачи:
1. Воспользовавшись различными источниками информации собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей.
2. Рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности.
3. Провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при решении тестового задания по алгебре.
Выдвинула гипотезу: выбор ответов наугад не может обеспечить успешного решения тестового задания.
Объектом моего исследования являются задания с выбором ответа из предложенных, а предметом – вероятности угадывания верных ответов в тестовом задании по алгебре и по предмету «Обществознание» государственной итоговой аттестации в 9 классе.
Методы исследования: изучение литературы, сбор информации, расчёт, анализ, систематизация, обобщение.
При проведении исследовательской работы я использовала теоретический материал из учебника «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под редакцией Ш.А.Алимова, где дается определение теории вероятностей, как раздела математики, который «занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях». В книге Колмогорова А.Н. «Введение в теорию вероятностей» на простых примерах рассматриваются основные понятия и теоремы теории вероятностей, что помогло самостоятельно овладеть первоначальными понятиями и методами теории вероятностей. О Бернулли, как одном из основателей теории вероятностей, его формуле и историю становления теории вероятностей изложено в Википедии.
Глава 1. Теория вероятностей
Из истории становления теории вероятности
Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.
Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705гг.). Он открыл знаменитый закон больших чисел: дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта [Интернет-ресурсы, 1].
Определение и основные формулы «Теории вероятности»
Основным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу». В словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как «возможности осуществления чего-нибудь»[6].
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними [1]. Вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события характеризуется как нулевая.
А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.
Настоящую научную основу теории вероятностей заложил великий математик Якоб Бернулли (1654-1705).
Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем. Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и то же событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p
Формула для вычисления вероятности записывается так:
Р=
число всех исходов
Формула Бернулли:
Pn(m) = P (событие A наступило m раз в n испытаниях).
Правила
1)
2) Для достоверного события m=n и P(a)=1.
3) Для невозможного события m=0 и P(a)=0.
Следует всегда помнить следующие слова А.Н. Колмогорова: «Наше представление… было бы только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали правоту сделанных предположений… Наличие у события А при определенных условиях вероятности, равной Р, проявляется в том , что почти в каждой, достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна Р» [3]
1.3. Вероятность в нашей жизни
Игры в кости
Кости — одна из древнейших игр. Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры.
Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Разновидности игры предполагают разный подсчёт очков.
Коды на сейфах, телефонные номера, пароль в социальных сетях
Лотереи
Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота). Кто из нас не мечтал выиграть в лотерею миллион! Но все мы реалисты, и понимаем, что вероятность такого выигрыша очень мала.
Карточные игры
Карточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор карт (колода).
Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде. Перед использованием той же колоды в следующей игре карты в ней перемешиваются (перетасовываются).
Игровые автоматы
Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. Тут все решает Её величество Удача.
Глава 3. Практическая часть
3.1. Определение вероятности успешного решения тестового задания по алгебре путём угадывания верного ответа.
Я провёла опрос среди учащихся 7-9 классов: можно ли угадать 6 заданий из 10, таким образом, решив тестовое задание по математике без подготовки.
Результаты такие: 80% учащихся 7 класса считают, что можно угадать 6 заданий из 10, 8кл. - 60%, 9кл. - 33%. Чем старше класс, тем меньше веры в случай.
Определить вероятность угадывания верного ответа можно по формуле Бернулли.
Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании теста. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4).
Тогда p=1/4, а q=1-p=3/4.
Вероятность получения положительной оценки:
Р10 (6) = С10 6 р6 q10-6 , где [pic]
= = 2*3*4*7= 168
Р10 (6)=168 * = 0,012977000976563 0,013
То есть, вероятность благополучного исхода очень низкая, примерно 1,3%
Я решила проверить это на практике. Учащимся 7-11 классов были розданы тестовые задания по алгебре. В тесте 10 заданий с выбором ответа. Один ответ из 4-х верный. Чтобы получить положительную оценку необходимо правильно угадать 6 ответов (60%). Результаты эксперимента показывают, что угадал 6 ответов только один ученик (Приложение 1)
Значит, данные теории вероятностей и эксперимента показывают, что способом угадывания правильного ответа в тестовом задании получить положительную отметку почти невозможно.
3.2. Вероятность сдачи экзамена по обществознанию угадыванием верного ответа.
Среди нерадивых учеников часто возникает вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?»
Кроме того при анализе результатов предыдущего эксперимента некоторые учащиеся сказали, что по математике сложно угадать верный ответ, а вот по обществознанию значительно легче.
На сайте ФИПИ я взяла демоверсию экзамена по обществознанию в 9 классе. Согласно [link]
Приложение 1
Результаты статистического эксперимента: выбор учащимися 7-11 классов правильного ответа в тесте по алгебре.
0 отв.
1
отв.
2
отв.
3
отв.
4
отв.
5
отв.
6
отв.
7
и более
7
5
1
1
2
1
0
0
0
0
8
6
1
0
3
1
0
0
1
0
9
6
0
1
4
1
0
0
0
0
10+11
7
1
2
2
1
1
0
0
0
Всего
24
3
4
11
4
1
0
1
0
Процент правильно угаданных ответов - 15%
Выбор правильных ответов по алгебре
Приложение 2
Результаты статистического эксперимента: выбор учащимися 7-9 классов правильного ответа в тесте по обществознанию.
0 отв.
1
отв.
2
отв.
3
отв.
4
отв.
5
отв.
6
отв.
7
отв.
8
отв.
9
отв.
10 и более
7
5
0
0
0
1
2
1
1
0
0
0
0
8
6
0
0
0
0
2
1
2
1
0
0
0
9
6
0
0
0
0
2
1
1
0
1
1
0
Всего
17
0
0
0
1
6
3
4
1
1
1
0
Процент правильно угаданных ответов - 28%
Выбор правильных ответов по обществознанию
