Тема урока: "Прямоугольник. Ромб. Квадрат". 8-й класс
Разделы: [link]
Цель урока: Обобщение полученных знаний по теме “Прямоугольник, ромб, квадрат”. Развитие навыков построения простых геометрических фигур с использованием их свойств.
Ход урока
Параллелограммы – это уже знакомое вам красивое и звучное слово, напоминающее о единицах веса, но на самом деле никакого отношения к ним не имеющее.
А как получить изображение параллелограмма?
О чем, действительно, напоминает его название?
Вопрос: Итак, параллелограмм - это фигура, полученная вами при пересечении двух пар параллельных прямых. Сформулируйте определение параллелограмма.
Ответ: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны.
Задание: Найти среди предложенных изображений параллелограмм и доказать, что найдена именно заданная фигура
Ответ: Для доказательства правильности выбора нужно измерить противоположенные стороны найденного четырехугольника. Если они равны, то указанный четырехугольник – параллелограмм /второй признак параллелограмма/.
Задание: Найти среди предложенных фигур прямоугольник и доказать, что найдено заданное изображение.
Ответ:Для доказательства правильности выбора сначала определяем путь замера сторон, что выбранных прямоугольник – параллелограмм, а затем, убедившись в том, что все его углы – прямые, утверждаем, что найденная фигура – прямоугольник.
Вопрос: Итак, что же такое прямоугольник?
Ответ: Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Вопрос: А действительно ли прямоугольник является параллелограммом. Попробуйте доказать это утверждение, используя свойство трех перпендикулярных прямых / Две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны/.
Ответ:
[pic]
Дано: ABCD – прямоугольник
Доказать: ABCD- параллелограмм
Доказательство: Так как [pic] по определению прямоугольника
То AB // СD. Аналогично показать, что BC // AD. BC // AD. Следовательно, ABCD – параллелограмм.
Вопрос: Для отыскания среди предложенных фигур прямоугольника вы измеряли противоположные стороны и углы. Что можно было замерить вместо углов?
Ответ: Диагонали AC и BD. Если они равны, то по признаку прямоугольника мы будем иметь, что ABCD - действительно прямоугольник.
Вопрос: Диагонали и параллелограммаи,следовательно, прямоугольника обладают одним свойством. Каким именно?
Ответ: Диагонали указанных четырехугольников точкой пересечения делятся пополам.
Задача: Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Дано:
ABC: А =90°
АК – медиана:
ВК=КС
Доказать, что АК= 1/ 2 BC
[pic]
1. Достроим треугольник ABC до прямоугольника ABCD.
2. ВС – диагональ, точка К – ее середина. Значит, продолжение прямой АК – прямая AD будет диагональю прямоугольника и, следовательно, АК – половина диагонали AD
3. АК= 1/ 2 AD, но так как по свойству прямоугольника ВС – AD, то АК = 1/ 2 ВС, что и требовалось доказать.
Вопрос: Мы с вами уже познакомились с фигурами, обладающими свойствами симметрии. Скажите, сколько осей симметрии имеет прямоугольник, покажите их с помощью листа бумаги прямоугольной формы.
Ответ: Две оси /демонстрация ответа/.
Вопрос: А сколько осей симметрии имеет параллелограмм?
Ответ: Параллелограмм вообще не имеет осей симметрии. Он обладает центральной симметрией. Центр симметрии – точка пересечения диагоналей.
Вопрос: А сумеете ли вы доказать что параллелограмм – фигура обладающая свойством центральной симметрии?
Дано:
ABCD – параллелограмм
АС и BD – диагонали
МК – прямая
Док, что МO=ОК
[pic]
Доказательство:
Рассмотрим АОК и МОС:
АО=ОС по свойству параллелограмма
<1=<2 – как вертикальные
<3=<4 – как накрестлежащие
АОК = МОС по второму признаку равенств /по стороне и двум прилежащим углам/
Из равенства треугольников следует, ОМ=ОК.
Так как прямая МК была проведена произвольно, то аналогичное доказательство можно провести для любой другой прямой. Следовательно, О – центр симметрии параллелограмма.
