Урок алгебры в 8-м классе

"Решение квадратных уравнений"

Подготовила учитель

математики

Багдасарян Н. С.

Февраль 2013г.

"Решение квадратных уравнений"

Тип урока: обобщение изученного материала.

Цели урока:

Обучающие

• обобщить изученный по теме материал;

• формировать умения применять математические знания к решению практических задач;

Воспитательные

• развивать познавательную активность, творческие способности;

• воспитывать интерес к предмету.

Оборудование и материалы:

1. Карточки-задания для устной и индивидуальной работы.

2. Сообщения учащихся (исторические сведения).

Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Теоретическая разминка.

Устный счет: 1) х² = 9, х² = 7, х² = 0, х² = - 4;

2) 5х = 0 , х( х – 2 ) = 0, 2х² – х = 0, х² – 4 = 0.

Фронтальный опрос:

1. Какое уравнение называются квадратным?

2. Придумайте и запишите квадратное уравнение.

3. Как называются числа а, в и с?

4. Какие квадратные уравнения называются неполными?

5. Какие встречаются виды неполных квадратных уравнений?

Придумайте и запишите неполное квадратное уравнение каждого вида

Назовите виды уравнений, записанных на доске.

2x² + 6x + 5 = 0

x²-7x +10 = 0

3x² - 25x + 28 = 0

2x² + 4x = 0

4x² – 25 = 0

x² – 64 = 0

Проверяются знания определения квадратного уравнения, его видов, умение различать квадратное уравнение среди других видов.

III. Индивидуальная работа по карточкам

Карточка №1:

Выбери из представленных в задании уравнений те, которые являются квадратными:

1. 12х²-0,3=(0,4х²-2)30

2. 4+1,3х²=7x

3. (х-3)(х-5)=2х

4. [pic] =0

5. [pic] +48х=х²-10

Карточка №2:

Определи вид квадратного уравнения:

1. 1,3х²=4

2. 3х²=0

3. (х-3)(х-5)=2х

4. (12х-3)(х-5)=2х

5. [pic]

Карточка №3:

Определите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 6х² – х + 4 = 0

б) 12х - х² + 7 = 0

в) 8 + 5х² = 0

г) х – 6х² = 0

д) - х + х² = 15

IV. Совместная работа учителя с классом

1. Решение неполных квадратных уравнений разных видов

1. ах² = 0 2. ах² + вх = 0 3. ах² + с = 0

6х² = 0, х² – 0,5х = 0, х² – 8 = 0,

х² = 0, х ( х – 0,5 ) = 0, х² = 8,

х = 0. х = 0 или х - 0,5 = 0, х = ±√8,

х = 0,5. х = ± 2√2.

Ответ: 0. Ответ: 0; 0,5. Ответ: ±2√2.

2. Решение квадратного уравнения

Исторические сведения:

Математиков интересовало решение квадратных уравнений уже в XIII веке Но всесильная католическая церковь преследовала и убивала всякую мысль, в которой усматривала отклонение от своих учений. Церковный суд – инквизиция – всех попавшихся под подозрение карал вплоть до сожжения на костре, а имущество казненных отбирал в пользу церкви. Не один ученый погиб в руках инквизиции. В их числе были и математики. Испанский математик Вальмес в 1486 году как-то в семейном кругу обмолвился о том, что нашел формулу для решения уравнения четвертой степени. В числе гостей оказался влиятельный инквизитор. Услышав слова Вальмеса, он заявил, что волей Божьей решать эти уравнения человеку не дано, а найти формулу можно было только с помощью дьявола.В ту же ночь Вальмес был брошен в тюрьму, а через три недели сожжен на костре за связь с дьяволом. Лишь через 100 лет решение этих уравнений было найдено вторично.

