[pic]
Найдем такие значения x, при которых график функции (1) лежит выше графика функции (2):
Ответ: .
Способ 2. Алгебраический.
1) Если , то неравенство верно на ОДЗ:
2) Если , то возведем обе части неравенства с не отрицательными частями в квадрат, при этом знак неравенства сохраниться.
Получим:
Замечание. В данном случае, условие существования выражения , записывать в систему необязательно, благодаря наличию в ней неравенства .
3) Объединим полученные результаты:
Ответ: .
Краткая запись решения может быть следующей:
или
Объединим полученные результаты:
Ответ: .
Замечание. По аналогичной схеме можно оформлять решение иррациональных неравенств вида:
,
(nнатуральное число)
Способ 3. Замена переменных.
Пусть , тогда , .
Решим систему неравенств:
Тогда:
Ответ: .
Способ 4. (метод интервалов).
Рассмотрим функцию и найдем такие значения х, при которых f(x) > 0.
1) D(f): ;
2) Нули функции:
Решим уравнение
3) (положительное число), значит -3 является решением неравенства.
(так как не является нулём функции, то проверка этого числа на «решение» обязательна)
, [pic]
Ответ: [ -3; 1) .
Справочная таблица решения некоторых видов иррациональных неравенств
Пусть n – натуральное число, f(x) и g(x) – функции от переменной х.
I. Неравенство вида :
II. Неравенство вида :
III. Неравенство вида :
IY. Неравенство вида :
Y. Неравенство вида :
YI. Неравенство вида :
Замечание. Для решения нестрогих неравенств можно использовать равносильный переход к совокупности, например:
если n=2k, где k – натуральное число, то
Задача 2. Решите неравенство:
.
Решение
Способ 1. (метод интервалов).
Рассмотрим функцию и найдем такие значения х, при которых f(x) ≤ 0.
1) D(f): ;
2) Нули функции:
Решим уравнение
(так как неравенство нестрогое, то нуль функции является решением неравенства)
3) (положительное число), значит -3 не является решением неравенства.
(так как не является нулём функции, то проверка этого числа на «решение» обязательна)
,
[pic]
Ответ: [1; +)
Способ 2. (по схеме).
Ответ: [1; +)
Задача 3. Решите неравенство:
.
Способ 1. (метод интервалов).
Решение.
Рассмотрим функцию и найдем такие значения х, при которых .
1) D(f):
2) Нули функции: решим уравнение
(так как неравенство нестрогое, то нули функции являются решениями неравенства)
3) ,
[pic]
Ответ: .
Способ 2. (алгебраический)
1) ОДЗ:
2) Проверим крайнюю точку ОДЗ: решение неравенства (проверка).
3) Если , то .
Учитывая это условие, решим систему:
,
.
4) Объединяем полученные результаты:
.
Ответ: .
Замечание. Обратим внимание на частые рассуждения,
приводящие к потере решений:
т.к. , то , тогда , получаем.
Произошла потеря решения .
Избежать таких ошибок в рассуждениях можно используя равносильный переход к совокупности (см. способ 3).
Один из вариантов оформления предлагается ниже.
Способ 3. (переход к совокупности)
или
или или
нет решений
Ответ: .
Задача 4. Решите неравенство:
.
Способ 1. (метод интервалов).
Рассмотрим функцию и найдем такие значения х, при которых .
1) D(f):
2) Нули функции:
Решим уравнение
(так как неравенство нестрогое, то нули функции являются решениями неравенства)
3) ;
[pic]
Ответ: .
Способ 2. (алгебраический)
1) ОДЗ:
2) Проверим крайние точки ОДЗ:
а) решение неравенства (проверка);
б) решение неравенства (проверка).
3) Если , то .
Учитывая это условие, решим систему:
,
.
4) Объединяем полученные результаты:
.
Ответ: .
Задача 5. Решите неравенство
.
Способ 1. (метод интервалов).
Решение.
Рассмотрим функцию .
1) D(f):
2) Нули функции:
(посторонний корень уравнения нулем функции не является)
3) ;
[pic]
Вывод. - решение неравенства
Ответ: .
Способ 2*. ( используeм вспомогательный тригонометрический аргумент).
.
1) ОДЗ:
2) Пусть , тогда , значит .
Решим неравенство:
Учитывая условие , получим
Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов, на промежутке
Нули функции:
[pic]
Функция – возрастающяя на промежутке , поэтому
Ответ: .
Задача 6*.
http://alexlarin.net/
вариант 130
задача №15
Решите неравенство
.
Способ 1*. (используем вспомогательный тригонометрический аргумент).
1) ОДЗ:
2) Проверим крайние точки ОДЗ:
а) решение неравенства (проверка);
б) не является решением неравенства (проверка).
3) Рассмотрим остальные значения переменной, входящие в ОДЗ, .
Пусть , тогда , значит .
Решим неравенство:
, где ,
Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов, на промежутке
Нули функции:
[pic]
Функция – возрастающяя на интервале , поэтому
4) Объединяем полученные результаты:
Ответ: .
Замечание.
При решении этой задачи можно выполнить и другую замену:
1) ОДЗ:
2) Пусть , тогда , значит .
Решим неравенство:
, где ,
(*)
Для решения неравенства (*) воспользуемся методом интервалов, на промежутке
Нули функции:
нули функции являются решением тригонометрического неравенства (*)
[pic]
Проверим крайние точки:
- не является решением неравенства (*);
- является решением неравенства (*).
Вывод:
Функция – убывающая на отрезке , поэтому
Ответ: .
Задача 7*.
Решите неравенство
.
Решение.
Воспользуемся методом, основанным на использовании векторов.
Заметим некоторое сходство каждого из слагаемых данного неравенства с выражением, по которому можно вычислить длину вектора по его координатам
, где .
Пусть и , тогда
и .
Заметим, что , тогда .
Перепишем данное неравенство в виде: , но по свойствам длин векторов .
Вывод: , а такое равенство возможно только в том случае, если вектора и коллинеарные.
Воспользуемся условием коллинеарности двух ненулевых векторов
и , причем ни одна из координат этих векторов в нуль
не обращается:
(единственное решение)
Проверку результата можно выполнить в качестве самоконтроля.
Ответ:
Замечание. Можно увидеть некоторое сходство каждого из слагаемых данного неравенства с выражением, по которому можно вычислить длину отрезка по координатам его концов (расстояние между двумя точками):
.
Тогда возможно введение координат некоторых точек и рассмотрение вопроса о принадлежности этих точек одной прямой.
Такой подход можно применить в некоторых задачах с параметром,
например, связанных с системами уравнений:
№18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно одно решение.
Ответ:
Турков А.Ф.
Заслуженный учитель РФ, учитель математики МАОУ лицей № 38,
г. Нижний Новгород
30.10.2016
