Рабочая тетрадь по темеРешение тригонометрических уравнений

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: ...












[pic]






















Рабочая тетрадь рассчитана на самостоятельное (или под руководством преподавателя) изучение обучающимися темы «Тригонометрические уравнения».

Структура рабочей тетради соответствует разделам «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов.

Рабочая тетрадь включает следующие темы: «Понятие тригонометрического уравнения», «Частные случаи тригонометрических уравнений», «Решение тригонометрических уравнений».

В пособии коротко представлены: теория (более подробно в учебнике), разобранные примеры решений заданий, различные варианты заданий по материалам учебного пособия, позволяющие обучающимся работать самостоятельно.

Даются проверочные задания для закрепления, контроля и самоконтроля знаний обучающихся. Пособие с успехом можно использовать при подготовке к сдаче экзамена, доступная форма изложения позволит быстро восстановить знания.


















Содержание


1. Решение уравнений вида cos x = a


2. Решение уравнений вида sin x = a


3. Решение уравнений вида tg x = a


4. Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному


5. Решение однородных тригонометрических уравнений


6. Проверь себя



























Решение уравнений вида cos x = a


Уравнение cos x = a имеет решение, если −1 ≤ a ≤ 1.


Учитывая периодичность функции косинус, получим множества корней уравнения cos x = a:

[pic]
или
[pic]

[pic]



Частные случаи решения уравнения cos x = a.




Уравнение cos x = a имеет решение при а _____________


Какой формулой выражается это решение? __________________________


Имеет ли решение уравнение cos x = a при [pic] [pic] [pic] 1. ______________


Значение а при решении уравнения cos x = a откладывается на оси ______


В каком промежутке находится arccos a ? _______________________


Arccos (- а) = ________________________________________


Решение уравнения cos x = 1 _______________________________________


Решение уравнения cos x = - 1 ________________________________________


Решение уравнения cos x = 0 _________________________________________



Обрати внимание на решение примеров:

  • cos x = [pic] cos x = - [pic]

х = [pic] arccos [pic] + 2 [pic] n, n [pic] Z х = [pic] arccos (- [pic] ) + 2 [pic] n, n [pic] Z


т.к. arccos [pic] = [pic] , то т.к.. arccos (- [pic] ) = [pic] - [pic] = [pic] , то


х = [pic] [pic] + 2 [pic] n, n [pic] Z х = [pic] [pic] + 2 [pic] n, n [pic] Z


Попробуй решить сам:



cos x = [pic] cos x = - [pic]

________________________ __________________________


_______________________ __________________________


______________________ _ __________________________



cos 4x = 1 cos (x + [pic] ) =0

________________________ _____________________________

__________________________ _________________________________

___________________________­­­­­­­­­­­­ _______________________________

ЗАПОМНИ!



[pic]


















Решение уравнений вида sin x = a


Уравнение sin x = a имеет решение, если −1 ≤ a ≤ 1.

x1 = α1; x2 = α2.
[pic]

Учитывая периодичность функции синус, получим множества корней уравнения

sin x = a:

[pic]
или
 [pic]

[pic]


Частные случаи решения уравнения sin x = a

Уравнение sin x = a имеет решение при а _____________


Какой формулой выражается это решение? __________________________


Имеет ли решение уравнение sin x = a при [pic] [pic] [pic] 1. Ответ ______________


Значение а при решении уравнения sin x = a откладывается на оси ______

В каком промежутке находится arcsin a ? _______________________


Arcsin (- а) = ________________________________________


Решение уравнения sin x = 1 _______________________________________


Решение уравнения sin x = - 1 ________________________________________


Решение уравнения sin x = 0 _________________________________________


Обрати внимание на решение примеров:

  • sin x = [pic] sin x = - [pic]

х = (- 1) [pic] arcsin [pic] + [pic] n, n [pic] Z х = (- 1) [pic] arcsin( - [pic] ) + [pic] n, n [pic] Z

т.к. arcsin [pic] = [pic] , то т.к. arcsin( - [pic] ) = - [pic] , то

х = (- 1) [pic] [pic] + [pic] n, n [pic] Z х = (- 1) [pic] ( - [pic] )+ [pic] n, n [pic] Z

х = (- 1) [pic] [pic] + [pic] n, n [pic] Z

Попробуй решить сам:

sin x = [pic] sin x = - [pic] _______________________ __________________________

________________________ __________________________

________________________ __________________________

sin 2x = - 1 sin (x + [pic] ) = 0

ЗАПОМНИ!

[pic]













Решение уравнений вида tg x = a

Уравнение tg x = a имеет решение при любом а, так как область значений тангенса — вся числовая ось.

Значит, уравнение tg x = a на этом интервале имеет единственный корень. Учитывая, что тангенс периодическая функция, то множества решений уравнения записывают так:

[pic]

tg x — это ордината точки Т, пересечения прямой ОР1 с линией тангенсов Р0Т.

