Элективный курс «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» для 9 класса

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Новодемкинская средняя общеобразовательная школа

имени Назипа Думави» Аксубаевского муниципального района

Республики Татарстан

«Расмотрено» «Утверждено» «Согласовано»

на заседании ШМО директор МБОУ Член районной

Руководитель ШМО «Новодемкинская СОШ» экспертной группы

_________________ _____________________ элективных программ

Г.И.Сафина Э.З.Хайрутдинова __________________

Протокол №___от от «___»__________2012г. Г.А.Хузахметова

«___»___________2012г. Приказ№____от

«____»___________2012г.

Элективный курс

«Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

для 9 класса

Выполнила: учитель математики высшей квалификационной катего-рии МБОУ «Новодемкинская сред-няя общеобразовательная школа имени Назипа Думави» Аксубаев-ского муниципального района Республики Татарстан

Хайбуллина Роза Хизбулловна

2012 г.

Пояснительная записка

В содержание среднего образования России вносятся существенные изменения, в частности, в программу по математике основной школы включаются теория вероятностей и элементы статистики. Теория вероятностей-это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея - о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что складывается впечатление, что все события предопределены и закономерны.

Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъемы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Впрочем, мысль о том .что в окружающем мире много случайного, останется очевидной, но бесплодной, если не научиться измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Теория вероятностей в средней школе -это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жестких связях, и о случайном. Без знаний понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики.

Данный элективный курс разработан в рамках предпрофильной подготовки для ориентации учебно-воспитательного процесса на удовлетворение потребностей учащихся в углублении их знаний, умений и навыков по математике и готовит обучающихся к переходу в старшем звене на профильный уровень обучения. Он предназначен для учащихся 9 класса и рассчитан на 10 часов.

Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать задачи практического характера: представление данных в таблицах и диаграммах; описательная статистика; случайные события и вероятность; математическое описание случайных событий; вероятности случайных событий; сложение и умножение вероятностей; элементы комбинаторики. Он развивает умение работать с информацией, представленной в виде таблиц, графиков, диаграмм, производить интерпретацию результатов, полученных при исследованиях и опросах общественного мнения.

Задачи по теории вероятности и комбинаторике входят в состав ГИА(ЕГЭ) по математике.

Данный курс направлен на реализацию межпредметных связей, углубленного изучения многих вопросов, поможет учащимся быстрее войти в проблематику новой содержательной линии школьного курса математики, проявить интерес к данному разделу математики и ее приложениям, почерпнуть дополнительные знания и расширить свой кругозор, изучая новый курс.

Цели элективного курса:

1. Формирование умений решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а так же использовать правила умножения, известные формулы.

2. Закрепление полученных знаний в результате изучения теоретических приложений на примере решения прикладных задач.

3. Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для продолжения образования.

4. Формирование качеств прикладного стиля мышления, необходимого для продуктивной жизни в обществе.

5. Формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.

6. Развитие школьников с разделом дискретной математики на популярном уровне.

Задачи элективного курса:

1. Расширение представлений учащихся об элементах комбинаторики, методах решения задач нетрадиционного курса математики.

2. Убеждение их в практической значимости владения основными приемами решения задач с опорой на ребенка на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на их реальный жизненный опыт.

3. Формирование представлений учащихся об объективности математических соотношений, встречающихся в реальной действительности.

4. Расширение своего кругозора и мировоззрения.

5. Реализация внутрипредметных связей.

6. Облегчение подготовки учащихся к экзаменам как в школе, так и при поступлении в общеобразовательные учреждения после окончания школы.

Формы обучения:

1. Лекции

2. Работа в группе

3. Практикумы по решению задач

4. Самостоятельная работа

5. Тестирование

После изучения курса учащиеся должны:

• Знать основные понятия теории вероятностей и математической статистики.

• Уметь вычислять вероятности событий, пользуясь различными определениями вероятности и формулами.

• Видеть в конкретных научных, технических, житейских проблемах вопросы, задачи, допускающие решения методами теории вероятностей, уметь формулировать и решать такие задачи.

• Уметь представить событие в виде комбинации нескольких элементарных событий.

• Уметь использовать приближенные формулы для вычисления вероятностей.

• Различать дискретные и непрерывные случайные величины.

