Секция: Математика
МОУ Яльгелевская ООШ
Тема проекта: «Шутка гениев: флексагон»
Участники конференции: Сапронов Дмитрий, Григорьев Александр
Класс 5
Руководитель проекта: Дектярева Вера Васильевна, учитель математики
Оглавление
Цели и задачи исследования…………………………………………...……3
Введение……………………………………………………………………...4
История открытия флексагонов…………………………………………….5
Флексагоны. Виды флексагонов…………………………………………....8
Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона…………….…12
Применение флексагонов……………………………………………….......16
Литература…………………………………………………………………...18
Приложение «Модели флексагонов»……………………………………..
Цели исследования:
Изучить информацию о флексагонах, научиться складывать тригексафлексагоны и гексагексафлексагоны, тетрафлексагоны.
Задачи исследования:
теоретические: изучить схемы для складывания флексагонов, применение флексагонов в жизни человека;
практические: создание моделей флексагонов.
Введение
Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.
Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной.
Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.
Мы приглашаем вас на короткую экскурсию в загадочный мир флексагонов.
История открытия флексагонов
В стране, где человеческий рост измеряют в футах, расстояние до соседнего города считают в милях, а топливо в бак льют галлонами, чиновники выписывают справки на бумаге формата Letter. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм. Если бы не эта разница, возможно, мы бы до сих пор не знали о флексагонах — увлекательной игрушке, головоломке и интересной математической модели, открытой в первой половине XX века.
В конце 1939 года Артур Стоун, 23 летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были бы разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - 82 способами…
Тетрафлексагоны были открыты на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и в детских игрушках. Также флексагоны натолкнули на идею создания фильма и т.д.
След в истории
7 декабря 1941 года японцы ворвались в Перл-Харбор, и война разбросала участников «Флексагонного комитета» по свету. Впоследствии Артур Стоун приобрел всемирную известность как специалист в области топологии и автор теоремы метризации, названной в его честь. Джон Тьюки получил титул магистра химии и докторскую степень по математике. Он изобрел несколько основополагающих методов современной статистики. Брайант Таккерман оставил значительный след в информатике как один из соавторов симметричного алгоритма защиты информации, в котором один ключ используется как для шифрования, так и для расшифровки данных. А Ричард Фейнман и вовсе не нуждается в представлении как обладатель премии Альберта Эйнштейна и Нобелевской премии в области физики. Долгие годы эти блестящие ученые хотели вновь собраться вместе, чтобы написать пару статей и покончить со всеми тайнами теории флексагонов. К сожалению, или, напротив, к счастью, этому плану не суждено было сбыться.
Флексагоны. Виды флексагонов
Флексагоны это многоугольники, сложенные из полос бумаги прямоугольной или же более сложной, изогнутой формы, которые обладают необычным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.
Флексагон (от англ. to flex, что означает, «складываться, гнуться»), т.е. флексагон гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.
Флексагон — довольно сложная конструкция, и чем больше поверхностей он содержит, тем сложнее собрать его так, чтобы он действительно работал. Точная разметка и соответствующие ей сгибы — необходимые условия для постройки действующей модели. Перед сборкой стоит перегнуть заготовку в обе стороны по всем линиям сгиба, чтобы готовым флексагоном было удобно пользоваться. Идеальный материал для флексагоностроительства — бумажная лента для кассовых аппаратов: ее легко разметить на равносторонние треугольники циркулем. Отец Брайанта Таккермана, известный физик Луи Таккерман, использовал для разметки ленты треугольную металлическую пластину: чтобы получить заготовку, он просто оборачивал ленту вокруг пластины нужное количество раз. Такое приспособление позволяло Таккерману-старшему быстро собирать самые разные модели и в результате внести немалый вклад в теорию флексагонов. Некоторые любители собирают флексагоны не из бумаги, а из плотного картона или даже металла, соединяя треугольники настоящими петлями. Классический гексагексафлексагон можно сложить из прямой полоски бумаги. Полосу следует разметить на 19 равносторонних треугольников. Треугольники можно пометить цифрами с двух сторон в порядке, указанном на рисунке. Пустой треугольник на каждой стороне служит для склейки. Полоска складывается таким образом, чтобы треугольники с одинаковыми цифрами на оборотной стороне накладывались друг на друга. Получившуюся короткую полоску перегибают в трех местах так, чтобы получился шестиугольник (точно так же складывают из ленты простейший тригексафлексагон). Оставшийся не у дел треугольник, помеченный цифрой 1, перегибается через грань и приклеивается к пустому треугольнику. Флексагон готов.
Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольников. Чтобы раскрыть флексагон, необходимо взять его двумя пальцами за пару соседних треугольников и сложить их по линии сгиба. Второй рукой нужно отогнуть противоположную пару треугольников. Флексагон явит миру свою новую поверхность и спрячет предыдущую. Играя с фигурой, вы вскоре обнаружите, что некоторые поверхности гораздо труднее вызволить на свободу, нежели остальные. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу, натыкаясь лишь на знакомую пару «лиц» флексагона. Брайант Таккерман вывел простейший способ нахождения всех поверхностей фигуры, известный как «путь Таккермана». Простое правило позволяет увидеть все поверхности гексагексафлексагона всего за 12 раскрытий. Следует брать флексагон за один и тот же угол и открывать его, пока он открывается. Затем можно переходить к следующему углу по порядку.
Многообразие проявлений гексагексафлексагона вовсе не ограничивается шестью цветами или шестью цифрами, обозначающими поверхности. Если нанести на треугольники более замысловатую раскраску, можно увидеть, что каждый из них может менять ориентацию внутри своей поверхности. Пометим углы каждого треугольника буквами A, B и C и проследуем по «пути Таккермана». Мы увидим, как в центре одного и того же шестиугольника по очереди побывает каждая из букв. Это дает нам по три варианта каждой поверхности. Итого для гексагексафлексагона мы имеем целых 18 вариантов рисунка поверхности.
На самом деле для гексагексафлексагона, собранного из прямой полосы бумаги (возможны и другие конструкции), число вариаций окажется несколько меньше. Складывая флексагон, вы можете заметить, что четыре из его поверхностей состоят из шести треугольников, а еще две — из трех параллелограммов. Эти последние поверхности не могут меняться и всегда выглядят одинаково, что в итоге дает нам всего 15 комбинаций для гексагексафлексагона. Данное свойство многократно использовали шутники-математики для своих головоломок с картинками. Скажем, после определенных стараний игрок мог собрать четыре картинки, развернув составляющие их треугольники в определенную сторону, а еще одна картинка, самая желанная , никак не собиралась воедино, хотя все ее компоненты были отчетливо видны.
Есть у гексафлексагона и еще один секрет: три из шести его поверхностей могут образовывать зеркально симметричные пары. К примеру, если угол А одного из треугольников такой поверхности находится в центре, то угол B может оказаться как справа, так и слева от него. Таким образом мы получаем еще три дополнительные комбинации и общее число рисунков поверхности гексагексафлексагона все же достигает 18.
Флексагоны бывают следующих видов:
Унагексафлексагон.
Дуогексафлексагон.
Тригексафлексагон.
Тетрагексафлексагон.
Пентагексафлексагон.
Гексагексафлексагон.
Гептагексафлексагон.
Тетрафлексагоны
Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.)
Тригексафлексагон: «три» - число поверхностей, «гекса» - число углов.
Гексагексафлексагон: «гекса» - число поверхностей и углов (шесть поверхностей и шесть углов)
Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона
«Флексагонный комитет» очень быстро обнаружил способ делать из прямых или зигзагообразных полос бумаги флексагоны с любым количеством поверхностей. Таккерман сконструировал тетрагексафлексагон и пентагексафлексагон, а также ухитрился соорудить действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Большинство флексагонов можно сложить разными способами из заготовок разной формы. К примеру, гексагексафлексагон можно сделать из прямой полоски бумаги, ленты, предварительно склеенной в форме шестиугольника, и причудливой ленты в форме восьмерки. С ростом порядка флексагона радикально увеличивается и количество способов, которыми его можно собрать. К примеру, для декафлексагона их число равняется 82. Теория Фейнмана и Тьюки позволяет сконструировать флексагон любого заданного порядка всеми возможными способами. Известно, что все флексагоны четного порядка делаются из двусторонних полос, а нечетные имеют лишь одну поверхность, подобно ленте Мёбиуса.
