Урок-тренинг по геометрии в 9 классе
«Решение планиметрических задач из ОГЭ»
Цель и задачи урока:
• отработка умений решать задачи по планиметрии, предлагаемые в тестах ОГЭ;
• развитие внимания, памяти, логического мышления, интереса к предмету,
математически грамотной речи;
• воспитание трудолюбия, усидчивости, чувства ответственности,
познавательной активности.
Тип урока: урок-тренинг.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, сборник «Математика.
9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2015» под редакцией Ф.Ф.Лысенко,
С.Ю.Кулабухова.
Ход урока
I. Организационный момент.
Сегодня у нас с вами урок по решению геометрических задач из ОГЭ, поскольку на экзамене по математике есть модуль «Геометрия». Занятие будет проходить в виде тренинга. Но сначала давайте еще раз скажем, почему важно изучать геометрию?
Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических
фигур. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с
самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе
относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного
взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко
открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть
красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать
выводы.
В качестве эпиграфа нашего урока мы возьмем слова известного математика Пойа:
«Лучше решить одну задачу несколькими способами,
чем несколько задач – одним»
II. Актуализация знаний учащихся.
Задания на экзамене предлагаются каждый год разные. Мы с вами не можем знать заранее, какие задачи будут на экзамене. Поэтому, чтобы уверенно решать предложенные задачи, надо хорошо знать теорию, т.е. определения и формулировки теорем. Кроме того, в экзаменационной работе есть задание № 13, проверяющее, как ученик ориентируется в теоретическом материале. В каждом варианте в задании №13 предлагается по три вопроса, и надо из них выбрать либо верные утверждения, либо неверные. Иногда из-за одного пропущенного слова меняется смысл сказанного. Поэтому мы начнём наш тренинг с проверки знания теории.
На слайдах вы увидите задания, предлагавшиеся на экзамене в прошлом году, а также задания из сборника для подготовки к экзамену в 2015 году.
Какие из следующих утверждений верны?
1. Через любые три точки на плоскости можно провести окружность.
Неверно.
2. Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность
оснований.
Неверно.
3. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Верно.
4. В любой четырехугольник можно вписать окружность.
Неверно.
5. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Неверно.
6. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
Неверно.
7. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно
диаметру описанной окружности.
Верно.
8. Одна из высот прямоугольного треугольника всегда делит его на два
подобных треугольника.
Верно.
9. Биссектрисы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении
2 : 1, считая от вершины.
Неверно.
10. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу,
опирающемуся на ту же дугу.
Неверно.
11. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу.
Верно.
12. Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него
окружности.
Верно.
III. Тренинг по решению задач.
Начнем мы с вами с решения задач из первой части экзамена, т.е. с задач, оцениваемых в 1 балл. Вы знаете, что на экзамене при решении этих задач надо только дать правильный ответ, записав его в бланк ответов.
Задача на 1 балл
В треугольнике АВС точка К – середина стороны ВС, точка Р лежит на отрезке АК, АР = 10, РК = 5, ВР = 9. Найдите ВМ.
Решение.
[pic]
Т. к. точка К – середина стороны ВС, то АК – медиана. Точка Р делит АК в отношении [pic] . Значит, точка Р – точка пересечения медиан треугольника.
Следовательно, ВМ тоже медиана и [pic] [pic] [pic] [pic] РМ = 4,5.
ВМ = ВР + РМ = 9 + 4,5 = 13,5.
Ответ: 13,5.
Задача на 1 балл
Найдите длину отрезка АN, если радиус изображенной на рисунке окружности ОК =3, АК = 2.
Решение.
[pic]
1 способ.
АN – касательная к окружности, АМ – секущая. Если из точки А к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки А до точки касания равен произведению отрезков секущей от точки А до точек пересечения секущей с окружностью. АN2 = АК ∙ АМ = 2 ∙ 8 = 16 [pic] АN = 4.
2 способ
Проведем радиус ОN. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Значит, ∆АNО – прямоугольный. АО = 5, NО = 3. По теореме Пифагора [pic] .
3 способ
[pic] . По основному тригонометрическому тождеству [pic] .
[pic] . [pic] .
Ответ: 4.
Во второй части экзаменационной работы есть задачи на 2, 3 и 4 балла.
Задача на 2 балла
В параллелограмме АВСD биссектриса острого угла С пересекает сторону АВ в точке М. Найдите расстояние от В до прямой СМ, если СМ = 30, СВ = 17.
[pic]
Решение.
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Проведем из точки В к прямой СМ перпендикуляр ВН.
