Программа элективного курса
«Избранные вопросы математики».
Пояснительная записка
Программа предназначена для обучающихся физико-математической группы 10 класса и рассчитана на 35 часов. Курс рассчитан на учеников, желающих основательно подготовиться к ЕГЭ и овладеть системой математических знаний и умений, необходимых как при решении базовой части экзаменационной работы, так и части С. Курс предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовкой к обучению в вузе.
Есть много уравнений и неравенств, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся. В данном курсе систематизирован ряд таких приёмов.
Курс «Избранные вопросы математики» ставит своей целью познакомить учащихся с различными, методами решения уравнений, неравенств, систем уравнений, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний, привить ученику навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач.
Изучение курса предполагает прежде всего наполнение его разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение нестандартными приёмами решения уравнений, неравенств, систем уравнений. Значительное место уделено решению задач, отвечающих требованиям ЕГЭ (задания С1 и С3).
В обучении используется дифференцированный подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующий реализации возможностей каждого из них.
Курс состоит из семи глав:
Тождественные преобразования выражений.
Алгебраические уравнения и неравенства.
Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины.
Тригонометрические уравнения.
Решение уравнений в целых числах.
Алгебраические системы.
Содержание программы
Глава 1. Тождественные преобразования выражений.
Разложение многочлена на множители:
Применение формул сокращенного умножения;
Выделение полного квадрата;
Группировка;
Метод неопределённых коэффициентов;
Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам;
Метод введения параметра;
Метод введения новой неизвестной;
Комбинирование различных методов.
Глава 2. Алгебраические уравнения и неравенства.
Линейные уравнения и неравенства. Квадратные уравнения и неравенства. Рациональные уравнения: биквадратное уравнение, симметрические уравнения третьей, четвёртой степени, возвратные уравнения четвёртой степени, метод подбора корней. Решение уравнений методом неопределённых коэффициентов. Общие методы решения неравенств. Рациональные неравенства.
Глава 3. Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины.
Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины:
Раскрытие знаков модулей
Уравнения с модулем.
Неравенства с модулем.
Глава 4. Тригонометрические уравнения.
Метод подстановки. Однородные тригонометрические уравнения. Линейные тригонометрические уравнения. Метод понижения степени. Метод разложения на множители. Уравнения вида f(sin x+ cos x, sin xcos x)=0 и f(sin x-cos x, sin xcos x)=0. Метод разложения на множители.
Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени.
Глава 5. Решение уравнений в целых числах.
Линейные диофантовы уравнения. Решение диофантовых уравнений способом разложения на множители. Решение диофантовых уравнений способом выражения одной неизвестной через другую. Решение диофантовых уравнений как квадратного относительно одной из неизвестных.
Глава 6. Алгебраические системы.
Метод последовательного исключения неизвестных. Метод приведения системы к совокупности более простых систем. Метод замены неизвестных. Введение новых неизвестных. Однородные системы. Симметрические системы.
Учебно-тематическое планирование
1 Тождественные преобразования выражений.
6
2
Алгебраические уравнения и неравенства.
8
3
Тригонометрические уравнения.
10
4
Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины.
4
5
Решение уравнений в целых числах.
4
6
Алгебраические системы.
3
Итого
35
Требования к уровню подготовки обучающихся:
В результате успешного изучения курса учащиеся должны знать:
различные нестандартные методы разложения многочлена на множители;
определения симметрических и возвратных уравнений, их методы решения;
некоторые нестандартные методы решения алгебраических уравнений
обобщённый метод интервалов для неравенств.
метод замены неизвестных различными способами при решении уравнений;
метод сведения некоторых уравнений к системе уравнений относительно новых неизвестных.
основные методы, которые применяются при решении нестандартных алгебраических систем.
Учащиеся должны уметь:
раскладывать многочлены нестандартными методами
решать симметрические уравнения третьей, четвёртой степени, возвратные уравнения;
решать неравенства обобщённым методом интервалов;
применять некоторые искусственные методы для решения алгебраических уравнений.
при помощи замены неизвестных рациональное уравнение сводить к алгебраическому или более простому рациональному уравнению;
в некоторых случаях решение уравнения сводить к решению системы уравнений относительно вводимых новых неизвестных.
анализировать пример;
использовать изученные методы;
объяснять ход решения.
Литература
Белоносов В.С., Фокин М.В. Задачи вступительных экзаменов по математике. – Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета: Сиб. унив. изд-во, 2002.
Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Начала анализа. – М.: Наука, 1990.
Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1999.
Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы. – М.: Дрофа, 2001.
Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. – М.: Столетие, 1995.
Прокофьев А.А., Кожухов И.Б. «Математика», готовимся без репетитора. Москва, Махаон, 2006 г.
Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2001.
Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989.
