Мастер-класс учителя математики МБОУ СОШ №8 г. Каменск-Шахтинского Семиглазовой Нины Ильиничны.
Различные способы решений задач повышенной сложности (С5) при подготовке к ЕГЭ
Найдите, при каких значениях параметра а данное уравнение
а (х+3)-а│х-4│=(8х-х2-10)•│х-4│-(8х-х2-10)(а+3) имеем ровно 2 корня.
Решение.
Преобразуем это уравнение.
а (а+3)-а│х-4│=(8х-х2-10)• │х-4│- (8х-х2-10) (а+3);
(а (а+3)+(8х-х2-10) (а+3))- │х-4│(а+8х-х2-10)=0
(а+8х-х2-10)(а+3 - │х-4│)=0
(х2-8х+10-а)( │х-4│-а-3)=0 – это уравнение должно иметь 2 корня.
х2-8х+10=а,
│х-4│-3=а.
Построим графики функций
у=х2-8х+10 и у=│х-4│-3
х0=4; х0=4
у0(4)=-6 у(4)=-3
по графику определяем, что данное уравнение имеет при -6<х<-3 и при условии
х2-8х+10 =│х-4│-3
х2-8х+16-16+10-│х-4│+3=0
(х-4)2-│х-4│- 3 =0
Пусть │х-4│=t; t≥0
t2- t-3=0
t1= [pic]
t2= [pic] - не удовлетворяет условию t≥0
t [pic] [pic] = [pic] │х-4│= [pic] х1= [pic] х2=4- [pic]
[pic]
Функция у=х2-8х+10 и у=│х-4│- 3 симметричны относительно прямой х=4
у(х1)=у(х2)
у(х2)=у (4- [pic] )
│4- [pic] -4│-3=│- [pic] │-3= [pic] -3= [pic]
Следовательно, а = [pic]
Ответ. (-3;-6) [pic] { [pic] }
II способ
Возможны следующие случаи:
1)Уравнение [pic] имеет 2 корня при этом уравнение [pic] [pic] корней не имеет:
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] >0 а+6>0 а>-6
а<-3 а<-3 -6<а<-3
а+3<0
2) Уравнение [pic] [pic] имеет 2 корня, а уравнение [pic] корней не имеет.
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] <0 а+6<0 а<-6
а>-3 а>-3 система несовместна
а+3>0
3) Каждое уравнение имеет по одному корню и при этом корни разные.
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] =0 а+6=0 а=-6
а+3=0 а=-3 а=-3 система несовместна
4) Каждое уравнение имеет по 2 корня, но эти корни одинаковые:
х1 [pic] = х1 [pic] [pic]
х2 [pic] = х2 [pic] [pic]
при одинаковых значениях.
х2-8х+10-а=0 [pic] │х- 4│= а+3
х1,2=4 [pic] х-4 = а+3 х - 4 = -а-3
х [pic] [pic] 1 [pic] =4 [pic] х1 [pic] [pic] =а+7 х2 [pic] =1-а
х2 [pic] =4 [pic] а>-3 а>-3
Если а+7>1-а, то а>-3 – верно
2а>-6
а>-3
Если а+7<1-а, то а<-3 – неверно
[pic] [pic] 4+ [pic] =а+7 [pic] =а+3
[pic] [pic] [pic] =а+3
4- [pic] =1-а [pic] =3+а
6+а=а2+6а+9
а2+5а+3=0
Д=13
[pic] [pic]
а1<-3 а2>-3
не подходит
Ответ: -6<а<-3
а= [pic]