Не вдаваясь в теоретические подробности, приведем алгоритм конструирования флексагона с заданным числом поверхностей. Для составления карты флексагона нам понадобятся базовые конструктивные элементы — большие равносторонние треугольники со вписанными в них малыми равносторонними треугольниками (см. схему). Количество необходимых базовых элементов равняется порядку флексагона минус два. К примеру, для конструирования гексагексафлексагона нам понадобятся четыре элемента.
Расположим базовые элементы любым способом так, чтобы их грани совпали, а вершины внутренних треугольников соединились. Различное расположение элементов даст нам разные варианты конструкции флексагона, но все они будут рабочими. Получившаяся фигура называется сетью Тьюки. У нее шесть граней, на каждой из них имеется «средняя точка». Обозначим одну из серединных точек цифрой 1 и пронумеруем все серединные точки по часовой стрелке. Теперь, если следовать от единицы по маршруту, проложенному сторонами внутренних треугольников, мы получим «код флексагона»: 1, 2, 6, 4, 3, 5.
Нарисуем таблицу из трех строк и восьми столбцов (восемь — порядок флексагона плюс два). Внесем в нее получившийся код, проставляя цифры по очереди в верхнюю или среднюю строку, в шахматном порядке. Под (или над) каждой цифрой проставьте число, большее на единицу. Если исходная цифра равна 6, ставьте 1. Получившаяся таблица представляет собой не что иное, как разметку треугольников будущей бумажной полоски. Первая строка содержит разметку лицевой стороны, вторая строка — обратной. Последовательность из шести пар цифр должна повториться три раза — для всех 18 треугольников гексафлексагона. Вспомогательные столбцы (7 и 8) показывают, как будет повторяться последовательность цифр: для флексагона нечетного порядка стороны поменяются местами.
Складывание тригексафлексагона
Выберем одну из граней сети Тьюки и обозначим ее как «правая». Точно так же пометим все параллельные ей грани (в нашем случае такая всего одна). Остальные грани обозначим как «левые». Заполним получившимися значениями третью строку в таблице. Теперь мы готовы размечать бумажную полосу для постройки флексогона. Начнем с первого треугольника, вершина которого укажет нам путь «прямо». Руководствуясь картой, следующий треугольник мы будем пристраивать к его правой или левой стороне. Пройдя весь путь до конца, мы получим полосу в форме шестиугольника — одну из вышеупомянутых допустимых заготовок для гексагексафлексагона. Остается обозначить все треугольники цифрами с двух сторон, опять же в соответствии с таблицей. Складывая флексагон, начните с совмещения одинаковых цифр, стоящих рядом на обратной стороне заготовки. Следуйте этому принципу, пока не получите готовый гексагексафлексагон
Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать трифлексагон, показано на рисунке. Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3-4 см.
[pic]
Складывание гексагексафлексагона
Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1,2,3; треугольники на другой стороне - цифрами 4,5,6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.
: [pic]
Применение флексагонов
Стоуну и компании удалось создать полную и всеобъемлющую теорию гекса---флексагонов. Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось. Простейший представитель этого семейства — тритетрафлексагон — можно легко сложить из полосы бумаги, состоящей из шести квадратов. Достаточно сложить ее в трех местах, как показано на рисунке, склеить пару «двоек» — и флексагон готов. Кстати, изобретение этой фигуры принадлежит вовсе не Стоуну. Оно уже несколько столетий известно как шарнирное соединение двойного действия — петля, которая позволяет открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах). Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других. На этом свойстве основан старый фокус с «исчезающим» в недрах конструкции долларом.
Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.
Одна из разновидностей флексагонов, а именно тетрафлексагон, применяется при сборке игрушек.
Флексагоны настолько замечательны, что их можно использовать в качестве открыток на различные темы: на день рождения, пасхальные открытки.
Заключение
В данной работе нами были рассмотрены флексагоны. Мы смогли создать несколько моделей флексагонов: гексафлексагон, гексагексафлексагон. Рассмотрели возможности применения флексагонов – как игрушка, как открытка и т.д. Большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, технике (детали машин).
Литература
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: МИРОС. 1995г.
Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.
http//www.jorigami.narod.ru›Contents/n_30/03_Flexagons.htm
http//www.models-paper.com›index.php…
18
