Проект «Непростые задачи с простыми числами»
Содержание
Введение …………………………………………………………..4
Основная часть
Глава 1
1. Определение простых чисел ...........................................6
1.1. Поиск простых чисел................................................... 7
1.2. Числа - близнецы ........................................................... 9
Глава 2.
2. Из истории простых чисел…………………………….. 10
2.1. Алгоритм Евклида…………………………………………10
2.2. Простые числа Мерсенна……………………………… 11
2.3. Простые числа Ферма…………………………………….12
2.4. Открытие Пафнутия Львовича Чебышева…………..13
2.5. Проблема Гольдбаха……………………………………...15
Глава 3.
Задачи на НОК и НОД………………………………………… 17
Заключение. Выводы ……………………………………….22
Список использованной литературы …………………….23
Приложения …………………………………………………......24
Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?
Ч. Узерелл "Этюды для программистов".
Введение.
В этом учебном году на уроках математики мы познакомились с темой " Простые числа". Мы узнали, что числа бывают простые и составные.
Учитель объяснил нам принцип нахождения простых чисел. Представил нашему вниманию таблицу простых чисел до 997, помещённую на форзаце учебника " Математика 6 класс", которой мы пользовались в ходе выполнения упражнений и заданий, и нас настолько заинтересовала это тема, что мы решили ее исследовать.
При изучении научной литературы, мы наткнулись на интересное объяснение простых чисел.
О простых числах начнем рассказ с воображаемого путешествия из класса - в мировое пространство.
Это воображаемое путешествие придумал известный советский педагог - математик профессор Иван Кузьмич Андронов "...мысленно возьмем прямолинейный провод ,выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где луна совершает вращение, и далее - за огненный шар Солнца, а далее - в мировую бесконечность;
* Мысленно подвесим на провод, через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближайшей:
1,2,3,4,...100,...,1000,...,100000,...;
* Мысленно включим ток с таким расчётом, что бы загорелись все лампочки с простыми номерами и только с простыми номерами;
* Мысленно полетим вблизи провода. Перед нами развернётся следующая картина: лампочка с номером 1 не горит. Почему? Потому, что 1 не является простым числом.
Две следующие лампочки с номерами 2 и 3 горят, т .к. 2 и 3 – оба простых числа. Почему? Всякое простое число кроме 2-есть число нечетное, а соседние с простым по ту и другую сторону будут числа - четные. Всякое четное, отличное от 2,является составным числом, т.к. делится на 2.
Далее наблюдаем пару лампочек, горящих через одну, с номерами 3 и 5, 5и7,т.д. Замечаем, что в дальнейшем они встречаются реже, все пары простых чисел имеют вид 6п+1;
Например: 6*3-1=17 и 6*3+1=19
6*5-1=29 и 6*5+1=31
6*20-1=119 и 6*20+1=121 - это пара не простые числа - это составные числа. Долетаем до пары 10016957 и 100169559 - это простые числа. Будут ли и дальше такие пары простых чисел? Современная наука пока ответа не даёт; неизвестно существует ли конечное или бесконечное множество пар простых чисел.
* Но вот начинает действовать закон большого промежутка заполненного только составными числами: летим в темноте, смотрим назад - темнота, и впереди не видно света. Вспоминаем свойство, открытое Евклида, и смело движемся вперед, т.к. впереди должны быть светящиеся лампочки и впереди их должно быть бесконечное множество.
* Залетев в такое место натурального ряда, где уже несколько лет нашего движения проходит в полной темноте, вспоминаем свойство, доказанные Чебышевым, и успокаиваемся, уверенные, что во всяком случае, надо лететь не больше того, что пролетели, чтобы увидеть хотя бы одну светящуюся лампочку.
Глава 1
1. Определение простых чисел
Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практической необходимостью. Привлекала их необычная магическая сила. Числа, которыми можно выразить количество любых предметов.
Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли на новые исследования. Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытым человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например:
6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10
В то время как другие, например 3,7,13,37,не могут быть разложены подобным образом.
Определение. Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.
Единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится, не относится она и к составным числам. Единица, занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица - матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум добро.
В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы умудрился доказать существование Бога. Он говорил: « Как не могут существовать числа без единицы, так и вселенная без единого Владыки существовать не может ».
Единица и в самом деле - число уникальное по свойствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на неё делится без остатка, любая её степень ровна тому же самому числу - единице. После деления на неё ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на само себя, получится опять же единица!
1 : 1 =1; а : 1=а; 1n=1*1*1....; а : а =1
Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным ». Это было уже существенно важное
упорядочивание в тёмном и сложном вопросе о простых числах.
У Эйлера учились все - и в Западной Европе, и в России. Диапазон его творчества широк: дифференциальное и интегральное исчисление, алгебра, механика, диоптрика, артиллерия, морская наука, теория движение планет и Луны, теория музыки - всего не перечислить. Во всей этой научной мозаики находится и теория чисел. Эйлер отдал ей немало сил и немалого добился.
Он, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множество чисел натурального ряда, т.е. из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал более ста сочинений по теории чисел....
Доказано, например, что число простых чисел неограниченно, т.е.: - нет самого большого простого числа;- нет последнего простого числа, после которого все числа были бы составными.
Первое доказательство этого положения принадлежит ученым древней Греции (V - III вв. до н.э.), второе доказательство - Эйлеру (1707-1783).
1.1. Поиск простых чисел. РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА.
[pic] Эратосфе́н Кире́нский
Для отыскания простых чисел греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записал все числа от одного до какого – то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркнул через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4, 6, 8 и т.д.).
Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после трёх (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.) в конце концов, оставались не вычеркнутыми только простые числа.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивались, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминало решето. Поэтому метод Эратосфена называют «Решетом Эратосфена»: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных. Таким путем Эратосфен составил таблицу простых чисел до 1000 (таблица простых чисел в учебнике «математики 6 класс»). Эта таблица получила название «Решето Эратосфена».
Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин. Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая занимательная – это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они скрываются в «породе» остальных чисел.
Существуют различные способы поиска простых чисел. Можно даже построить специальное просеивающее устройство, подобное промывным желобам, которые старатели применяют при поиске самородков, но так или иначе их приходится искать, потому что никто не знает, где они встретятся. Есть, правда, кое - какие геологические приметы, по которым можно искать их залежи. Так же как когда – то тысячи золотоискателей бросились в Калифорнию и на Юкон промывать песок в горных речушках в поисках крупинок жёлтого металла, так и мы отправимся в страну чисел, но налегке, вооружившись лишь этим маленьким руководством.
1.2. Числа - близнецы
Среди простых чисел встречаются так называемые «близнецы» или пары простых чисел, разница между которыми составляет двойку (например, 11и 13). Именно эти пары чисел в таблице учебника выделены другим цветом.
«Близнецы» появляются с некой периодичностью, причём, чем больше числа, тем реже они встречаются (11и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61). То же происходит и с обычными простыми числами. В числах, близких к триллиону, лишь каждое 28 число является простым.
Ещё Евклидом было доказано, что простых чисел бесконечно много. Однако окончательного ответа на вопрос, конечно или бесконечно множество «близнецов», пока не существует.
Двое учёных утверждали, что нашли ключ к доказательству одной из самых знаменитых математических гипотез. Согласно ей, существует бесконечно много пар простых чисел, разность между которыми равна двум - так называемых чисел-близнецов. Это утверждение является одним из следствий фундаментальной гипотезы Римана, имеющей непосредственное отношение к современной криптографии.
Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.
Все пары простых чисел-близнецов, кроме (3,5) имеют вид 6n +- 1.
Действительно. Рассмотрим, например: 59 и 61. 59=6*10-1; 61=6*10+1.
Первые простые числа-близнецы:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73), (101,103), (107,109), (137,139), (149, 151), (179,181), (191,193), (197,199), (227,229), (239,241), (269,271), (281,283), (311,313), (347,349), (419,421), (431,433),(461,463), (521,523), (569,571), (599,601), (617,619), (641,643), (659,661), (809,811), (821,823), (827,829), (857,859),(881,883).
