Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.
Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.
В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.
Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.
Задача № 1
Пусть Доказать что
Решение:
.
Задача № 2
Пусть + =, =. Доказать что
Решение:
=
=
Задача № 3
Пусть Доказать что
Решение:
=
Задача № 4
Найти все , при которых вершины двух парабол и лежат по одну сторону от прямой .
Решение:
Для параболы находим координаты вершины:
,
а для параболы вершина имеет такие координаты:
,
Чтобы вершины данных парабол лежали по разные стороны от прямой , надо:
или
или
или
или
. Итак, вершины парабол лежат по разные стороны от прямой
при
Задача № 5
Разложить на множители .
Решение:
Задача № 6
Доказать, что для любых положительных чисел a и b справедливо равенство
Решение:
По теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом неотрицательных чисел имеем: , отсюда (1).
, отсюда (2)
Теперь сложим почленно два неравенства (1) и (2) и получим .
Задача № 7
Доказать, что для любых чисел a, b, с выполняется неравенство
Решение:
По теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом неотрицательных чисел имеем: ; . Cложив почленно эти неравенства, получим:
Задача № 8
Доказать, что делится на 27.
Решение:
Сумма цифр числа равна 69, 69 делится на 3, потому число делится на 3. 39 делится на 3. Следовательно, число делится на 3. Тогда 9() делится на 27, т.е. число делится на 27.
Задача № 9
Доказать, что делится на 18.
Решение:
Так как 18 делится на 18, то и число делится на 18. Следовательно, число делится на 18.
Задача № 10
Доказать, что для любых неотрицательных чисел справедливо неравенство
Решение:
По теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом неотрицательных чисел имеем: . Т.к. обе части этих неравенств неотрицательные числа, то при почленном умножении этих неравенств знак неравенств не изменится:
или что и требовалось доказать.
Задача № 11
Доказать, что , если – положительные числа.
Решение:
Пусть – положительные числа. Т.к. , то . Из этого неравенства при следует, что Умножим обе части этого неравенства на и получим .
Аналогично доказываем, что и
Cложив почленно эти неравенства, получим:
Задача № 12
Доказать, что система уравнений не имеет решений.
Решение:
Из второго уравнения получаем, что при , а из первого имеем: , т.е. . Отсюда . Но только при , что не подходит по области допустимых значений. Значит система уравнений решений не имеет.
Задача № 13
Числа 21991 и 51991 выписаны одно за другим. Сколько цифр выписано?
Решение:
Числа 21991 имеет k цифр и 51991 имеет m цифр, тогда в искомом числе (k+ m) цифр. Тогда и . Умножим почленно эти неравенства
Отсюда , а . Значит, было выписано 1992 цифры.
Задача № 14
Найти действительные решения системы уравнений:
Решение:
или
или
или
или
или
или
или
или
или
или
Ответ: (0;0), (1;2), (2;1)
Задача № 15
Доказать, что если , то квадратное уравнение
не имеет действительных корней.
Решение:
Для уравнения составим дискриминант
По условию , отсюда .
По условию , отсюда .
Следовательно, произведение ()(), т.е. D<0. Значит, уравнение не имеет действительных корней.
Задача № 16
Доказать, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:
Решение:
По условию , значит, . По теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом положительных чисел имеем:
и
Сложим почленно эти неравенства:
Что и требовалось доказать.
Задача № 17
При каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей.
Решение:
верно при любом .
Очевидно, что при принимает наименьшее значение. Значит, сумма квадратов корней исходного уравнения принимает наименьшее значение при .
Задача № 18
Найти количество различных значений параметра , при которых графики функций и имеют единственную общую точку.
Решение:
Так как графики имеют общую точку, то получаем уравнение:
Это уравнение имеет единственное решение при
Значит, имеем три значения параметра при которых графики функций имеют единственную общую точку.
Задача № 19
Пусть и – корни уравнения . Найти значение , при котором величина выражения будет наименьшим.
Решение:
По теореме Виета: и . Корни одновременно не могут равняться 0, т.к. в этом случае: и , т.е. , что невозможно.
=(
Величина выражения принимает наименьшее значение, т.е. при =1.
Ответ: =1.
Задача № 20
Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое количество клеток, вырезали квадрат, содержащий целое число клеток так, что осталось 1996 клеток. Сколько клеток содержал первоначальный лист бумаги?
Решение:
Пусть сторона данного квадрата содержит клеток, а сторона вырезанного квадрата y клеток, тогда =1996.
или
Т.к. по условию должен быть целым числом, то сторона данного квадрата содержит 500 клеток, а сам лист бумаги содержит клеток.
Ответ: клеток.