РЕШИ УРАВНЕНИЯ с помощью формулы:

а) -7х + 5х² + 1 =0

б) 2х² + 5х -7 = 0

в) х² – 8х + 7 = 0 Решение с помощью D1

РЕШИ УРАВНЕНИЯ с помощью теоремы Виета:

1.Проверка индивидуального домашнего задания (биография Ф. Виета)

2. Теорема Виета

3. Решение уравнения с помощью теоремы и проверка по теореме обратной теореме Виета.

x² - 7x +10=0

x² + 5x + 6=0

Карточка №4:

Реши уравнения с помощью теоремы Виета:

1. х² – 9х + 20 = 0

2. х²- 19х + 88 = 0

V. Закрепление изученного материала:

Работа в группах.

Учащимся предлагается решить уравнение в группах разными способами.

х²+ 16х + 63 = 0

VI. Подведение итогов урока.
При подведении итогов урока подчеркивается, что серьезное отношение к теории помогает углубить и расширить круг упражнений и задач по теме.

VII. Домашнее задание: Придумать и решить квадратные уравнения разными способами.

На данном этапе организуется фронтальная работа по повторению способов решения квадратных уравнений.
Затем учащимся предлагается выбрать уровень по своему усмотрению, решить самостоятельно уравнения и оценить себя.

V. Исторические сведения
Цель: формирование учебно-познавательной мотивации школьников на уроке, воспитание интереса к предмету.

Исторические сведения:

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Франсуа Виет

Жизнь Виета представляет для нас интерес во многих отношениях.

XV век в Западной Европе был веком ожесточенных религиозных волнений, и к началу XVI целый ряд стран отпал от католической церкви.

Всесильная католическая церковь преследовала и убивала всякую мысль, в которой усматривала отклонение от своих учений. Церковный суд – инквизиция – всех попавшихся под подозрение карал вплоть до сожжения на костре, а имущество казненных отбирал в пользу церкви. Не один ученый погиб в руках инквизиции. В их числе были и математики.

Испанский математик Вальмес в 1486 году как-то в семейном кругу обмолвился о том, что нашел формулу для решения уравнения четвертой степени. В числе гостей оказался влиятельный инквизитор. Услышав слова Вальмеса, он заявил, что волей Божьей решать эти уравнения человеку не дано, а найти формулу можно было только с помощью дьявола.

В ту же ночь Вальмес был брошен в тюрьму, а через три недели сожжен на костре за связь с дьяволом. Лишь через 100 лет решение этих уравнений было найдено вторично.

Мэтр Виет также был на волосок от костра.

В ту пору наиболее могущественное государство в Европе, Испания вела победоносную войну с Францией.

Однажды французам удалось перехватить приказы испанского правительства командованию своих войск, написанные очень сложным шифром (тайнописью). Виет с помощью математики сумел найти ключ к этому шифру. С этих пор французы, зная планы испанцев, с успехом предупреждали их наступления.

Инквизиция обвинила Виета в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре. Но так как французы благодаря Виету в дальнейшем побеждали, он не был выдан инквизиции.

В родном городке Виет был лучшим адвокатом, а позднее стал королевским советником. Но главным делом его жизни была математика. Биографы Виета пишут, что он мог несколько ночей подряд не спать, решая очередную математическую задачу.

Вот задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Р [pic] ешение задачи Бхаскары:

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось – .

Составим уравнение:

[pic]

+ 12 = х

На данном этапе учащимся сообщается материал из истории возникновения квадратных уравнений, сведения об известном французском математике Франсуа Виете. (Сообщения готовили учащиеся)
Затем учащимся предлагается решить самостоятельно задачу Бхаскары.

VI. Подведение итогов урока.
При подведении итогов урока подчеркивается, что серьезное отношение к теории помогает углубить и расширить круг упражнений и задач по теме.