Значит, ρ(В; СМ) = ВН.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Значит, ∆СВМ – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Следовательно, ВН – медиана, т.е.
СН = НМ = 15. По теореме Пифагора ВН = [pic] .
Ответ: 8.
Задача на 3 балла
В трапеции АВСD точка К – середина основания АВ. Известно, что СК = КD. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Решение.
[pic]
1 способ
Т. к. СК = КD, то ∆СКD – равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны [pic] [pic] . [pic] как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых DС и АВ секущей DК, [pic] как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых DС и АВ секущей СК.
Т. к. [pic] , то [pic] .
Рассмотрим ∆АКD и ∆ВКС. АК = КВ, DК = СК – по условию, [pic] − по доказанному, то ∆АКD = ∆ВКС по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что АD= СВ [pic] трапеция АВСD – равнобедренная.
2 способ
Проведем высоты DН и СМ. ∆DКН = ∆СКМ по гипотенузе и катету (DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, DК = СК – по условию) [pic]
[pic] . (Дальше как в первом способе).
3 способ
Из равенства ∆DКН и ∆СКМ следует, что НК = КМ.
[pic] .
Значит, прямоугольные треугольники АDН и ВСМ равны по двум катетам
(DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, АН = МВ по доказанному). Из равенства треугольников следует, что АD= СВ [pic] трапеция АВСD – равнобедренная.
Задача на 4 балла
В равнобедренном треугольнике АВС стороны АВ = ВС = 10, соsАВС = [pic] . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
[pic]
Решение.
По теореме косинусов [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
1 способ
Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти с помощью формулы [pic] . Площадь данного треугольника можно найти следующими способами:
1. [pic] ; 2. [pic] ; 3. [pic] .
р = [pic] . [pic] . Значит, [pic] .
2 способ.
Мы знаем, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Проведем биссектрису ВН. Т. к. в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают, то биссектриса ВН будет и медианой, и высотой.
[pic] .
Из ∆АВН по теореме Пифагора [pic] .
Проведем радиус ОD в точку касания. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Прямоугольные треугольники АВН и ОВD подобны по двум углам (угол АВН – общий, углы Н и D равны как прямые). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.
Пусть ОН= х, тогда ВО = 8 – х.
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] х = 3. Значит, радиус ВО = 3.
3 способ
Начало такое же, как во 2-м способе. Только рассмотрим не подобные треугольники, а прямоугольный треугольник ОВD.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6. ВD = 10 – 6 = 4.
Пусть ОН = ОD = х, тогда ВО = 8 – х. По теореме Пифагора имеем уравнение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Значит, радиус ВО = 3.
4 способ
Проведем ВН (не будем проводить ОD, но точку касания D обозначим).
Из второго способа [pic] .
Из ∆АВН по теореме Пифагора [pic] .
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6. ВD = 10 – 6 = 4.
По теореме о касательной и секущей ВD2 = ВМ ∙ ВН
16 = ВМ ∙ 8
ВМ = 2
МН = 2r = 8 – 2 = 6 [pic] r = 3.
Значит, радиус ВО = 3.
5 способ
Проведем ВН и АО. Т.к. центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис, то АО – биссектриса угла А, а значит, и биссектриса треугольника АВН. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
[pic] . Пусть ОН = х, тогда ВО = 8 – х. [pic] [pic] 16х = 48 [pic] х = 3.
Значит, радиус ВО = 3.
6 способ
Из ∆АВН: [pic] ВD = 4.
Из ∆ОВD: [pic] [pic] [pic] [pic] ОD = 3.
Значит, радиус ВО = 3.
Ответ: 3.
Домашнее задание.
Задача на 2 балла
Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла (в последовательном порядке) относятся как 3 : 7 : 5. В ответе укажите больший из них в градусах.
Задача на 4 балла
В равнобедренную трапецию с верхним основанием, равным 2, вписана окружность радиуса 2. Найдите нижнее основание трапеции.
Пожелания и советы учащимся
• Помни и понимай, что подготовка к ОГЭ – это тяжелый труд, где
результат будет прямо пропорционален времени, потраченному на
активную подготовку к экзамену.
• Выполняй как можно больше различных тестов по предмету.
• Тренируйся с секундомером в руках, засекай время выполнения тестов.
• Готовясь к экзаменам, мысленно рисуй себе картину успеха.
Рефлексия
Подведение итогов
Выставление оценок
Литература
1. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. − М. : Просвещение, 2009.
2. Математика. 9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2015. Учебно-тренировочные тесты по новой демоверсии / Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова – Ростов-на-Дону: Легион, 2015.
