| 2. Нечётность функции y=f(x) | 1) Область определения функции симметрична относительно точки 0. 2) Если x є D(y), f(-x)=-f(x) | График симметричен относительно начала координат | 1) y=sin x; sin (-x)=-sin x 2) y=tg x; tg (-x)=-tg x 3) y=ctg x; ctg (-x)=-ctg x | f(x)=x+1/x D(f)=(-∞;0)U(0; ∞) f(-x)=-x+1/(-x)=-(x+1/x)=-f(x) |
| 3. Периодичность | 1) Если существует такое число Т≠0, что при любом х из области определения функции числа х-Т и х+Т также принадлежат этой области и выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T), Т – период, то Тk, где k є Z, k≠0, также период. 2) Если функция периодическая и имеет период Т, то функция Af(kx+b), где A, k, b – постоянные и k≠0, также периодическая, причём её период равен Т’=T/|k|. 3) Периодичность функции, представляющей собой сумму непрерывной и периодической функции, равен наименьшему кратному периоду слагаемых, если он существует. | Значение периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяется. Это свойство использую при построении графиков. | Наименьший положительный период: а) Для y=sin x; y=cos x равен 2π б) Для y=tg x; y=ctg x равен π 1) cos (a+T)=cos a, при a=0 cos T= cos0=1, T=2π 2) sin (a+T)=sin a, при а=π/2 sin (π/2+T)=sin π/2=1 sin x=1 при x=π/2+2πn, n є Z. 3) tg x=tg (0+T)=tg 0=0 Но на интервале (0;π) тангенс нулей не имеет,Т≥π, то есть π – наименьший положительный период тангенса. | 1) sin (2π+x)=sin x, tg (π+x)=tg x, sin (x-6π)=sin x, ctg (x+20π)=tg x 2) а) sin (3x-π/2) б) cos (-x/2+π) T=2π, T=2π, a=1, k=3, b=-π/2, a=1, k=-1/2 b=π, T’=T/|k|, T’=2π/|3|=2/3π T’=T/|k|, T’=2π/1/2|=4π 3) y=cos x/3 + tg x/5 T=2π, k=1/3, T=π, k=1/5, T’=2π/|1/3|=6π T’=π/|1/5|=5π НОК(6π;5π)=30π T=30π |
| 4. Монотонность.
Функция только возрастает или убывает на данном числовом промежутке. | 1) Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента x их этого промежутка соответствует большее значение функции f(x), т.е. если x2>x1, то f(x2)>f(x1), где x1,x2 є I 2) Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента x из этого промежутка соответствует меньшее значение функции f(x), т.е. если x2>x1, то f(x2)<f(x1), где x1,x2 є I | 1) Если смотреть слева на право, то график возрастающей функции идёт «в гору».
2) Если смотреть слева на право, то график убывающей функции идёт «с горы». | а) y=sin x возрастает при x є [-π/2+2πn; π/2+2πn] n є Z; убывает при x є [π/2+2πn; 3π/2+2πn] n є Z. б) y=cos x возрастает при x є [-π+2πn; 2πn] n є Z; убывает при x є [2πn; π+2πn] n є Z. в) y=tg x возрастает при x є [-π/2+πn; π/2+πn] n є Z. г) y=ctg x убывает при x є [0+πn; πn] n є Z. | Рассмотрим функции: а) f(x)=3x2. Докажем, что функция возрастает при x≥0 x1є[0; ∞) x2є[0; ∞), x2>x1 f(x2)-f(x1)= 3x22-3x12=3(x22-x12)=3(x2-x1)(x2+x1). 3>0, x2-x1>0, x1+x2>0 => 3(x2-x1)(x2+x1)>0 => f(x2)>f(x1). По определению функция f(x)=3x2 возрастает на промежутке [0;∞). б) f(x)=1/x D(f)=(-∞;0)U(0;∞) x2x1є(0;∞), x2>x1 f(x1)=1/x1 f(x2)=1/x2 f(x2)-f(x1)=1/x1 -1/x2=(x1-x2)/(x1x2)<0 x1-x2<0 f(x2)<f(x1) => f(x)=1/x убывает на промежутке (0;∞). x2x1є(-∞;0), x2>x1 f(x2)-f(x1)=(x1-x2)/(x1x2)<0 x1-x2<0 f(x2)<f(x1) => f(x)=1/x убывает на промежутке (-∞;0). Ответ: функция убывает на промежутке (-∞;0)U(0;∞) |
| 5. Экстремумы
Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значение функции в них - экстремумами. | Окрестность точки А - любой интервал, содержащий эту точку. 1) xo называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности xo выполняется неравенство f(x)≤f(xo). 2) xo называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности xo выполняется неравенство f(x)≥f(xo). | 1) Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием - самая высокая точка окрестности. График имеет вид «холма» или «пики». 2) Точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием - самая высокая точка окрестности. График имеет вид «впадины» | а) y=sin x x max=π/2+2πn; y max=1 x min=-π/2+2πn; y min=-1. n є Z. б) y=cos x x max=2πn y max=1 x min=π+2πn; y min=-1. n є Z. в) y=tg x и y=ctg x таких точек не имеют | [pic] [pic] [pic] [pic] y y
f(x0) [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] ymax x0 x [pic] y xmin f [pic] [pic] [pic] (x0) xmax x [pic] [pic] [pic] ymin
[pic] x0 x |