[pic]

В каком промежутке находится arctg a? _________________________________

Общая формула для решения уравнения tg х = а _________________________

arctg (-а) = __________________________________________

Обрати внимание на решение примеров:

  • Tg x = [pic] Tg x = - [pic]

X = arctg [pic] + [pic] n, n [pic] Z. X = arctg (- [pic] ) + [pic] n, n [pic] Z.

Т.к. arctg [pic] = [pic] , то т.к. arctg (- [pic] )= - [pic] , то

x = [pic] + [pic] n, n [pic] Z. x = - [pic] + [pic] n, n [pic] Z.

Попробуй решить сам:


Tg x = [pic]

_________________________________

_________________________________

_______________________________

Tg x = -1

_______________________________

______________________________



ЗАПОМНИ!


[pic]







ТЕБЕ ПРИГОДИТСЯ!!!


Справедливы соотношения:


  • SIN [pic] [pic] = 1 - COS [pic] [pic] (1);

  • COS [pic] [pic] = 1 - SIN [pic] [pic] (2).

Формулы корней уравнения:


  • Sin x = a

(3)

[pic]

  • cos x = a

(4)

[pic]

  • tg x = a

(5)

[pic]


  • ах [pic] + bx + c =0

x = [pic] (6)


Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному.



Рассмотри решение следующих уравнений:


  • 8 sin2 x – 6 sin x – 5 = 0;

Введём обозначение Sin x = a, тогда данное уравнение можно записать в виде 8а [pic] – 6а – 5 = 0.

Решаем это квадратное уравнение относительно а.


а = [pic] ; а [pic] = - [pic] , а [pic] = [pic] .

Следовательно, Sin x = - [pic] или Sin x = [pic] .

  1. Решим уравнение Sin x = - [pic]

х = (- 1) [pic] [pic] + [pic] n, n [pic] Z .

  1. Решим уравнение Sin x = [pic] .

Это уравнение корней не имеет, так как Sin x не может быть больше единицы.

  • 8cos2 x + 6 sin x - 3 = 0;

Заменяя cos2 x через 1 - SIN [pic] х, получим 8(1 - SIN [pic] х) + 6 sin x - 3 = 0;

8 sin2 x – 6 sin x – 5 = 0

Пришли к уравнению, рассмотренному в первом примере.

Попробуй решить сам


3 sin2 x – 5 sin x – 2 = 0;



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 sin2 x + 3 cos x = 0.


_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6 sin2 x – 5 cos x + 5 = 0;

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


cos2 x + 2 sin x + 2 = 0;

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Решение однородных тригонометрических уравнений

. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.

  • Уравнения вида asinx + bcosx = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени;

  • Уравнения вида asin2х + bcosx sinx+ ccos2x = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.


  Ознакомься с решением примеров:

  • 2sinx - 3cosx = 0

Поделив уравнение на cosx [pic] 0, получим 2 tgх – 3 = 0, решаем это уравнение:

Tgх = [pic] , х = arctg [pic] + [pic] n, n [pic] Z.

  • Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

 

3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x,

 

                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

 

                             tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

                              корни этого уравнения:  y1 = 1,  y2 = 3,  отсюда

                             1)   tg x = –1,                  2)  tg x = –3,

                              

x = - [pic] + [pic] n, n [pic] Z . x = - arctg 3+ [pic] n, n [pic] Z

Попробуй решить сам:


  • [pic] cos x + sin x = 0

_______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

______________________________________________________________

  • sin x = 2 cos x

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________ ______________________________________________________________

______________________________________________________________

  • 3 sin2 x – 4 sin x cos x + cos2 x = 0;

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

  • 6 sin2 x = 5 sin x cos x – cos2 x

_______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Запомни!

Алгоритм решения уравнения a sin2+ bcosxsinx+ ccos2x =0

  1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2х.

  2. Если этот член содержится, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующем введением новой переменной y =tgx.

  3. Если asin2х не содержится, то уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки.



ПРОВЕРЬ СЕБЯ


  1. Решите уравнение, упростив левую часть:


а) cos [pic] x - sin [pic] x = [pic] ; б) 2 sin [pic] x cos 2x = 1;

в) sin 3x cos (x + [pic] ) + cos 3x sin (x + [pic] ) = 0.


  1. Решите уравнение, сделав подстановку:


а) 2sin [pic] x – 5sin x + 2 = 0; б) 2 cos [pic] x + 5 sin x – 4 = 0;


в) cos 2x + 5 sin x – 3 = 0; г) 2 tg x + 2 ctg x = 5.


  1. Решите уравнение методом разложения на множители:


а) 5 sin x + 3 sin 2x = 0; б) sin 7x – sin x = 0;


  1. Решите уравнение, используя однородность:


а) sin x - [pic] cos x = 0;


б) sin [pic] x – 3 sin x cosx + 2 cos [pic] x = 0;


в) sin x cos x - [pic] cos [pic] x = 0;




16
Читать полностью »