Глава 2.
2. Из истории простых чисел
2.1. Алгоритм Евклида
[pic] Евклид
Простыми числами занимался и древнегреческий математик Евклид (IIIв. до н.э.). В своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Отсюда следует гипотеза: мы можем найти простое число больше 997. Но предел простого числа не сумеем найти, т.к. они бесконечны.
В общем виде алгоритм Евклида выглядит так:
НОД (a; b)=НОД (b;r)=НОД (г1;г2)=…=НОД (rn; rn+1)
a=bq1+r1
b=r1q2+r2
r1=r2q3+r3
rn =rk+1*qk+2+rk+2
rm=rp+1*qp+2+0
НОД ( a;b)=гm,
Например, вычислим НОД (7975;2885) с помощью алгоритма Евклида. 7975=2585*3+220; 2585=220*11+165; 220=165*1+55; 165=55*3 НОД (7975;2585)=55, где 55 последний остаток от деления 7975 на 2885.
2.2. Простые числа Мерсенна
[pic] Марен Мерсенн
Со времен древних греков простые числа оказываются столь же привлекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки».
Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна – числа вида Мр=2р-1. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук,который долго занимался проблемой простых чисел.
Если вычислять числа по этой формуле, получим:
М2=22-1=3 – простое;
М3=23-1=7 - простое;
……………………………..
М7=27 -1=127 – простое;
……………………………
М11=211-1=2047.
Общий способ нахождения простых больших чисел Мерсенна состоит в проверке всех чисел Мp для различных простых чисел p. Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение.
В исследовании чисел Мерсенна можно выделить раннюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750г., когда Эйлер установил, что число М31 является простым. К тому времени было найдено восемь простых чисел Мерсенна: p=2, p=3, p=5, p=7, p=13, p=17, p=19, p=31. Эйлерово число М31 оставалось самым большим из известных простых более ста лет.
В 1876г французский математик Лукас установил, что огромное число М127 – с 39 цифрами – простое. 12 простых чисел Мерсенна были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счётные машины.
Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до P=257.
Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсенна. Затем задача была предложена на ЭВМ. Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. Это число было найдено на ЭВМ в Иллинойском университете (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своём почтовом штемпеле, таким образом, воспроизводя его на каждом отсылаемом письме для всеобщего обозрения.
2.3. Простые числа Ферма
[pic] Пьер де Ферма
Существует ещё один тип простых чисел с большой интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601-1665), который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми простыми числами Ферма были числа, которые удовлетворяли формуле Fn=2m+1, где m=2n
F0=2m+1=3, где m=20
F1=2m +1=5, где m=21
F2=2m+1=17, где m=22
F3=2m+1=257, где m=23
Однако это предположение было сдано в архив не оправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал ещё один шаг и показал, что следующее число Ферма P5=6416700417 является составным.
Возможно, что история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче – на построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.
Однако ни одного простого числа Ферма не было найдено, и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.
2.4. Открытие Пафнутия Львовича Чебышева
[pic] Чебышев Пафнутий Львович
Итак, число простых чисел бесконечно. Мы уже видели, что простые числа, размещаются без какого - либо порядка. Проследим более подробно.
2 и 3 - простые числа. Это единственная пара простых чисел, стоящих рядом.
Затем идут З и 5,5 и 7, 11и 13, 17и19 и т.д. Это так называемые смежные простые числа или близнецы. Близнецов много: 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61,71 и 73, 101 и 103, 827 и 829 и т. д. Самая большая известная пара близнецов такая: 10 016 957 и 10 016 959.
Чем дальше от начала численного ряда, тем простых чисел становится меньше. Можно найти как угодно большой конечный промежуток в числовом ряду, в котором не будет ни одного простого числа.
Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распределении или нет?
Если есть, то какой? Но ответ на эти вопросы не находился более 2000 лет.