• Уметь находить числовые характеристики случайных величин.

• Уметь решать простейшие задачи математической статистики.

• Уметь интерпретировать полученные результаты.

Формы организации учебных занятий:

На занятиях предполагается использование различных форм активного обучения: учебные исследования, опрос общественного мнения, интерактивные занятия.

Формы контроля

Текущий контроль проводится в форме собеседования с учащимися по решению практических задач.

Тематический контроль предполагает проверку выполнения тестовых заданий, самостоятельных работ.

Итоговый контроль происходит в форме выполнения итогового теста.

Возможные критерии оценок.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие.

Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями уча­щийся продемонстрировал умение работать самостоятельно, твор­чески. Как правило, для получения высокой оценки учащийся дол­жен показать не только знание теории и владение набором стан­дартных методов, но и известную сообразительность, математи­ческую культуру.

Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными за­даниями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные по­ложительные результаты, свидетельствующие об интеллектуаль­ном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно ус­пешно выполнять простые задания.

Учебно – тематическое планирование

Кол-во часов (теор./ практ.)

Вид занятия

1

Описательная статистика. Статистические характеристики:

• среднее арифметическое,

• размах,

• мода,

• медиана,

• дисперсия

3

(1/2)

Беседа

Решение задач

Практическая работа

2

Статистические исследования:

• сбор и группировка данных,

• наглядное представление информации,

• диаграммы.

1

(-/1)

Беседа

Решение задач

Практическая работа

3

Элементы комбинаторики:

• правило умножения,

• перестановки, факториал,

• размещения,

• сочетания.

2

(1/1)

Лекция

Решения задач

4

Элементы теории вероятностей

• случайные события,

• элементарные события,

• противоположные события, диаграммы Эйлера

• несовместные события.

2

(1/1)

Лекция

Решение задач

5

Задачи по теории вероятностей и комбинаторике в ГИА

1

(-/1)

Практическая работа

6

Итоговое занятие

1

(-/1)

Итоговый тест

Содержание программы.

На изучение данного курса отводится 10 часов.

Тема 1. Описательная статистика. Статистические характеристики:

среднее арифметическое, размах, мода, медиана, дисперсия ( 3ч.)

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Методы обучения: выполнение тренировочных задач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 2. Статистические исследования: сбор и группировка данных, наглядное представление информации. Построение столбчатых и круговых диаграмм, графиков (1 ч.)

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Методы обучения: выполнение тренировочных задач, творческие задания.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 3. Элементы комбинаторики. Задачи по комбинаторике, факториал, перестановки, размещения, сочетания. Правило умножения (2 ч.)

Форма занятий: лекция, устные упражнения, письменные упражнения.

Методы обучения: выполнение тренировочных задач, творческие задания.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа

Тема 4. Элементы теории вероятности: случайные события, элементарные события, достоверные и невозможные события, противоположные события, диаграммы Эйлера, несовместные события. Статистическое и классическое определения вероятности. (2ч.)

Форма занятий: лекция, устные упражнения, письменные упражнения.

Методы обучения: выполнение тренировочных задач, творческие задания.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 5. Задачи по теории вероятности и комбинаторике в ГИА(1ч.)

Форма занятий: объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.

Методы обучения: выполнение тренировочных задач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Итоговое занятие.(1ч.)

В процессе изучения тем элективного курса обучающиеся составляют задачи по изученному материалу, решают их. На итоговом занятии защита презентации «Задачи по статистике, комбинаторике и теории вероятностей» и выполнения итогового теста..

Тема 1. Описательная статистика. Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана, дисперсия (3ч.)

Занятие 1

Тема: «Среднее значение».

Цель урока: формирование у учащихся понятия среднего арифметического числового набора, умения находить среднее арифметическое.

Ход урока.

1. 1. Объяснение нового материала.

1.Рассматриваются данные о производстве пшеницы в России в 1995-2001гг. (таблица 1).

Таблица 1 Производство пшеницы в России в 1995-2001г.г.,

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

Производство млн.тонн

30,1

34.9

44,3

27,0

31,0

34,5

47,0

Как видно из таблицы 1, производство пшеницы в разные годы различается.

