Сборник для подготовки к ОГЭ по математике по теме Решение задач с помощью систем линейных уравнений с двумя переменными.

Готовимся к экзаменам: решение задач

с помощью систем линейных уравнений

с двумя переменными.

Содержание.

Раздел 1. Рекомендации при решении текстовых задач с помощью систем линейных уравнений……………………...2

Раздел 2. Старинные задачи……………………………..5

Раздел 3. Задачи на движение и работу………………….6

Раздел 4. Задачи на сплавы, смеси и проценты…………8

Раздел 5. Разные задачи…………………………….…….9

Ответы…………………………………………………….11

Раздел 1. Рекомендации при решении текстовых задач с помощью систем линейных уравнений.

Общая схема решения задач с помощью систем линейных уравнений выглядит так:

1. Для неизвестных величин вводим определенные обозначения и составляем систему линейных уравнений.

2. Решаем полученную систему линейных уравнений.

3. Используя введенные обозначения, записываем ответ.

При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.

Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны – здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.

Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.

Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. Во время исследования была обнаружена всего одна задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена не верно.  

В задачах «на производительность» стоит лишь отметить то, что за производительность трубы принимается объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Также, бывают случаи, когда необходимо принять за неизвестные одновременно объём бассейна, производительность труб и время наполнения бассейна каждой трубой.

Раздел 2. «Старинные задачи».

1. Задача иранского ученого XVI века Бехаэддина: Разделить число 10 на 2 части, разность которых 5.

2. Задача Бхаскары: Некто сказал другу: “Дай мне 100 рупий и я буду богаче тебя вдвое”. Друг ответил: “Дай мне только 10 и я стану в 6 раз богаче тебя”. Сколько рупий было у каждого?

3. Задача из VII книги “Математика”: Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток золота и слиток серебра, золото стало легче на 13 ланов. Спрашивается, каков вес слитка золота и слитка серебра, каждого в отдельности?

4. Задача из книги “Математика в девяти книгах”: Сообща покупают курицу. Если каждый внесет по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый внесет по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.

5. Задача из рассказа А. П. Чехова “Репетитор”: Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?

6. Задача Ал – Хорезми: Найти два числа, зная, что их сумма равна 10, а отношение 4 к 7.

Раздел 3. «Задачи на движение и работу».

1. Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов М и N, расстояние между которыми 38 км. Через 4 ч расстояние между ними сократилось до 2 км, а ещё через 3 ч первому пешеходу осталось пройти до пункта N на 7 км меньше, чем второму до М. Найдите скорости пешеходов.

2. Катер за 4 ч по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 ч против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой реке за 15 ч проплывает такое же расстояние, что и катер за 2 ч по озеру.

3. Теплоход 120 км проходит за 5 ч против течения реки и 180 км за 6 ч по течению. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

4. По течению реки лодка за 3 ч 20 мин проходит расстояние 30 км, а против течения за 4 ч – расстояние 28 км. Какое расстояние по озеру пройдет лодка за 1,5 ч.

5. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

6. Одна машинистка может напечатать рукопись на 3 ч быстрее другой. При совместной работе им потребовалось затратить на перепечатку рукописи 6ч 40 мин. Сколько времени потребуется каждой машинистке, чтобы перепечатать рукопись?

Раздел 4. «Задачи на сплавы, смеси и проценты».

1. Сколько миллилитров 55% раствора уксуса нужно добавить к 500 миллилитрам 1% раствора, чтобы получить 5% раствор уксуса?

2. Сколько килограмм 17% сплава меди нужно добавить к 5 килограммам 10% сплава меди, чтобы получить 12% сплав?

3. Вычислите массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т.е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получим сплав 840-й пробы.

4. Фабрика должна была сшить 360 костюмов. В первые 8 дней она перевыполняла план на 20%, а в остальные на 25%. Сколько дней работала фабрика, если всего сшито 442 костюма?

Раздел 5. «Разные задачи».

1. Периметр прямоугольника равен 26 см. Его длина на 3 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

2. Найдите два числа, если их cумма равна 81, а разность равна 15».

3. Найдите m и n, если среднее арифметическое чисел m и n равно 36 и 1:5 (одна пятая), а разности равна 0,8.

4. Периметр прямоугольника равен 36 см. Его длина на 4 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

5. Найдите два числа, если их сумма равна 72, а разность равна 6.

6. Найдите, x и y если среднее арифметическое чисел x и y равно 22,5 и 1:3 (одна третья) их разности равна одной целой, две третьих.

7. Периметр прямоугольника равен 45 см. Его длина на 4 см меньше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

8. Найдите два числа, если сумма этих чисел равна 25, а произведение равно 14.

9. Число a на 140 меньше числа b, 60 % числа b на 64 больше 70% числа a. Найдите a и b.

10. Периметр треугольника равен 18 см. Его длина равна 3 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

11. Найдите два числа, если их сумма равна 32, а разность равна 71.

12. Найдите k и n, если число k на 215 больше числа n; 80% числа k на 129 больше 60% числа n.

Ответы.

Ответы.

Раздел 2. «Старинные задачи».

1. 7,5 и 2,5.

2. Бхаскар 40, друг 170.

3. Золото:35,75, серебро:29,25

4. 9 человек, стоимость курицы-70 руб.

5. Чёрное сукно-75, синее сукно 63.

6. 6⁴÷11, 3 ⁷÷11.

Раздел 3. «Задачи на движение и работу».

1. 5км/ч, 4км/ч.

2. 18 км/ч

3. 27 км/ч, 3 км/ч.

4. 12 км/ч

Раздел 4. «Задачи на сплавы, смеси и проценты».

1. 4 мл

2. 2 кг

3. 3 кг

4. 18 дней

Раздел 5. «Разные задачи».

1. Длина-8см, ширина-9 см.

2. 33, 48

3. 38, 34

4. 4,8

5. 39, 33

6. 45,20

7. 12,25; 10,25.

9. 200,340

10. 6,9

11. 51,5; 19,5.

12. 0, 215

14