Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.
Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.
В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.
Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.
Задача № 1
Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же числами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делится на 9 и 11.
Решение:
Пусть 100a + 10b + c – трехзначное число, тогда 100с +10b + a – трехзначное число, записанное теми же числами, что и первое, но в обратном порядке.
100a + 10b + c – 100с –10b – a = 99а – 99с = 99(а–с)
|99(а–с)| – делится на 9,
|99(а–с)| – делится на 11,
т.к.очевидно, что 99 будет делиться на 9 и на 11.
Задача № 2
Если между цифрами двузначного числа x вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.
Решение:
Пусть 100a + b = х – данное двузначное число, тогда 1000а +100а + 10b + b – полученное четырехзначное число, что по условию равно (10а + b)/66. Имеем уравнение:
1000а +100а + 10b + b = (10а + b)/66;
1100а + 11b = 660а + 66b;
440а = 55b;
8а = b;
а 0, т.к. а – первая цифра двузначного числа;
а = 1, b = 8, следовательно, x = 18.
а = 2, b = 16, что невозможно, т.к. b – вторая цифра двузначного числа.
Итак, искомое число 18.
Задача № 3
Доказать, что число 333555 + 555333 делится на 37.
Решение:
[pic] . Очевидно, что [pic] делится на 37.
Задача № 4
Доказать, что число 1111 + 1212 + 1313 делится на 10.
Решение:
Число 1111 оканчивается единицей. Выясним, какой цифрой оканчивается число 1212.
1 [pic] 21 = …2
122 = …4
123 = …8
124 = …6
125 = …2
126 = …4
…
Отметим, что последняя цифра с возрастанием меняется периодически через 4 последовательных показателя. Т.к. 12 : 4 = 3 раза повторится период, то 1212 оканчивается цифрой 6. Теперь выясним, какой цифрой оканчивается число 1313
1 [pic] 31 = …3
132 = …9
133 = …7
134 = …1
135 = …3
136 = …9
…
Аналогично рассуждая, получаем: 1313 оканчивается цифрой 3. Складываем последние цифры: 1 + 6 + 3 = 10, значит, число 1111 + 1212 + 1313 оканчивается нулем, следовательно, 1111 + 1212 + 1313 делится на 10.
Задача № 5
Доказать, что число 1015 + 1017 – 74 делится на 9.
Решение:
1015 + 1017 – 74 = 1015 – 115 + 1017 – 117 + 2 – 74 = (10 – 1) (…) + (10 – 1) (…) – 72 = 9 (…) +
+9 (…) – 9 [pic] 8 = 9(… + … – 8) – это число, очевидно, делится на 9.
Задача № 6
Доказать, что при любом целом [pic] число [pic] делится на 30.
Решение:
[pic] . Чтобы произведение делилось на 30, нужно, чтобы оно делилось на 5 и на 6. [pic] – произведение трех последовательных чисел, поэтому оно делится на [pic] . Итак, чтобы доказать, что [pic] делится на 30, осталось доказать, что оно делится на 5.
Если [pic] – четное, то его квадрат оканчивается на 4 или 6.
Если [pic] оканчивается на 4, то [pic] оканчивается на 5.
Если [pic] оканчивается на 6, то [pic] оканчивается на 5.
Если [pic] – нечетное, то [pic] оканчивается на 1, или на 9, или на 5.
Если [pic] оканчивается на 9, то [pic] оканчивается на 0.
Если [pic] оканчивается на 1, то [pic] оканчивается на 0.
Если [pic] оканчивается на 5, то [pic] оканчивается на 5.
Значит, [pic] делится на 30.
Задача № 7
Доказать, что при любом целом [pic] число [pic] делится на 120.
Решение:
[pic] – произведение пяти последовательных чисел.
120 = [pic] . Значит, [pic] делится на [pic] 120.
Задача № 8
Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Решение:
[pic] – данное пятизначное число.
При умножении на 9 получим: [pic] . Т.к. числа пятизначные, то [pic] При умножении на 9 число остается пятизначным, поэтому [pic] Тогда [pic] значит [pic] . После умножения на 9 получаем
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Т.к. [pic] – однозначные числа, то даже если [pic] , то правая часть последнего равенства равна [pic] поэтому чтобы выполнялось равенство нужно взять [pic] . Равенство примет вид:
[pic]
[pic]
91 не делится на 8, поэтому [pic] делится на 8, значит, [pic] . Получаем:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Т.о. [pic]
Задача № 9
Доказать, что если [pic] – целые числа такие, что число [pic] делится на 17, то число [pic] также делится на 17.