VII. Домашнее задание: Подготовка к контрольной работе.

III. Индивидуальная работа по карточкам

Карточка №1:

Выбери из представленных в задании уравнений те, которые являются квадратными:

6. 12х²-0,3=(0,4х²-2)30

7. 4+1,3х²=7x

8. (х-3)(х-5)=2х

9. [pic] =0

10. [pic] +48х=х²-10

Карточка №2:

Определи вид квадратного уравнения:

6. 1,3х²=4

7. 3х²=0

8. (х-3)(х-5)=2х

9. (12х-3)(х-5)=2х

10. [pic]

Карточка №3:

Определите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 6х² – х + 4 = 0

б) 12х - х² + 7 = 0

в) 8 + 5х² = 0

г) х – 6х² = 0

д) - х + х² = 15

Реши уравнения с помощью теоремы Виета:

1. х² – 9х + 20 = 0

2. х²- 19х + 88 = 0

Урок по алгебре в 8-м классе по теме:

«Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения»

Цели урока:

Создать условия для усвоения учащимися понятия квадратного уравнения и

приобретения практических приемов решения неполных квадратных уравнений.

В результате чего ученик должен знать: определение квадратного уравнения,

идею алгоритма решения неполных квадратных уравнений.

Ученик должен: пользоваться терминологией, связанной с определением

квадратного уравнения; различать виды неполных квадратных уравнений;

решать неполные квадратные уравнения трех видов; грамотно высказывать

свою точку зрения.

Оборудование урока: откидная доска, карточки-инструкции, интерактивная доска.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель объясняет цель урока и учащиеся по отдельности выстраивают собственную

систему ожиданий от урока.( Какие уравнения называются квадратными; неполными

квадратными уравнениями; способы решения неполных квадратных уравнений.)

2. Актуализация опорных знаний.

Прежде чем приступить к изучению новой темы учитель предлагает вспомнить известные учащимся: решение уравнения вида ах = в, х² = а; способы разложения

двучлена на множители; решение уравнений, где есть произведение нескольких множителей равно нулю.

Устный счет: 1) х² = 9, х² = 7, х² = 0, х² = - 4;

2) 5х = 0 , х( х – 2 ) = 0, 2х² – х = 0, х² – 4 = 0, х² + 9 = 0.

3. Изучение нового материала.

А теперь учитель предлагает учащимся самостоятельно открыть: что такое квадратные уравнения; неполные квадратные уравнения и как решаются неполные квадратные уравнения. Теоретические положения темы изучаются самостоятельно при помощи карточек-инструкций. На одной стороне карточке записаны вопросы, на которые должен ответить ученик; а на другой стороне для самоконтроля даны ответы на эти вопросы. Учащиеся работают в парах.

Образец карточки.

Используя п.19 учебника(«Алгебра,8 класс», под редакцией С.А. Теляковского),ответьте на следующие вопросы:

6. Какое уравнение называются квадратным?

7. Придумайте и запишите квадратное уравнение.

8. Как называются числа а, в и с?

9. Какие квадратные уравнения называются неполными?

10. Какие встречаются виды неполных квадратных уравнений?

11. Придумайте и запишите неполное квадратное уравнение каждого вида.

В случае затруднения, или если Ваши ответы не совпадают с ответами на обратной стороне карточки, обратитесь к учителю.

Ответы:

1. Уравнение вида ах² + вх + с = 0, где х – переменная, а, в, и с – некоторые числа,

причем а ≠ 0.

2. 2х² – 9х + 10 = 0, 3х² + 4х – 7 = 0 и т. д.

3. а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член уравнения.

4. Уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.

5. ах² = 0 , ах² + вх = 0 ( в ≠ 0), ах² + с = 0 ( с ≠ 0 ).

6. 4х² = 0, 4х² + 8х = 0, 4х² – 1 = 0.

4. Проверка уровня усвоения теоретического материала.

Самостоятельная работа учащихся с последующей взаимопроверкой. Во время взаимопроверки пользуются правильными ответами; записанными на доске.

1. 1. Укажите среди записанных на доске уравнения первой степени и квадратные:

5х -2 =0, 0,2х² – 2 = 0, 5х² + х = 0, х³ + х = 0,

х² – х + 1 = 0, 3х² – 5х – 8 = 0, ⅓х = 0.