Задание: Построить прямоугольник, вершина которого имеет координаты (4;2) и которой симметричен относительно осей координат.
Ответ: А (-4;-2), В (-4;2), D (4;-2).
Задания: Найти среди предложенных фигур ромб и доказать, что найдена именно заданная фигура.
Ответ: Для отыскания ромба достаточно удостовериться в равенстве всех сторон четырехугольника (если только все углы не прямые).
Вопрос: Дайте определение ромба.
Ответ: Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Вопрос: Перечислите стороны ромба.
Ответ: Он обладает свойствами параллелограмма: у него равны противоположенные углы, равны противолежащие стороны, диагонали точкой пересечения делятся пополам/ и кроме того он обладает особым свойством: диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Задача: Построить ромб, если его меньшая диагональ равна /заданная величина/ и она составляет со стороны ромба угол 60°.
[pic]
Действительно, в ABC каждый из углов будет равен 60°, следовательно, этот треугольник будет равносторонним.
Кроме того он будет равен ADC. Следовательно, мы получим четырехугольник, у которого все стороны равны /параллелограмм/. ABCD – ромб.
Задача №414: а) учебник Геометрия 7-9 класс под редакцией Л.С.Атанасяна.
Задание: Найти среди предложенных фигур квадрат, у которого все стороны будут равны и все углы будут прямые.
Ответ: Необходимо найти фигуру, у которой все стороны будут равны и все углы будут прямые.
Вопрос: Квадрат – это очень интересная фигура. Ему можно дать несколько определений:
У квадрата, как и у ромба, все стороны равны, только еще и все углы прямые, следовательно:
Ответ: Квадрат – это ромб с прямыми углами;
У квадрата, как и упрямоугольника, все углы прямые, только еще и все стороны равны, следовательно:
Ответ: Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
У квадрата, как и у параллелограмма стороны попарно параллельны, только еще все они равны, а также все углы прямые.
Задание: Предлагаются опыты с листом бумаги прямоугольной формы: Сверните этот лист так, чтобы получился квадрат. Какое свойство вы использовали, чтобы его получить?
Ответ: Равенство всех сторон.
Исследовать квадрат по следующему плану:
1. Сравните диагонали по длине.
2. Как они расположены относительно друг друга?
3. Как они делятся точкой пересечения?
4. На какие фигуры делит квадрат каждая диагональ?
5. Какого вида эти фигуры?
6. Сравните эти фигуры между собой.
Задание: Построить квадрат по его диагонали №415(б)
[pic]
Решение:
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.
Поэтому заданную диагональ АС делим пополам. Ранее мы доказывали, что прямая BD перпендикулярна АС, значит именно на ней расположена вторая диагональ квадрата / по свойству квадрата – диагонали его взаимно перпендикулярны/.
Откладываем от центра О отрезки, равные отрезкам диагонали АС.
Соединяем точки А, В, С и D. Полученная фигура – квадрат.
Решение устных задач:
Учитель дал ребятам задание вырезать из цветной бумаги квадрат. Вася, вырезал квадрат, проверил его так: он сравнил, длины сторон. Все четыре стороны оказались равными, и Вася решил, что справился с заданием. Надежна ли такая проверка?
Ответ: Нет, у ромба тоже все стороны равны.
Алеша проверил работу иначе: он измерил не стороны, а диагонали. Диагонали были равны, и Алеша посчитал квадрат вырезанным правильно. Верно ли это?
Ответ: Нет. Диагонали равны и у прямоугольника.
Лена, вырезав квадрат, сравнила все четыре части, на которые диагонали разделили друг друга. Они оказались равными. По мнению Лены, это доказывало, что вырезанный четырехугольник – квадрат. А по-вашему?
Ответ: Нет, у прямоугольника тоже диагонали, так как они равны, точкой пересечения разделяется на равные части.
Итак, сегодня мы завершили изучение темы “Прямоугольник, ромб, квадрат”. Какие будут вопросы? Кто из вас не понял изученный материал?
Отдельные учащиеся пригашаются на дополнительные занятия.
Подведение итогов урока. Индивидуальная оценка деятельности каждого ученика.
