[pic]
«Правильные многоугольники»
Обобщающий урок по геометрии.
9 класс.
Тема урока. Правильные многоугольники
План урока.
1. Оргмомент
2. Решение задач (несколькими способами).
3. Сообщение ученика «Правильные многоугольники в природе».
4. Решение задачи.
4. Практическая работа.
5. Итог урока.
Оборудование
Плакаты с изображением пчелиных сот, кристаллических решеток химических веществ, шаблоны правильных многоугольников: 3-угольников, 4-угольников, 6-угольников, 5-угольников.
Ход урока.
1 этап.
Цель урока :
обобщить изученный материал;
формировать умения применять математические знания к решению
практических задач;
развивать познавательную активность;
творческие способности;
воспитывать интерес к предмету.
2 этап.
Ребята, вы, знаете, что некоторые геометрические задачи можно решить с помощью разных способов.
Задача 1. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Попробуйте, докажите.
Каждой группе предлагается решить задачу своим способом, используя:
1
Рис.1 [pic]
Рис.1
группе: свойство медиан треугольника; 2 группе: свойство биссектрисы угла;
3 группе: понятие синуса угла;
4 группе: зависимость между стороной
правильного многоугольника и радиусом
описанной окружности;
5 группе: подобие треугольников.
На решение задач дается 5 мин. Далее каждая группа объясняет свой способ доказательства у доски по готовому чертежу.
Решение.
1 способ.
В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружности совпадают, биссектрисы являются медианами. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то
R : r = 2 : 1, т.е. R = 2r.
Вопрос. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
Ответ. Окружность касающаяся всех сторон многоугольника называется вписанной.
2 способ.
Рассмотрим треугольник ВАD. Биссектриса АО делит сторону ВD в отношении
[pic] , т.е. R=2r
Вопрос. Верно ли утверждение, что любой равносторонний треугольник является правильным?
Ответ. Верно.
3 способ.
В равнобедренном треугольнике АОС < АОС = 120° как центральный угол. Высота ОD является и биссектрисой, поэтому <DОС = 60° , а <ОСD= 30°. Следовательно,
Вопрос. Верно ли, что любой четырехугольник с равными сторонами является правильными?
Ответ. Нет, т.к. углы должны быть тоже равны.
4 способ.
Вопрос. Верно ли утверждение, что любой правильный многоугольник является выпуклым?
Ответ.
5 способ.
Вопрос. Какая окружность называется описанной около многоугольника?
Ответ. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то она называется описанной.
Может у вас есть еще какие-нибудь способы доказательства?
Эту задачу можно решить методом площадей:
S= BD AC= (R + r) a, SABC = 3SAOC ( AOC=BOC=AOB)
SABC=3 ODAC= ra (R+r)a= ra, R+r=3r, R=2r
(заранее приготовлен на доске)
3 этап. Сообщение ученика.
Правильные многоугольники встречаются в природе.
Например, кристаллическая решетка некоторых химических элементов, драгоценных камней имеют форму правильных многогранников, у которых в основании лежат правильные многоугольники.
У хлорида натрия (поваренная соль) – правильная призма, у которой основание – квадрат, а у графита – правильная 6-тиугольная призма , основанием которой является правильный 6-тиугольник
Один из ярких примеров природных правильных многоугольников - пчелиные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый (т.е. составленный без просветов и перекрытий) правильными шестиугольниками. На этих 6-угольниках пчелы наращивают из воска ячейки, представляющие собой прямые 6-угольные призмы (показать призму ).В них пчелы и откладывают мед, который является ценнейшим и питательнейшем продуктом питания, а затем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.
Чарльз Дарвин отмечает: «Далее этой ступени совершенства в архитектуре естественный отбор не мог вести, потому что соты пчел абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска».
Геометрия пчелиных сот, жизнь и деятельность пчел всегда привлекала внимание человека. ,,Странные общественные привычки и геометрические дарования пчел-, пишет известный математик Герман Вейль,- не могли не привлечь внимание и не вызвать восхищение людей, наблюдающих их жизнь и использовавших плоды их деятельности”.На примере пчел мы убеждаемся, насколько гармонично устроен наш мир, как умна природа. Задача человека - беречь этот мир и разумно пользоваться его дарами.
Но не только в природе встречаются правильные многоугольники. Человек в своей практической деятельности научился использовать их красоту и рациональность в архитектуре, технике, в строительстве.
4 этап.
Как было замечено, пчелиные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными 6-угольниками.
А почему пчелы выбрали именно 6-угольник?
Наверное для ответа нужно сравнить периметры разных многоугольников, имеющие одинаковые площади.
Задача 2. Пусть даны правильные треугольник, четырехугольник, шестиугольник. У какого из этих многоугольников периметр наименьший?
Рис.2 [pic]
Решение.
Вывод по задаче. Итак, пчелы не зная математики, верно определили, что правильный 6-угольник имеет наименьший периметр среди фигур равной площади. Строя 6-угольные ячейки, пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
5 этап. Практическая работа.(по группам)
Можно ли без просветов покрыть плоскость многоугольниками, если этими многоугольниками являются правильные
а) 3-угольники,
б) 4-угольники,
в) 5-угольники,
г) 12-угольники,
д) 3-угольники, 4-угольники и 6-угольники.
Готовые орнаменты вывешиваем. Обсуждаем.
Вопрос. Где человек может использовать умение покрывать плоскость правильными многоугольниками?
Ответ. При составлении различных орнаментов, паркета и т. д. можно использовать покрытие плоскости правильными многоугольниками.
7 этап.
Итог урока.
Итак, мы познакомились с правильными многоугольниками, научились вычислять сторону правильного многоугольника., его периметр, площадь, а так же учились строить некоторые многоугольники точным методом с помощью линейки и циркуля. Но не любой многоугольник можно построить этим методом. Например, 9-угольник. Для того, чтобы его построить нужно воспользоваться приближенными методами. С некоторыми из них предлагаю вам познакомиться дома по данному пособию. Тут же на последней странице записано домашнее задание обязательное, которое заключается в решении 3-х номеров по учебнику и необязательное домашнее задание-построение правильного многоугольника выше описанным способом.
Оценки за урок!!!!!!
Похвала!!!!!
[pic]