1. 2. Чему равен первый и второй коэффициенты уравнения, его сводный член?

3х² – 2х + 7 = 0, 2х + 7 – 5х² = 0, х² – 0,5х = 0, 6х² = 0,

х² – 8 = 0, 3 – х² = 0.

1. 3. Назовите среди данных уравнений неполные.

5. Составление алгоритма решения неполных квадратных уравнений.

В ходе беседы с учениками, путем рассуждений, опираясь на имеющиеся знания и опыт решения уравнений первой степени, не используя учебник, учитель вместе с классом выводит алгоритм решения неполных квадратных уравнений на конкретных примерах. В ходе этой работы в тетрадях учеников появляется следующая запись, которой они будут пользоваться как опорой.

1. ах² = 0 2. ах² + вх = 0 3. ах² + с = 0

6х² = 0, х² – 0,5х = 0, х² – 8 = 0,

х² = 0, х² ( х – 0,5 ) = 0, х² = 8,

х = 0. х = 0 или х - 0,5 = 0, х = ±√8,

х = 0,5. х = ± 2√2.

Ответ: 0. Ответ: 0; 0,5. Ответ: ±2√2.

6.Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант А1. Вариант А 2.

Решить уравнения:

а) 2х² – 18 = 0; а) 3х² – 12 = 0;

б) х² + 2х = 0; б) х² -3х = 0;

в) 4х² = 0; в ) – 7х² = 0;

г) 4х² - 11 = х² - 11 + 9 х. г) 7х + 3 = 2х² + 3х + 3.

Вариант Б 1. Вариант Б 2.

Решить уравнения:

а) 9х² - 4 = 0; а) 4х² -25 = 0;

б) 2х² = 3х; б) 3х² = - 2х;

в) 2 = 7х² + 2; в) 9х² - 1 = - 1;

г) ( 2х + 1)( х – 2 ) = ( х – 2 )( х + 2 ). г) ( 2х – 9 )( х + 1 ) = ( х + 3 ) ( х + 3 ).

Вариант В 1. Вариант В 2.

Решить уравнения:

а ) – 0,2х² + 4 = 0; а) 3 – 0,4х² = 0;

б) 1/3 х² + 1/9 х = 0; б) 1/4х² - ½ х = 0;

в) ( 2х – 1 )² = 1 – 4х; в) ( 3х + 2 )² = 4 + 12х ;

г) 3- ( 4х + 1 ) ( 3 – х ) = х² г) х² - ( 2х – 3) ( 1 – х ) = 3.

Учитель играет роль консультанта, помогая тем, кто затрудняется решить. Для проверки решения учащиеся пользуются карточками с верными ответами. Проверив правильность решения уравнений, ученики ставят себе оценки. Для учащихся, которые раньше других справились с заданием, предлагается дополнительное задание. После того как все ученики выполнят задание, проверяют решения на интерактивной доске.

Домашнее задание: п 19.

На «3» № 509(а,в); № 510( а,в ).

На «4 и 5» № 507(а,в), № 514 ( б,г).

Итоги урока. На какие Ваши вопросы мы сегодня получили ответы? Над чем надо поработать на следующем уроке? Наш урок подходит к концу, подумайте с какой пользой для Вас, прошел этот урок, начните свой ответ с любого из предложений:

Я знаю, что…… Я хорошо знаю, что…… Я должен знать, что…….

Спасибо! Поднимите руку, кто свою работу на уроке оценивает на «5», «4» и «3».

Самоанализ урока.

Открытый урок по теме: « Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения. » ,8 класс, алгебра.

Цели урока: Создать условия для усвоения учащимися понятия квадратного уравнения и приобретения практических приемов решения неполных квадратных уравнений. В результате чего ученик должен знать: определение квадратного уравнения, идею алгоритма решения неполных квадратных уравнений. Ученик должен: пользоваться терминологией, связанной с определением квадратного уравнения; различать виды неполных квадратных уравнений; решать неполные квадратные уравнения трех видов; грамотно высказывать свою точку зрения.

