Применение метода интервалов для решения неравенств.
Цель урока: рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств различных типов.
Задачи урока:
1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.
2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для их применения в новой ситуации.
3. Развивать у учащихся математическое мышление (умение наблюдать, выделять существенные признаки и делать обобщения).
4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач.
Оборудование и материалы: компьютер, проектор, экран, [link] для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.
Ход урока
1. Устная работа
О [pic] тветить на вопросы:
1. По графику найти ООФ.
2. По графику найти множество значений.
3.Где функция принимает положительные значения? Где отрицательные?
4. Определить нули функции. ( слайд №1)
2. Повторение и закрепление пройденного материала.
1) Повторение применения метода интервалов для решения неравенств (слайд 3).
2) Контроль усвоения материала (самостоятельная работа). (Слайд 5).
Вариант 1.
Решите методом интервалов неравенства:
а) [pic] б) [pic]
Вариант 2.
Решите методом интервалов неравенства:
а) [pic] б) [pic]
Самопроверка самостоятельной работы (слайды 6)
3. Изучение нового материала.
Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Сегодня рассмотрим этот метод для рациональных функций.
Рациональная функция – это отношение двух многочленов. Например:
[pic] или [pic] . Они обладают хорошим свойством : сумма, разность, произведение и частное тоже рациональная функция.
Рассмотрим график непрерывной функции. (слайд7)
// График функции на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги».//
Свойство непрерывных функций. Если на интервале (a ; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. На этом свойстве основан метод решения неравенств с одной переменной – метод интервалов.
Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:
[pic] .Если решать этот пример методом равносильных переходов (слайд8)
[pic] или [pic]
[pic] или [pic] или [pic] или [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic]
Решение оказалось весьма громоздким. Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.
АЛГОРИТМ:
1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x).
2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл).
3) Найти корни функции (нули функции).
4) Определить интервалы знакопостоянства.
5) Определить знак функции на каждом интервале.
6) Выписать значения х, при которых неравенство верно.
Решим этот же пример методом интервалов.
4. Закрепление
1) № 1393(1), № 1394 (1)
2) Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере. (слайд 9)
Решим неравенство [pic]
Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель [pic] , то говорят, что х0 - корень многочлена кратности .
Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.
Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности - одной чертой.
[pic]
Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси
[pic]
Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:
[pic]
Ответ [pic] (слайд 9)
3) Для закрепления решим следующие примеры (слайд 10)
[pic] [pic]
4) Проверим их решения. (слайд 11)
5) Обобщая наблюдения, приходим к важным выводам (слайд 12)
• Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.
• При четном k многочлен справа и слева от имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),
• При нечетном k многочлен справа и слева от имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).
5. Закрепление:
Самостоятельная работа в группах.
1 вариант: 2 вариант
1. [pic] 1. [pic]
2. [pic] 2. [pic]
3. [pic] 3. [pic]
4. [pic] 4. [pic]
Д/З :- Выучить правило расстановки знаков
- №№ 1393(2), 1394(3)
-Подумайте, как имея готовую диаграмму знаков построить эскиз графика?
Рефлексия:
1. Какой метод решения неравенств мы рассмотрели на уроке?
2. Какие моменты остались непонятными?
3. Уверены ли Вы, что справитесь с заданиями?
Литература
1Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений. –М.: Просвещение, 2010.-384с.
2. Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. - М.: ВАКО, 2010 - (В помощь школьному учителю).
3. Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru
4. Изображение кота http://s39.radikal.ru/i084/1008/34/683cd4886d3f.jpg
