Тема: Решение тригонометрических уравнений.(2урока)
Пояснительная записка:
Цели:
Образовательные: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.
Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности и мобильности, общей культуры, воспитывать дружеское отношение между учащимися. Эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задания на доске и в тетради, через наглядные и дидактические пособия.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы обучения: используются репродуктивный метод, с выходом на частично-поисковый (эвристический), решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка и проверка уровня знаний.
Формы организации труда: индивидуальная, коллективная, фронтальная.
Оборудование: графо – проектор, плакат «типы уравнений», плакат «формулы», карточки с самостоятельными работами, тетради для самостоятельной работы.
План урока:
Оргмомент-2мин
Устные упражнения-7мин
Самостоятельная робота по вариантам (самопроверка)-8мин
Проверка домашнего задания-14мин
Классификация тригонометрических уравнений -5мин
Решение тригонометрических уравнений-20мин
Самостоятельная работа-20мин
Домашнее задание-2мин
Итог урока-2мин.
Актуальность выбранной темы: данная тема занимает важное место в курсе алгебры и начал анализа, тригонометрические уравнения присутствуют на ЕГЭ как в разделах А,В, так и в разделе С.
Все этапы урока распределены от простого к сложному, логически взаимосвязаны и завершены, определены цели каждого этапа.
На уроке используется наглядность, ТСО, присутствует коллективная, индивидуальная и самостоятельная работа.
Метод решения хорош, если
с самого начала мы можем предвидеть –
и в последствии подтвердить это,- что,
следуя этому методу, мы достигли цели.
Лейбниц.
Ход урока.
1. Оргмомент.
Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».
Давайте будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, все будем делать с довольствием и с большим желанием.
Сегодня урок «Решения тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.
Перед вами задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.
2. Устная работа.
Цель: Контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.
1.Прикаком значении, а имеет решение уравнение sin х=а . cos х=а, tg х=а?
2. По каким формулам решаются эти уравнения?
3. Частные случаи, назовите решение этих уравнений
sin х=0, cos х=1, sin х=-1, sin х=1, cos х=-1, cos х=0.
4. В каком промежутке находится arctg а, arcsin a, arcos a, arcctg a?
5. Чему равен arccos(-a), arcsin(-a), arcctg(-a)?
3. Самостоятельная работа с самопроверкой (ответы записаны на доске с обратной стороны).
Цель: проверить умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.
cos х – 2=0 2cos2х=- [pic]
2sin х + 1=0
sin3х =0
3tg4х - [pic] =0
sin х+2=0
2sin х - [pic] =0
cos 3х=1
2 cos 2х + [pic] =0
tg 3х – 1=0
4. Проверка домашнего задания.
Цель: Ликвидировать пробелы в знаниях, систематизировать умения и навыки решения уравнений различными методами на примере одного уравнения.
Уравнение sin х + cos х = 1 можно решить, по крайне мере, шестью способами. Шесть ребят показывают решения этого уравнения через графо – проектор (каждому учащемуся розданы листочки с решением этого уравнения разными способами).
Проводим сравнительный анализ и комментарий решений.
Способ 1. Сведение к однородному уравнению.
- Выразим sin х, cos х и 1 через функции половинного аргумента:
2sin [pic] cos [pic] + cos2 [pic] - sin2 [pic] = sin2 [pic] + cos 2 [pic]
2sin [pic] cos [pic] – 2sin2 [pic] =0 / : 2cos2 [pic]
tg [pic] - tg2 [pic] = 0
tg [pic] (1 - tg [pic] ) = 0
Если tg [pic] = 0, то [pic] = [pic] п, п [pic] z, х=2 [pic] п, п [pic] z .
Если [pic] = 1, то [pic] = [pic] + [pic] к, к [pic] z; х= [pic] + [pic] к, к [pic] z.
Ответ: х=2 [pic] п, п [pic] z ,х= [pic] + 2 [pic] к, к [pic] z.
Способ 2. Преобразование суммы в произведение.
- Выразим cos х через sin( [pic] - х). Получим sin х + sin ( [pic] - х) =1
2 sin [pic] .cos [pic] =1, 2sin [pic] .cos(х - [pic] ) =1,
[pic] cos (х - [pic] ) =1, cos(х - [pic] ) = [pic] , [pic]
х - [pic] = arccos [pic] + 2 [pic] п, п [pic] z, х - [pic] = - arccos [pic] + 2 [pic] к, к [pic] z,
х = [pic] + 2 [pic] п, п [pic] z, х = 2 [pic] к, к [pic] z.
Ответ: х = [pic] + 2 [pic] п, п [pic] z, х = 2 [pic] к, к [pic] z.
Способ 3. Введение вспомогательного угла.
- Разделим обе части уравнения [pic] = [pic]
sin х + cos х =1/ [pic]
[pic] [pic] sin х + cos х [pic] = [pic]
cos [pic] sin х + sin [pic] cos х= [pic] , sin(х + [pic] ) = [pic] ,
х + [pic] =( -1)п arssin [pic] + [pic] п, п [pic] z,
х = - [pic] + (-1) [pic] + [pic] п, п [pic] z .
Ответ: х = - [pic] + (-1) [pic] + [pic] п, п [pic] z .
Способ 4. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Sin х = [pic] , cos х = [pic] , cos [pic] [pic] 0, т.е. х [pic] [pic] + 2 [pic] п, п [pic] z
[pic] + [pic] =1, 2tg [pic] + 1 - tg2 [pic] =1 + tg2 [pic] , , 2tg [pic] - 2tg2 [pic] -0,
tg [pic] (1 - tg [pic] ) =0, tg [pic] =0 или tg [pic] = 1.