Решение:
[pic]
По условию [pic] делится на 17, значит [pic] делится на 17. [pic] делится на 17 очевидно, следовательно, [pic] делится на 17, т.е. и [pic] также делится на 17.
Задача № 10
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не является квадратом целого числа.
Решение:
Пусть [pic] , [pic] +1, [pic] +2, [pic] +3, [pic] +4– пять последовательных целых чисел, тогда
[pic]
[pic]
Дискриминант этого [pic] не равен 0, а значит, что 5 [pic] не равно квадрату какого–то целого числа.
Задача № 11
Доказать, что если p [pic] простое число, большее трех, то число [pic] делится на 24.
Решение:
Пусть p–простое число, [pic] . Если [pic] делится на 24, то [pic] , где k [pic] .
[pic]
[pic]
По условию р [pic] и p – простое число, поэтому р – нечетное. Тогда р [pic] 1 и р+1 – четные последовательные числа, значит, р [pic] 1 делится на 2, а р+1 делится на 4, т.е. [pic] делится на 8. Так как р [pic] простое число , то оно не делится на 3, т.е. р=3k+1 или p=3k+2.
Если p=3k+1, то p [pic] 1=3k делится на 3 и тогда [pic] делится на 3 [pic] 8=24
Если же p=3k+2, тогда p+1=3k+3 делится на 3 и тогда [pic] делится на 3 [pic] 8=24 , что и требовалось доказать.
Задача № 12
Доказать, что если p [pic] простое число и p [pic] 5, то остаток от деления числа [pic] на 12 равен 1.
Решение:
По условию p – простое и p [pic] . Чтобы остаток от деления [pic] на 12 был равен 1, надо чтобы [pic] , где [pic] , т.е. [pic] – таким образом надо доказать, что [pic] делится на 12.
[pic] р – простое, не меньше чем 5,поэтому p – нечетное, тогда p – 1 и p + 1 четные последовательные числа, поэтому одно из них делится на 2, другое на 4. Осталось доказать, что [pic] делится на 3.
р – простое число, значит на 3 не делится, т.е. оно имеет вид p=3n+1 или p=3n+2, где n [pic] . Если p=3n+1, тогда p [pic] 1=3n – делится на 3, значит и [pic] делится на 3.
Если же p=3n+2, то p+1=3n+3 делится на 3. Это значит, что [pic] кратно 12: [pic] .
[pic] , т.е. остаток от деления [pic] на 12 равен 1.
Задача № 13
Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех чисел от 1 до 100?
Решение:
Среди чисел от 1 до 100 содержится десять чисел, оканчивающихся нулями. Это 10, 20, 30, …, 90, 100. Произведение этих чисел оканчивается одиннадцатью нулями. Кроме того, среди чисел от 1 до 100 содержатся числа, оканчивающихся пятеркой [pic] это 5, 15, 25, 35,…, 85, 95. Их десять. Каждое из этих чисел при умножении на четное число дает число, оканчивающееся нулем. Итак, еще 10 нулей. Кроме того, числа 25=5 [pic] , 75=5 [pic] и 50=5 [pic] , имея в разложении еще по пятерке, при умножении на четное число дадут еще три числа, окачивающихся нулями. Значит, произведение всех чисел то 1 до 100 окачиваются 11+10+3=24 нулями.
Задача № 14
Доказать, что если [pic] – корни квадратного уравнения [pic] , где r [pic] 0, то выполняется неравенство [pic]
Решение:
[pic]
По теореме [pic]
[pic] при r [pic] , что и требовалось доказать.
Задача № 15
Найти все значения r, для которых при действительных значениях x выполняется неравенство [pic]
Решение:
Данное неравенство будет выполняться при всех действительных значениях х, если [pic]
D= [pic]
Решаем систему неравенств:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] .
Если же r=1, неравенство принимает вид [pic] , т.е. [pic] – верно.
Ответ: [pic]
Задача № 16
Доказать, что при всех действительных значениях x справедливо неравенство:
[pic]
Решение:
Данное неравенство равносильно системе неравенств [pic]
Так как [pic] при любом x, то имеем:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Оба неравенства справедливы при всех действительных значениях х. Значит, исходное неравенство справедливо при [pic]
Задача № 17
Доказать неравенство [pic]
Решение:
[pic] =
[pic]
[pic]
Задача № 18
Доказать неравенство [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
[pic]
Задача № 19
Доказать равенство [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Задача № 20
Доказать равенство [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