Первый и очень большой шаг в разрешении этих вопросов сделал великий русский учёный Панфутий Львович Чебышев. В 1850г. он доказал, что между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в два раза большего его (т. е. между n и 2n) , находится хотя бы одно простое число.
Проверим это на несложных примерах.
Примем для п несколько произвольных значений п и найдём соответственно значение 2n :
n= 5, 2n=10 n=12, 2n= 24 n=37, 2n= 74 n=61, 2n=112
Мы видим, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна. Чебышев доказал её для любого случая, для любого п. Открытый Чебышевым закон распределения простых чисел был поистине фундаментальным законом в теории чисел после закона, открытого Евклидом, о бесконечности количества простых чисел. Едва ли не самый добрый, самый восторженный отклик на открытие Чебышева пришёл из Англии от известного математика Сильвестр: «...Дальнейших успехов теории простых чисел можно ожидать тогда, когда родится некто, настолько превосходящий Чебышева своей проницательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев превосходит этими качествами обыкновенных людей».
Более чем полвека спустя немецкий математик Э.Ландау, крупный специалист в теории чисел, добавил к этому высказыванию следующее: « Первым после Евклида Чебышев пошёл правильным путём при решении проблемы простых чисел и достиг важных результатов».
2.5. Проблема Гольдбаха
[pic] Иван Матвеевич Виноградов
Выпишем все простые числа от 1 до 50:
2,3,5,7,9,11,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 представить в виде суммы двух или трёх простых чисел. Возьмём несколько чисел наугад:
50=47+3 46=43+3 32=29+3 22=19+ 3 18=13+5
Как видим, поставленную задачу мы выполнили без труда. А всегда это возможно? Любое ли число можно представить в виде суммы нескольких простых чисел? И если можно, то скольких: двух? трёх? десяти?
В 1742г. член петербургской академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что любое целое положительное число, больше пяти, представляет собой сумму не более чем трёх простых чисел. Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трёх простых слагаемых.
Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго учёные занимались этой задачей, которая названа "Проблемой Гольдбаха" и сформулирована следующим образом. Требуется доказать или опровергнуть предложение
«всякое число, больше единицы, является суммой не более трёх простых
чисел»
Почти 200 лет выдающиеся учёные пытались разрешить проблему Гольдбаха-Эйлера, но безуспешно. Многие пришли к выводу о невозможности её решить.
Но решение её, и почти и полностью, было найдено в 1937г. советским математиком И.М. Виноградовым.
Иван Михайлович Виноградов является одним из крупнейших современных математиков. Им написано более 120 различных научных работ. В них он разрешил много задач, над которыми учёные всего мира трудились десятки и сотни лет, в том числе и в области простых чисел.
За заслуги в области математики И.М. Виноградов всеми учеными мира признан одним из первых математиков современности.
Глава 3.
Задачи на НОК и НОД
Как НОК и НОД чисел помогают решать интересные разнообразные задачи?
Оказывается, есть задачи, в которых, на первый взгляд, эти понятия и не используются, а на самом деле с их помощью легко решаются.
При исследовании вопроса об использовании НОК и НОД чисел я распределил все задачи на следующие группы:
решение текстовых задач;
задачи на сократимость дробей;
задачи на вычисление НОК и НОД чисел;
решение уравнений;
Коротко опишем, на чём основано решение каждого вида задач. Текстовые задачи решаются на основе определения понятий и их свойств. Какой либо алгоритм решения трудно предложить, но в основном нужно опираться на логику вопроса.
Задачи на сократимость дробей можно решить несколькими способами:
Разложением на множители числителя и знаменателя;
Применение алгоритма Евклида;
На основе свойств НОК и НОД чисел;
Выделение целой части непосредственным делением числителя на знаменатель дроби.
Вычисление НОК и НОД чисел осуществляется на основе разложения чисел на простые множители и использовании свойств НОК и НОД чисел можно найти, используя алгоритм Евклида.