Вопрос: как вы думаете, почему производство пшеницы в разные годы различается, от чего это зависит. (Погодные условия, площади посева, внесение удобрений, обработка от вредителей и т.п.).

Делается вывод о том, что для полного представления о производстве пшеницы в стране лучше использовать среднее значение за ряд лет. Вычисление среднего значения. Найденное значение называется средним арифметическим. Даётся определение среднего арифметического.

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

2.Графическое изображение наборов чисел и среднего арифметического на числовой прямой. Среднее арифметическое - точка равновесия.

Средний урожай ( 35,5)

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

25 30 35 40 45 50 Рис.1

Вывод: среднее арифметическое числового набора характеризует в целом положение этого набора на числовой прямой.

3.Числа в наборах часто приходится обозначать буквами с порядковым номером. Например, набор чисел х1,х2,х3,…..,хn или у1,у2,у3,…..,уn. Номера чисел называются индексами. Среднее арифметическое принято обозначать ͞х. Тогда среднее арифметическое набора чисел х1,х2,х3,…..,хn запишется так:

͞х=(х1 + х2 + х3 +…..+ хn) : n , где n-количество чисел в данном наборе данных.

2. Закрепление изученного материала.

1. №№. 1 – 3 (устно).

2. №№5,7.

3. Итоги урока.

4. Домашнее задание.

Выучить определение среднего арифметического, выполнить письменно №№4.6.

Занятие 2

Тема: «Медиана. Мода. Размах».

Цель урока: ввести понятие медианы числового набора и сформировать умение находить медиану.

Ход урока.

1. Проверка домашнего задания.

Фронтально проверить выполнение домашнего задания. Задания, вызвавшие затруднения, вынести на доску.

2. Актуализация опорных знаний.

Что называется средним арифметическим числового набора? Может ли среднее значение не совпадать ни с одним из чисел набора?

№8

Вычислите среднее арифметическое чисел. Отметьте числа и среднее значение обоих наборов на числовой прямой.

а) 1,2,3,4,5. б) 1,2,3,4,100.

а) ͞х=3; б) ͞х=(1+2+3+4+100):5=22

Среднее значение первого набора показывает расположение чисел набора и их центра. А вот среднее значение второго набора не будет описывать основной ряд чисел, так как есть одно резко выделяющееся значение (выброс) 100.

3.Объяснение нового материала.

1.Среднее арифметическое – не единственная мера положения набора чисел на числовой прямой. Если есть выбросы, то надежной статистической характеристикой данного набора является медиана - «середина».

Дать определение и обозначение медианы.

Медианой набора n различных чисел называют такое число(скажем m), которое обладает следующим свойством: количество чисел набора, меньших либо равных m, равно количеству чисел набора , больших либо равных m. Медианой набора n различных чисел (среди которых могут быть совпадающие)называется: а) число, стоящее посередине (на месте с номером[n/2]+1) в упорядоченном по возрастанию ряду этих чисел, если n нечетно. б) полусумма чисел, стоящих на средних местах( с номерами n/2 и n/2+1) в упорядоченном наборе этих чисел, если n четно.

Вывод: медиана практически не чувствительна к значительным отклонениям отдельных крайних значений наборов чисел (всё равно показывает среднее типичное значение). В статистике это свойство называется устойчивостью. Устойчивость статистического показателя – очень важное свойство. Оно страхует нас от случайных ошибок и отдельных недостоверных данных.

2.Мода – число, которое встречается в данном наборе чаще других.

3. Иногда интересны не только средне значения или медианы, но и другие величины, связанные с наборами различных чисел. Для этого нужно знать именно наибольшие и наименьшие значения. В спортивных соревнованиях (бег, прыжки в длину и в высоту и т.п.). При проектировании моста нужно знать максимальный уровень подъёма воды в реке. Часто бывает важно знать не только «среднее», «типичное» значение в наборе чисел, но и иметь представление о том, насколько числа в наборе отличаются друг от друга или от «среднего», «типичного значения». Самый простой такой характеристикой является размах.

Разность между наибольшим и наименьшим числом называется размахом набора чисел.

Размах- ещё одна статистическая характеристика набора данных. Размах показывает, насколько велико рассеивание (разброс) значений в числовом наборе.

4. Закрепление изученного материала.

1. №9.

