МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ
МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК «ИСКАТЕЛЬ»
Отделение: математика
Секция: математика
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Работу выполнил:
_______________
ученик класса
Научный руководитель:
Тезисы
Методы построения сечений многогранников
Отделение: математика
Секция: математика
Автор:
Научный руководитель:
В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.
Целью исследования является изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого изучен теоретический материал по данной теме, систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода, рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3
РАЗДЕЛ 1. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ………………………………………4
РАЗДЕЛ 2. МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………10
РАЗДЕЛ 3. МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………14
РАЗДЕЛ 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………17
РАЗДЕЛ 5. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………………………….19
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………25
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………26
ВВЕДЕНИЕ
Выпускникам предстоит сдавать экзамен по математике, а знание и умение решать стереометрические задачи необходимо для того, чтобы написать данный экзамен на максимальное количество баллов. Актуальность данной работы состоит в необходимости самостоятельно готовиться к экзамену, а рассматриваемая тема является одной из важнейших.
Анализ демонстрационных, диагностических и тренировочных вариантов ЕГЭ с 2009-2014 гг. показал, что 70% геометрических задач составляют задачи на построение сечений и вычисление их элементов – углов, площадей.
В учебном плане задачам на построение сечений многогранников отводится 2 академических часа, что недостаточно для изучения данной темы. В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.
Объект исследования: методы построения сечений многогранников.
Цель исследования: изучить различные методы построения сечений многогранников.
Задачи исследования:
1) Изучить теоретический материал по данной теме.
2) Систематизировать методы решения задач на построение сечений.
3) Привести примеры задач на применение каждого метода.
4) Рассмотреть примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.
РАЗДЕЛ 1
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ
Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.
Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки.
Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного многогранника. Например, на рис.1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ;
[pic] Рис.1
Задача. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 постройте сечение плоскостью, проходящей через вершины C и D1 и точку K отрезка B1C1 (рис.2, а).
Решение. 1.Т.к. С∈DD1C1, D1∈DD1C1, то по аксиоме (через две точки, принадлежащие плоскости, проходит прямая, притом только одна) построим след CD1 в плоскости DD1C1 (рис.2, б).
2. Аналогично в плоскости А1В1С1 построим след DK, в плоскости BB1C1 построим след CK.
3. D1KC – искомое сечение (рис.2, в)
[pic] [pic] [pic]
а) б) в)
Рис.2
Задача. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н — внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 3, а).
Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сторон искомого сечения (рис.3, б).
2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая сторона искомого сечения (рис.3, в).
3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 3, г).
Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 3, д).
4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехугольник MKHR (рис.3,е).
[pic] Рис.3
Рассмотрим более сложную задачу.
Задача. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью
α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 4, а).
Решение. Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T1, (рис. 4,б), при этом T1 є α, так как QК є α .
Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис.4, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т2 (рис. 4, г), при этом Т2 є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).
Получили: прямая Т1 Т2 лежит в секущей плоскости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 4, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.
Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н — еще одной вершине искомого сечения (рис.4, е).
Далее, построим точку Т3 - Т1Т2 ∩ АВ (рис. 4, ж), которая, как точка прямой Т1Т2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т3К — прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 4, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.
Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:
1. Т1 = QK ∩АС; 2. F = PR ∩ DE;
3. Т2 = KR ∩ AF; 4. М = Т1Т2 ∩ DE;
5. N = Т1Т2 ∩ АЕ; 6. Н = MR ∩ PD;
7. T3 = Т1Т2 ∩ АВ; 8. L = T3K ∩ PB.
Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.
[pic] [pic]
Рис.4
Сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, куб параллелепипед), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.
Задача. Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда. Пользуясь свойствами параллельных прямых и плоскостей, построить сечение данного параллелепипеда плоскостью MPR.
Решение. Пусть точки M, P и R расположены на ребрах соответственно DD1, ВВ1 и СС1 параллелепипеда АВСВА1В1С1В1 (рис. 5, а).
Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 5, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС1D1D и ВВ1С1С данного параллелепипеда. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.
Так как грань АА1В1В параллельна грани СС1D1D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА1В1В должна быть параллельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 5, в); отрезок РQ - следующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА1D1D параллельна грани СС1В1В, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА1D1D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 5, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD грани АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH и получаем пятиугольник MRPQH - искомое сечение параллелепипеда.
[pic] [pic] [pic]
а) б) в)
Рис. 5
РАЗДЕЛ 2
МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Определение. Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.
Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. При этом в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.
Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).
Задача. Построить сечение призмы АВСВЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1 (рис.7,а).
Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 6). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС1, ВB1, АА1, ЕЕ1 данной призмы.
Е1 D1
[pic]
Рис. 6
Для построения точки N = α ∩ СС1 достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD1C1. Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?
Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD1C1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD1) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD1) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС1 достаточно построить точку X = l ∩ СD. Аналогично, для построения точек Р = α ∩ ВВ1, Q = α ∩ АА1 и R = α ∩ ЕЕ1 достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и Т = l ∩ АЕ. Отсюда
Построение.
X = l ∩ СD (рис. 7, б);
N = МХ ∩ СС1 (рис. 7, б);
У = l ∩ ВС (рис. 7, в);
Р = NY ∩ ВВ1 (рис. 7, в);
Z = l ∩ АВ (рис. 7, в);
Q= РZ ∩ АА1 (рис. 7, г);
T= l ∩ АЕ (рис. 6);
R= QT ∩ ЕЕ1 (рис. 6).
Пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 6).
Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.
Поэтому имеем:
М є α , X є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС1 = N є α , значит, N = α ∩ СС1;
N є α, Y є α => NY є α, тогда NY ∩ ВВ1= Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ1;
Р є α, Z є α => РZ є α, тогда PZ ∩ AА1 = Q є α, значит, Q = α ∩ АA1;
Q є α, T є α => QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ1 =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ1.
Следовательно, MNPQR - искомое сечение.
[pic] [pic]
а) б)
[pic] [pic]
в) г)
Рис. 7
Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет единственное решение.
Задача. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой К ребра РЕ.
Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис.8): T1 → Q → Т2 → R → Т3 → М → Т4 → N.
Пятиугольник MNKQR — искомое сечение.
«Цепочка» последовательности построения вершин сечения такова:
1. Т1= l ∩ АЕ; 2. Q = Т1К ∩ РА;
3. Т2 = l ∩ АВ; 4. R = Т2Q ∩ РВ;
5. Т3 = l ∩ ВС; 6. М = T3R ∩ РС;
7. Т4 = l ∩ СD; 8. N = Т4М ∩ РD.
[pic]
Рис. 8
Секущая плоскость часто задается тремя точками, принадлежащими многограннику. В таком случае для построения искомого сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости основания данного многогранника.
РАЗДЕЛ 3
МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Метод внутреннего проектирования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.
При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.
Задача. Построить сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 9, а).
Решение. Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.
Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.
Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 9, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К1: К1 = РК ∩ FR (рис. 9, г), при этом К1 є α. Тогда: М є α, К1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК1 ∩ РD (рис. 9, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 9, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н1 (рис. 9, ж). Тогда прямая RН1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения (рис. 9, з).
Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:
1. К = АD ∩ ЕС; 2. К1 = РК ∩ RF;
3. Q = МК1 ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD;
5. Н1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН1 ∩ РВ.
Пятиугольник MNFQR — искомое сечение (рис. 9, и).
[pic] [pic] [pic]
а) б) в)
[pic] [pic] [pic]
г) д) е)
[pic] [pic] [pic]
ж) з) и)
Рис. 9
Задача. Постройте сечение призмы АВСDEА1В1С1D1Е1, плоскостью α, заданной точками М є ВВ1, Р є DD1, Q є ЕЕ1 (рис.10).
Решение. Обозначим: β — плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.
Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА1.
Плоскости А1АD и ВЕЕ1 пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Так как плоскости А1АD и ВЕЕ1 проходят через параллельные ребра АА1 и ВВ1 призмы и имеют общую точку К, то прямая КК1 их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру ВВ1. Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К1= КК1 ∩ QМ, КК1 ║ ВВ1. Так как QM є α, то К1 є α.
Е1
[pic]
Рис. 10
Получили: Р є α , К1 є α => прямая РК1 є α, при этом РК1 ∩ АА1 = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА1(R = α ∩ АА1), поэтому является вершиной искомого сечения. Аналогично строим точку N = α ∩ СС1.
Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:
К = АD ∩ ВЕ; 2. К1 = КК1 ∩ MQ, КК1 || ВВ1;
R = РК1 ∩ АА1; 4. Н = ЕС ∩АD;
H1 – HH1 ∩ РR, НН1 || СС1; 6.N = QН1 ∩ СС1.
Пятиугольник MNPQR— искомое сечение.
[link]