При решении уравнений нужно постараться применить метод разложения на множители, и сделать перебор возможных случаев. При решении систем уравнений постараться, как и в уравнениях осуществить разложение на множители в виде произведения двух натуральных чисел вида dn и dm, где а =dn, b= dm, где d-делитель чисел a и b, m и n –взаимно простые числа и, используя общие методы решения систем, а также свойства НОК и НОД чисел найти соответствующие пары решений системы. Напомним определение понятий и некоторые свойства.
Определение.
Число c называется наибольшим общим делителем для чисел a и b, если оно является наибольшим делителем и для числа a, и для b.
НОК (a; b)= c, a, b, c €N
Число c называется наименьшим общим кратным чисел a и b, если оно является наименьшим из чисел, кратных как для a, так и для b.
НОК (a; b) = c; a, b, c € N
Пример 1: Найдём НОД (16;24). Раскладываем числа 16 и 24 на простые множители.
16=24 24=23*3 16=2*2*2*2* 24=2*2*2*3 НОД(16;24)=8
Пример 2: Найдём НОК (63;18).Раскладываем числа 63 и 18 на простые множители. 63=7*3*3 18=2*3*3 Возьмём любое из чисел и умножим на число недостающее этому числу. 63=3*3*7 18=3*3*2
НОК(63;18)=3*3*7*2=9*7*2=63*2=126 Для НОД и НОК чисел соответствуют некоторые утверждения:
Если a и b€N, причём a: b, то НОД (a: b)=b, a НОК (a; b)=a.
Если а и b€N такие, что a>b, то НОД (a; b)=НОД (a- b; b).
НОД (a; b)=ab.
На первых двух утверждениях основывается алгоритм Евклида.
Некоторые свойства НОД и НОК чисел.
Любое общее кратное чисел (€N) делится на НОК чисел.
Если НОК (a;b)=k и m€N, то НОК (am;bm)=bm.
Если НОД (a;b)=d то НОК (a/d;b/d)=k/d.
Если a:c и b:c, то ab/c - общее кратное чисел a и b.
Для любых a и bЭN выполняется равенство НОД (a;b) НОК (a;b)=ab.
Любой общий делитель чисел a и b являются делителем НОД (a; b).
Утверждения 1-3.
Если числа a и b разделить на НОД (a;b) они будут взаимно просты.
Если НОД (a;b)=1, то НОД (ac; b)=НОД (c; b),c- натуральное.
Справедливо НОД (a;b)=НОД (a+mb, b),где m-целое число.
Чтобы найти НОК (a. b, c.. .k) можно: обозначить НОК (a;b)=М1НОКТ (М, с)=М2....НОК (М; к)= Мn-1 ,то НОК (a, b, c,….k)=Mn-1
Простые и составные числа.
Определение.
Число а, которое имеет только 2 делителя: 1, а (не больше) называется простым.
Число а, которое имеет 3 делителя и более называется составным.
Например, 3-простое т.к. имеет 2 делителя: 1,3.
А число 18-составным т.к. имеет 6 делителей: 1,2,3,6,9,18.
Свойства:
Пусть a и b взаимно просты, то НОД (a; b)=1
Пусть a и b взаимно просты, то НОК (a; b)=ab
Два простых числа взаимно просты.
Пусть a-простое, b-составное и b не кратно a, то НОД (a;b)=1, НОК (a;b)=ab
Пусть a-простое, b-составное b<a,то НОД (a;b)=1, НОК (a;b)=ab
Любые 2 последовательных числа взаимно просты.
*Решение текстовых задач с помощью НОК и НОК чисел.
№1
Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2-72 км, причём их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющихся условий задачи.
Решение: Очевидно, нужно найти НОД (56;72) 56=2*2*2*7; 72=3*3*2*2*2 НОД (56;72)=8 Скорость равна 8 км/ч Ответ: 8 км/ч.
№2 На столе лежат книги, число которых меньше, чем 100. Сколько лежит книг, если известно, что их можно связывать пачки по 3, по 4, и по 5 штук?
Решение: Очевидно, нужно найти НОК (5;4;3) НОК (5;4;3)=3*4*5=3*20=60. Ответ: 60 штук.