На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки: 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3. Для полученного набора чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

Ответ. Среднее арифметическое ͞х ≈ 5,32 характеризует средний уровень оценок. Размах 5,5-5,1=0,4 характеризует разброс оценок, а мода равна 5,4 – оценка, встречающаяся чаще других.

2. №11.

Найдите наибольшее и наименьшее значения, размах, среднее значение, медиану и моду набора чисел: 17; 19; 5; 41; 47; 13; 19.

Для нахождения медианы упорядочим данный набор чисел: 5; 13; 17; 19; 19; 41; 47.

Ответ: xmax=47; xmin=5; R=47-5=42; ͞x=(17+19+5+41+47+13+19):7=23; m=19; moda=19.

3)№12.

Найдите моду набора чисел: а) 5; 2; 4; 5; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5; б) 2; 3; 4; 5.

Ответ: а) мода равна 5; б) данный набор моды не имеет.

5.Итоги урока.

6.Домашнее задание. Выучить определение медианы, моды и размаха, №№.10,13.

Занятие 3

Тема: « Дисперсия. Обозначения и формулы».

Цель урока: ввести понятие дисперсии и сформировать умение находить дисперсию числового набора.

Ход урока.

1.Проверка домашнего задания.

Фронтально проверить выполнение домашнего задания. Задания, вызвавшие затруднения, вынести на доску.

2.Актуализация опорных знаний.

Что называется размахом числового набора?

№14.

Температура на планете Меркурий колеблется от минус 150 градусов Цельсия до плюс 350. Найдите размах изменения температуры на планете.

Ответ: 350-(-150)=500 градусов Цельсия.

№15.

Размах некоторого числового набора равен нулю. Что можно сказать про этот набор?

Ответ: все числа этого набора одинаковые.

№16. Известно, что набор состоит из натуральных чисел. Может ли для этого набора быть дробным числом: а) мода; б) размах; в) медиана; г) среднее арифметическое?

Ответ: а) нет; б) нет; в) да; г) да.

Что такое упорядоченный набор чисел? Что называется медианой упорядоченного набора чисел? Может ли медиана не совпадать ни с одним из набора чисел? Какое число является медианой упорядоченного набора, содержащего нечётное количество чисел? Чётное количество чисел? Когда медиана точнее характеризует набор в целом, чем среднее арифметическое? Как выяснить есть ли выбросы в наборе чисел? (Ответ. Если величина |x-m| достаточно большая, то x и m далеко друг от друга, значит, есть выброс. Если мала, то x и m близки, и выбросов не было.) Что называется модой? Любой ли набор чисел имеет моду? Может ли набор чисел иметь более одной моды? Может ли мода не совпадать ни с одним из чисел набора?

3.Объяснение нового материала

Зная только размах, мы не можем судить о том, как расположены числа в имеющемся наборе. На примере рассматривается нахождение отклонений от среднего. Что можно сказать о числе, если его отклонение отрицательно? Положительно? Даётся основное свойство отклонений: сумма отклонений чисел от среднего арифметического этих чисел равна нулю.

Задача. В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели:

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб

Вс

Число посетителей

604

638

617

636

625

713

724

Найдите среднее значение числа посетителей и отклонения от среднего для указанного набора данных (с помощью калькулятора). Что характеризует положительное и отрицательное отклонение от среднего?

Ответ: ͞х=(604+638+617+636+625+680+708):7=4508:7=644. Отклонения

Посетителей

Среднее

Значение

Отклонения

604

644

- 40

638

- 6

617

- 24

636

- 8

625

- 19

680

36

708

64

Если отклонение отрицательно, то число посетителей меньше среднего, а если положительное, то число посетителей больше среднего. Размах - слишком грубая мера разброса (рассеивания) чисел в наборе, поскольку учитывает только два из них – наименьшее и наибольшее. Наиболее полной характеристикой разброса набора чисел является набор их отклонений от среднего арифметического. Но когда набор велик, рассматривать набор отклонений неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом. Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Вводится определение и обозначение дисперсии. Даётся формула.

Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения называется в статистике дисперсией набора чисел.

