Тема: «Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме “Числовые последовательности”. Решение упражнений и задач на прогрессии, в том числе прикладного содержания».
Цели:
обобщение и систематизация знаний об арифметической и геометрической прогрессиях;
развитие умений и усовершенствование навыков применять теоретические сведения при решении задач, в том числе прикладных;
формирование понятий о прикладном значении математики, межпредметные связи;
развитие логического мышления;
формирование навыков коллективной работы;
обучение адекватной оценке своего взноса в совместную работу;
воспитание познавательного интереса, культуры математического языка и письма, старательности, ответственности перед товарищами;
обучение работе с дополнительной литературой.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний.
Оборудование: компьютеры, связанные локальной сетью, презентации в PowerPoint, дидактические материалы, рисунки к задачам, задания для творческих групп, бланки для ответов.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем те знания, которые получили во время изучения темы «Числовые последовательности». Используя сухой, но точный язык математики покажем необходимость изучения ее для решения задач практического содержания, которые могут возникнуть и на вашем профессиональном пути. Работать будем тремя группами, каждая из которых самостоятельно подготовила исторические и прикладные задачи.
II. Историческая справка
Докладывают представители каждой группы.
Прогрессии известны издавна, а потому нельзя сказать, кто их открыл. Ведь и натуральный ряд – это арифметическая прогрессия. Во время раскопок в Египте был найден папирус, который датируется 2000 г. до н.э., но и его было переписано из другого, еще более раннего, отнесенного к ІІІ тысячелетию до н.э. Ученые расшифровали текст папируса, содержание некоторых задач дает возможность отнести их к задачам на прогрессии.
О том, как давно была известная геометрическая прогрессия, свидетельствует и легенда об истории изобретения шахмат. Изобретатель шахмат, ученый Сета, попросил в награду у индийского принца Сирама за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клеточку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в два раза больше и так далее.
В вавилонских текстах рассказывается о том, что увеличение освещенной части лунного диска на протяжении первых пяти дней происходит по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2, а в следующие десять дней – по закону арифметической прогрессии с разностью 16. Широкий интерес вавилонян к астрономии делает понятным возникновение этой задачи.
Составлением аналогичных задач занимались много любителей математики на протяжении многих столетий. Задачи на прогрессии встречаются в одной из древнейших памяток права – «Русской правде», составленной при Киевском князе Ярославе Мудром (ХІ ст.). В этом документе есть статья, посвященная вычислению приплода от 22 овец за 12 лет при условии, что каждая овца ежегодно приносит одну овцу и два барана. Также содержатся сведения о приплоде от пчел за определенный промежуток времени, о количестве зерна, собранного на определенном участкае земли и др. Эти задачи не имели хозяйственного значения, а были результатом развития интереса к математике и математическому содержанию данных задач.
Значительное количество задач на прогрессии есть в «Арифметике» Л. Магницкого, которая была основным математическим учебником в России на протяжении почти полстолетия.
В ХІХ ст. русский академик Годолин на основании математических расчетов доказал, что коробки скоростей, которые имеют все машины, нужно строить по степеням скоростей, расположенными по геометрической прогрессии (передаточное число). Этот вывод и ныне есть основным в процессе проектирования станков и механизмов.
III. Теоретическая разминка
Ученики получают два одинаковые бланка, на которых они отмечают правильные ответы, и один сдают на проверку. Второй используют для взаимопроверки.
1. Выберите правильный ответ:
а) 2; 4; 6; 8; ... – конечная возрастающая последовательность;
б) 95; 90; 85; ... 10 – бесконечная убывающая последовательность;
в) 0; 1; 2; 3; ... 9 – конечная убывающая последовательность;
г) [pic] – бесконечная убывающая последовательность.
2. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, ...
а) умноженному на одно и то же число;
б) разделенному на одно и то же число;
в) к которому прибавляется одно и то же число;
г) от которого отнимается одно и то же число.
3. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, ...