№3 Теплоход «Суворов» свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход «Горький» за 12 дней, а теплоход «Киров» за 18 дней. Через сколько дней теплоходы снова встретятся в порту, если они ушли в рейс одновременно?
Решение: Найдём НОК (8;12;18), для этого разложим на множители числа 24=2х2х2х2х3, 18=2х3х3. Имеем: НОК (8;12)=24, а НОК (8;12;18)=НОК (24;18)=24х3=72 (дня). Ответ: теплоходы встретятся через 72 дня.
№4 В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец, а шестерня педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать педаль, чтобы шестерни вернулись в своё первоначальное положение?
Решение: Очевидно, нужно найти НОК (21;44). 21=3*7; 44=2*2*11. НОК (21;44)=924. Так как задача указывает на обороты педали, а не шестерни колеса, то 924:44=21 (оборот). Ответ: наименьшее число оборотов равно 21.
№5 Два автобуса одновременно отпраляются от одной площади по разным маршрутам. У одного рейс туда и обратно длится 48 минут, а у другого 1 час 12 минут. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой площади?
Решение: Найдём НОК (48;72). 48=2*2*2*2*3, 72=2*2*2*3*3, НОК (48;72)=2*2*2*2*3*3=144 (минуты). 144 минуты =2 часа 24 минуты. Ответ: автобусы снова встретятся на этой площади через 2 часа 24 минуты.
№6 Саша ходит в бассейн один раз в три дня, а Вася один раз в четыре дня, Ваня-в 5 дней. Они встретились в бассейне в этом понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?
Решение: Чтобы узнать через сколько дней они встретятся нужно найти НОК (3;4;5). Так как числа имеют только один общий делитель равный 1, то наименьшее общее кратное равно их произведению, есть НОК (3;4;5)=60 (дней). Так как они встретятся только в один день количество дней в неделю, то есть 60:7=8 (ост.4). Понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.
0 1 2 3 4 Ответ: ребята встретятся через 60 дней, в пятницу.
№7 Если участники демонстрации построятся по 10 человек в ряд, то 1 человек останется лишним. Если они построятся по 9 человек в ряд, то опять один человек останется лишним. То же самое произойдёт, если они построятся по 8,7,6,5,4,3 и, наконец, по 2 человека в ряд. Всего их меньше 5 тысяч. Сколько их?
Решение: Пусть х-число демонстрантов. Число (х-1) делится на 2,3,4,5,6,7,8,9. Поэтому (х-1) кратно НОК чисел 2,3,4,5,6,7,8,9. НОК (2,3,4,5,6,7,8,9)=23 -32 -5-7=2520. Тогда х-1=2521; х=2521. Больше решений нет т.к. число демонстратов меньше 5000. Ответ: 2521 человек.
Заключение
В своей исследовательской работе «Непростые задачи с простыми числами» изучена история, свойство простых чисел. Мы выяснили, что указать самое большое простое число невозможно, т.к. они бесконечны.
Подводя итог выше сказанному, нам бы хотелось отметить, что данная работа расширила наш кругозор, углубила наши знания в области истории простых чисел. Исследования, проводимые выдающимися учёными математиками, начиная с древних времён до наших дней, оказались интересными и познавательными. Вывод, к которому мы пришли: простые числа - это как бы часть мозаики, из которых строятся остальные натуральные числа. Таким образом, простые числа, казавшиеся когда-то бессмысленным понятием, не только приобрели характер, но и оказались мощным средством, ускоряющим развитие науки.
Многие математики искали магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда и ими доказано:
1) нет самого большого простого числа;
2) нет последнего простого числа, после которого все числа были бы составными.
Итак, число простых чисел бесконечно.
В ходе работы нами были найдены простые числа, больше числа 997 путем освоения метода «Решето Эратосфена» и составлен кроссворд по данной теме.
Список литературы
Энциклопедия для детей Т.-2.
Главный редактор М.Д.Аксёнова, М.: Аванша плюс, 2000г. «Великий мастер индукции Леонард Эйлер»