Если tg [pic] =0, то х= 2 [pic] п, п [pic] z.
Если tg [pic] = 1, то х= [pic] + 2 [pic] к, к [pic] z.
Ответ: х=2 [pic] п, п [pic] z ,х= [pic] + 2 [pic] к, к [pic] z.
Способ 5. Замена cos х выражением [pic] [pic] :
[pic] [pic] = 1 – sin х
1 – sin2 х = (1 - sin х)2
(1 - sin х)( 1 + sin х) – (1 - sin х)2 = 0
(1 - sin х)( )( 1 + sin х– 1 + sin х) =0
2(1 - sin х) sin х =0
sin х =1 или sin х=0
Если sin х =1, то х = [pic] + 2 [pic] п, п [pic] z.
Если sin х=0 , то х = 2 [pic] к, к [pic] z.
Ответ: х = [pic] + 2 [pic] п, п [pic] z, х = 2 [pic] к, к [pic] z.
Способ 6. Применение формулы sin х + cos х = [pic] sin (х+ [pic] )
Исходное уравнение примет вид: [pic] sin (х+ [pic] ) =1 /: [pic]
sin (х+ [pic] ) = [pic] ,
х + [pic] = (-1)пarcsin [pic] + [pic] п, п [pic] z.
х = - [pic] + (-1) [pic] + [pic] п, п [pic] z .
Ответ: х = - [pic] + (-1) [pic] + [pic] п, п [pic] z .
- Можно добавить 7 способ. Это графическое решение уравнения.
Как решить графически уравнение?
(В одной системе координат построить графики функций:
а) [pic] или [pic] ).
Выполните это задание дома.
5.Классификация тригонометрических уравнений.
Цель: привести в систему знания по темам и методам решения тригонометрических уравнений.
Плакат «типы уравнений»
Простейшие уравнения и уравнения сводящиеся к ним.
Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.
Способ разложения на множители.
Однородные уравнения
(a sin х + b cos х =0 a sin2 х + b cos х sin х + c sin2 х =0)
5. Решение уравнений введением вспомогательного аргумента
(a sin х + b cos х =с [pic] [pic] sin х + [pic] cos х = [pic] )
6. Способ понижения степени.
7. Решение уравнений преобразованием суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.
8. Решение уравнений с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
9.Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка.
6.Решение тригонометрических уравнений.
Цель: решение уравнений с указанием четкого алгоритма решения уравнений данного типа.
1)1 – 3sin х cos х - 5cos2х =0
алгоритм:
приведение к однородному уравнению.
деление левой и правой части на cos2х при условии cos х [pic] 0
решение квадратного уравнения.
подстановка и решение простейших тригонометрических уравнений.
Ответ: х = arctg4 + [pic] п, п [pic] z, х= - [pic] + [pic] к, к [pic] z.
2) sin5х + sinх = [pic] sin3х
алгоритм:
1.формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
2.разложение на множители
3. решение простейших уравнений.
Ответ: х = [pic] , к [pic] z, х = [pic] [pic] + [pic] п, п [pic] z.
3) sin2 ( [pic] - [pic] ) + cos2 ( [pic] + [pic] ) = [pic]
алгоритм:
способ понижения степени
выразить квадрат синуса и косинуса половинного угла через косинус угла.
решение простейшего уравнения.
Ответ: х = (-1)п [pic] + [pic] п, п [pic] z.
4)sin4х cos 2х = sin2х cos4х
алгоритм:
1.выражение стоящие в правой части перенести на лево
2.примененить формулу синус разности
3.решение простейшего уравнения.
Ответ: х = [pic] , п [pic] z.
5) 1 – cos х = 2sin [pic]
алгоритм:
сведение к квадратному уравнению
применить формулу cos х = 1 - 2sin2 [pic]
разложение на множители
решение простейших уравнений.
Ответ: х =2 [pic] п, п [pic] z , х = [pic] + 2 [pic] к, к [pic] z.
7. Самостоятельная работа.
Цель: провести текущий контроль за усвоением решения тригонометрических уравнений, определив тип уравнения и выбрав метод решения.
Самостоятельная работа на 10 вариантов по карточкам из газеты «Математика» №9 – 2004 стр. 12.( см. приложение).
8. Домашнее задание.
Цель: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений. Подготовиться к зачету.
Домашнее задание на 12 вариантов по карточкам из газеты «Математика»
№1 -2002г. Стр.16. (см. приложение) и решить графически уравнение
sin х + cos х = 1
9. Итог урока.
10. И напоследок притча:
«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвел их к огромному дверному замку. Кто откроет, тот и будет первым помощником. Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошел и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.
Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься, на собственные силы и не боишься сделать попытку».
Дополнение: зачет проводится так же по карточкам из газеты «Математика»
№18-2004г. Стр.16.
Рекомендации по использованию урока:
данный урок проводится перед зачетом и контрольной работой, как урок обобщения в 10классе по данной теме;
так же этот урок можно провести в 11 классе в разделе повторения;
3) так же можно отдельно провести урок по теме «Несколько способов решения уравнения sin х + cos х = 1», где повторяются многие методы решения тригонометрических уравнений.
Министерство образования Российской Федерации.
Конспект урока по теме: [pic]
Автор: В.Е.Агафонова
учитель математики
МОУ СОШ №6.
г. Усть-Кут
2006г.