Таблица 4. Производство пшеницы в России в 1995-2001г.г.,млн.тонн

Производство

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

1995

30,1

-5,4

29,16

1996

34,9

-0,6

0,36

1997

44,3

8,8

77,44

1998

27,0

-8,5

72,25

1999

31,0

-4,5

20,25

2000

4,5

-1,0

1,00

2001

47,0

11,5

132,25

Вычислим дисперсию. Для расчета дисперсии следует сложить все значения в столбце Квадрат отклонения« и разделить на количество слагаемых:

(29,16+0,36+77,44+72,25+20,25+1,00+132,25):7=47,53.

4. Закрепление изученного материала.

1. № 17 Учащиеся учатся составлять таблицу отклонений, квадратов отклонений, вычислять дисперсию.

2)№18.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание. Выучить определение дисперсии, выполнить самостоятельную работу по теме «Размах и дисперсия». (Приложение1)

Тема 2. Статистические исследования: сбор и группировка данных, наглядное представление информации. Построение столбчатых и круговых диаграмм, графиков (1 ч.)

Занятие 4

Цель урока: формировать умения извлекать информацию из таблиц и диаграмм, определять по диаграммам наибольшие и наименьшие данные, сравнивать величины. Повторить тему «Столбчатые и круговые диаграммы», закрепить навыки их построения. Рассмотреть понятия полигона и гистограммы, научить учащихся строить полигоны и гистограммы по статистическим данным. Воспитывать аккуратность и внимательность, развивать навыки работы на компьютере.

Ход урока:

1. 1. 1. Проверка домашнего задания.

Фронтально проверить выполнение домашнего задания. Задания, вызвавшие затруднения, вынести на доску.

2. Актуализация опорных знаний.

а) Индивидуальная работа учащихся по карточкам с последующей проверкой с помощью проектора на компьютере.

Карточка №1.

Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом ( в порядке вытаскивания):

П,О,Л,С,Я,П,К,О,З,К,П,К,Я,С,О,П,П,Л,О,О,Л,С,О,П,Л,П,К,Л,К,П,П,С,П,З,К,Я,П,З,С,О,О,Я,П,П,О,Л,С,Л,С,П,О,П,Л,К,С,О,Я,Л,П,С,О,Л,П,О,К,Л,П,О,О,П,О,Я,Л,П,С,П,О,Л,П,З.

Буквами обозначены: З – золотая рыбка; К – карась; Л – лещ; О – окунь; П – пескарь; С – сом; Я – язь.

1. Составьте таблицу абсолютных и относительных частот.

2. Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки

3.Оцените, какой вид рыбы наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод.

Карточка №2.

Девятиклассники разгадывали кроссворд ( каждый самостоятельно). После этого они сравнили число неразгаданных слов. Данные приведены в таблице:

Вася

Петя

Валя

Катя

Гена

Аня

Число неразгаданных слов

3

2

1

2

4

3

Гоша

Вера

Оля

Дима

Галя

Паша

Число неразгаданных слов

1

2

3

3

2

4

Таня

Зоя

Боря

Лена

Тоня

Ваня

Число неразгаданных слов

3

2

4

2

1

3

1. 1. Для каждого количества неразгаданных слов найдите число ребят, не разгадавших ровно столько слов.

   2. Составьте таблицу относительных частот.

   3. Найдите процент ребят, не разгадавших более двух слов.

   4. Найдите среднее число неразгаданных слов в кроссворде.

б) Фронтальный опрос по вопросам.

1.Роль статистических исследований в современном мире.

2. Дайте определение таблицы частот. Приведите примеры.

3. Дайте определение таблицы относительных частот. Приведите примеры.

3. Объяснение нового материала:

Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, широко используются различные способы их изображения.

Одним из хорошо известных вам способов наглядного представления ряда данных является построение столбчатых и круговых диаграмм.

Диаграмма, показывающая, как целое делится на части в виде секторов круга, углы, которых пропорциональны долям единого целого, называется круговой диаграммой.

Столбчатые диаграммы используются тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования.

Круговые диаграммы используются для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности.

Рассмотрим данные положения на следующих примерах.

Задание 1.

На основе изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими цеха была составлена таблица относительных частот.

Постройте столбчатую и круговую диаграммы.

Задание выполняется учащимися в тетрадях с последующей проверкой с помощью проектора.

[link]

66