а) умноженному на одно и то же число;
б) разделенному на одно и то же число;
в) к которому прибавляется одно и то же число;
г) от которого отнимается одно и то же число.
4. Для арифметической прогрессии это число называется ...
а) числителем;
б) знаменателем;
в) суммой;
г) разностью;
для геометрической ...
а) числителем;
б) знаменателем;
в) суммой;
г) разностью
и обозначается соответственно ...
а) a; q;
б) d; b;
в) d; g;
г) d; q.
5. Если (Cn) – арифметическая прогрессия, то ее разность можно вычислить по формуле:
а) [pic]
б) [pic]
в) [pic] ;
г) [pic]
6. Если (Cn) – геометрическая прогрессия, то ее знаменатель можно вычислить по формуле:
а) [pic]
б) [pic]
в) [pic] ;
г) [pic]
7. Для нахождения любого члена арифметической прогрессии (Cn) можно воспользоваться формулой (n > 2, n є Z):
а) [pic] ;
б) Cn = C1 + dn – 1;
в) Cn = C1 + (n – 1)d;
г) Cn = C1 • dn – 1.
8. Для нахождения любого члена геометрической прогрессии (Cn) можно воспользоваться формулой (n > 2, n є Z):
а) Cn = C1 • (n – 1)q;
б) Cn = C1 + qn – 1;
в) Cn = C1 + (n – 1)q;
г) Cn = C1 • qn – 1.
9. Каждый член арифметической прогрессии имеет свойство (n > 2, n є Z) ...
а) [pic]
б) [pic]
в) [pic]
г) [pic]
геометрической прогрессии – …
а) [pic]
б) [pic]
в) [pic]
г) [pic]
10. Для вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии (Cn) можно воспользоваться формулами:
а) [pic]
б) [pic]
в) [pic]
г) [pic]
11. Для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии (Cn) можно воспользоваться формулами:
а) [pic]
б) [pic]
в) [pic]
г) [pic]
12. Если (Cn) – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (|q| < 1), то ее сумма вычисляется по формуле:
а) [pic]
б) [pic]
в) [pic]
г) [pic]
IV. Устное решение задач
Ученики работают во фронтальном режиме. Перед ними на мониторе компьютера две таблицы, которые содержат данные задач на арифметическую и геометрическую прогрессии соответственно. Необходимо заполнить пустые клетки. Нахождение неизвестных выполняется устно в определенном порядке, при необходимости ведутся краткие записи в черновиках. Проводится с помощью презентации
V. Решение творческих задач прикладного характера в группах, их обсуждение и анализ
Задачи подбирались учениками из дополнительной литературы. Их решение или устное комментирование поочередно демонстрируются представителями каждой группы. Проводится с помощью презентации
I группа
Египетская задача из папируса Ахмеса.
Построение теплицы.
Прирост бактерий.
Движение поезда.
ІІ группа
«Покупка коня».
Распространение слухов.
О шарах.
Рессора.
ІІІ группа
Вознаграждение воина.
О сумме вклада.
О трубах.
Глубина колодца.
VI. Решение задач на прогрессии в группах
I группа.
Найти номера отрицательных членов арифметической прогрессии (хn), если х1 = – 20,3, х4 = –15,5. Чему равен первый положительный член этой прогрессии?
Известно, что числа х – 2, х + 2, 4х + 2 являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Найдите их.
ІІ группа.
(bn) – геометрическая прогрессия. b1 = 81, b3 = 9. Являются ли числа 3 и – 3 членами этой прогрессии?
Известно, что числа х2 – 2, х – 1, 6 – 3х являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите их.
ІІІ группа.
Найти номера положительных членов арифметической прогрессии (хn), если х2 = –17,7, х4 = –14,5. Чему равен последний отрицательный член этой прогрессии?
Известно, что числа х – 2, х + 1, 5х + 1 являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите их.
