Тема: Решение рациональных неравенств методом интервалов
Цель: сформировать умения решать рациональные неравенства методом интервалов
Задачи:
Образовательные: повторение основных приемов преобразования и решения рациональных неравенств методом интервалов.
Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, выработка математической зоркости и критичности мышления.
Воспитательные: воспитание трудолюбия, интереса к предмету, умения внимательно выслушивать ответы.
Ход урока.
1.Организационный момент.
2.Актуализация знаний.
Пример 1: Решим неравенство (х + 6) (х + 1) (х – 4) ˂0
Для его решения можно воспользоваться свойством чередования знаков функции.
Отметим на координатной прямой нули функции
-6 -1 4 x
Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4), (4; +∞). Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка (4, +∞), так как в нем значение функции
f (х)=(х+6)(х+1)(х-4) заведомо положительно. Это объясняется тем, что при значениях х, взятых правее наибольшего из нулей функции, каждый из множителей х+6, х+1 и х-4 положителен. Используя знания чередования знаков, определим, двигаясь по координатной оси справа налево, знаки данной функции в каждом из остальных промежутков.
- + - +
-6 -1 4 x
Множество решения неравенства (х+ 6) (х+ 1) (х – 4) ˂0 является объединение промежутков
(-∞; -6) и (-1;4)
Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Пример 2: Решим неравенство (х+8)(х-1)2(х-5)˂0
Левая часть этого неравенства представляет собой произведение, в которой входит множитель (х-1)2. Этот множитель при любом значениях х, кроме 1,является положительным числом. Поэтому при всех х≠1 произведение (х+8)(х-5). Значит, данное неравенство равносильно системе
{
Применив к неравенству (х+8)(х-5)˂0 метод интервалов, найдем, что множество его
+ ― +
―8 5 х
Чтобы найти все решения неравенства необходимо из промежутка (-8;5) исключить число 1.
+ ― +
―8 1 5 В результате получим (-8;1)ᴗ(1;5)
Пример 3: Решим неравенство (х2+9)(5-х)(х+)˂0
В произведение (х2+9)(5-х)(х+) входит множитель х2+9, который при любых х принимает положительное значение. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству (5-х)(х+)˂0
Приведем последнее неравенство к виду
―(х-5)(х+)˂0,
(х-5)(х+)>0.
Применим метод интервалов
+ ― +
― 5
Ответ: (―∞; ―)ᴗ(5;+∞)
3. Выполнения заданий
Решить неравенство методом интервалов
(х+7)(х+1)(х-4)˂0
х(х+8)(х-8)>0
(х+9)(х-2)(х-15)˂0
(х+)(х-)(х-4)˂0
―4(х+0,9)(х-3,2)˂0
(7х+21)(х-8,5)˂0
(х2+1)(хх-8)˂0
Х2(х+7)(х-5)˂0
Найдите при каких значениях х
а) произведение (х+48)(х-37)(х-42) положительно
б) произведение (х+0,7)(х-2,8)(х-9,2) отрицательно
При каких значениях х имеет смысл выражение:
√(2х+5)(х-17)
√х(х+9)(2х-8)
Д/З (х+3)2(х-2)˂0
(х-2)(х-5)(х-12)>0
(х+10)(х+2)(х-3)(х-14)˂0
(х2+17)(х-6)(х+2)>0