VII. Проверочная тестовая работа
Ученики получают бланки, на которых они обводят буквы, которые отвечают правильным утверждениям, и зачеркивают буквы, которые отвечают неправильным утверждениям. [2]
1 вариант
1. Задана конечная последовательность 3, 6, 12, 24, 48.
A. Второй член равен 12.
Б. Частное от деления второго члена на первый равно 3.
B. Каждый следующий член можно получить умножением предыдущего на число 2.
Г. Заданные числа не являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии.
2. Известно, что в арифметической прогрессии [pic] , [pic] .
A. Второй член равен 5.
Б. Третий член равен 8.
B. Третий член равен 11.
Г. Разность между третьим и вторым членом равна 5.
3. Задана арифметическая прогрессия: [pic] , [pic] .
А. Разность [pic] равна [pic] .
Б. [pic] ..
В. [pic] .
Г. [pic] .
4. Задана геометрическая прогрессия: [pic] , [pic] .
А. Знаменатель [pic] равен [pic] .
Б. Знаменатель [pic] равен [pic] .
B. [pic] .
Г. Сумма четырех первых членов больше 160.
5. Между числами 3 и 47 вставить три числа так, чтобы образовалась арифметическая прогрессия.
А. Число 47 будет четвертым членом искомой прогрессии.
Б. Если разность искомой прогрессии обозначить d, то по условию можно составить уравнение [pic] .
В. Третьим членом искомой прогрессии будет число 25.
Г. Существует две тройки чисел, которые можно вставить так, чтобы образовалась арифметическая прогрессия.
6. Известно, что три числа [pic] являются последовательными членами геометрической прогрессии.
A. Три числа [pic] образовывают геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда [pic]
Б. По условию можно составить уравнение [pic]
B. Заданные числа могут быть такими: 3, 6, 12.
Г. Заданные числа могут быть такими: [pic]
2 вариант
1. Задана конечная последовательность 1, 2, 6, 18.
А. Второй член равен 1.
Б. Частное от деления второго члена на первый равен 2.
В. Каждый следующий член можно получить умножением предыдущего на число 2.
Г. Заданные числа являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии.
2. Известно, что в арифметической прогрессии [pic] , [pic] .
А. Второй член равен 9.
Б. Второй член равен 6.
В. Третий член равен 14.
Г. Разность между третьим и вторым членом равна 5.
3. Задана арифметическая прогрессия: [pic] , [pic] .
А. Разность d равна [pic] .
Б. d = – 7
В. a5 = 30
Г. [pic] .
4. Задана геометрическая прогрессия: b1 = 5, b2 = 10.
А. Знаменатель q равен [pic] .
Б. Знаменатель q равен 2.
B. [pic] .
Г. Сумма шести первых членов этой прогрессии больше 310.
5. Между числами 4 и 108 вставить два числа так, чтобы образовалась геометрическая прогрессия.
А. Число 108 будет четвертым членом искомой прогрессии.
Б. Если знаменатель обозначить q, то по условию можно составить уравнение [pic] .
В. Третьим членом будет число 12.
Г. Существует только одна пара чисел, которые можно вставить между заданными числами так, образовалась геометрическая прогрессия.
6. Известно, что три числа [pic] являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Три числа [pic] представляют геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда [pic] .
Б. По условию можно составить уравнение [pic] .
B. Заданные числа могут быть такими: [pic] .
Г. Заданные числа могут быть такими: [pic]
VIII. Итоги урока
Ученикам было предложено оценить свой уровень усвоения темы «Числовые последовательности» по 12-балльной шкале.
Домашнее задание. Подготовиться к контрольной работе.
Литература:
Панишева О.В. Арифметическая и геометрическая прогрессии // Математика №3. 2002.
Нелин Э.П., Нелина О.Э. Алгебра 7–9. Тесты для тематического оценивания по 12-балльной шкале. – Киев, 2002.
Губа Л.А. Нетрадиционные уроки математики. – Харьков: «Основа», 2005.
Бевз Г.П. Алгебра. Учебник для 7–9 классов. – Киев: «Освiта», 2000