Открытый урок проходил 8 классе - это работоспособный класс. В связи с данной особенностью большая часть урока построена на самостоятельной работе класса.

Учитывались особенности данного класса и отдельных учеников: уровень умственного психического развития, потенциальные возможности, знания предмета, их эмоциональное состояние и готовность к уроку.

Тип урока – изучение нового материала. Это первый урок темы: квадратные уравнения. Построение и разработка урока опираются на ранее изученные темы: уравнения вида ах = в; х² = а. А также изучение нескольких видов квадратных уравнений и алгоритмы их решения ( опора). В дальнейшем на основе пройденного материала расширить изучение темы и перейти к решению квадратных уравнений способом выделения квадрата двучлена и решение с использованием формул и корней квадратного уравнения, использование коэффициентов квадратного уравнения. На уроке использовалось выдвижение изначально исследовательской задачи, постановка конкретных вопросов, способствующих обоснованию, конкретизации и логике рассуждения, самостоятельная работа учащихся с учебником, использовалась работа учащихся в парах с последующей взаимопроверкой. Организована самостоятельная работа, обучающего характера, задания которой дифференцируемы.

В результате проведенной работы, дети сами изучили теоретический материал, составили алгоритм решения неполных квадратных уравнений и закрепили полученные знания при выполнении обучающей самостоятельной работы.

На каждом этапе урока учитель преследовал главную цель: организовать индивидуальную работу учащихся, каждому ученику предоставить посильное задание, научить учеников самостоятельно овладевать знаниями, оценивать себя свою работу и её результат. На уроке удалось реализовать все поставленные задачи, создать творческую атмосферу поиска, развития логического мышления учащихся, умение оценивать процесс его результат, предвидеть его последствия.

Карточка: Решение неполных квадратных уравнений.

Решить уравнения:

Уравнение вида ах² = 0.

Решается так: ах² = 0,

х² = 0,

( так как а ≠ 0 ),

х =0.

Уравнение вида ах² + вх = 0.

Решается так:

ах² + вх = 0,

х ( ах + в ) = 0,

х = 0 или ах + в = 0,

х = - в/а.

Уравнение вида ах² +с = 0.

Решается так:

ах² + с = 0,

ах² = - с,

х² = - с/а, так как а ≠ 0,

если - с/а < 0, корней нет;

если -с/а = 0, то х = 0;

если - с/а > 0, то х = ± √-с/а.

Решить уравнения:

а) 2х² + 8 = 0, б) 3х² - 2х = 0,

в) 7х² - 8 = 0, г) 6х² = 0.

Решение:

а) 2х² + 8 = 0 - Вид: ах² + с = 0;

2х² = - 8,

х² = -4.

Ответ: корней нет.

б)2х² - 3х = 0 – Вид: ах² + вх = 0;

х( 3х – 2) = 0,

х = 0 или 2х – 3 = 0,

х = 1,5.

Ответ: 0; 1,5.

в) 2х² - 8 = 0 – Вид: ах² + с = 0;

2х² = 8,

х² = 4,

х = ± 2.

Ответ: 2,-2.

г) 6х² = 0 – Вид: ах² = 0;

6х² =0,

х² = 0,

х = 0.

Ответ: 0.

1 [pic] [pic] ) 3х² + 1 = 0;

2) - х² + 5х = 0;

3) 7х² - 14 = 0;

4) – х² = 0;

5) 4(х – 1)² -16 = 0;

6) 5х² - 5 = 0;

7) 3х² + 6х = 0;

8) 2х² + 8 = 0;

9) 4х² = 0;

10) 5( х – 2)² - 45 = 0;

11) 2х² + 8 = 0;

12) 2х² - 3х = 0;

13) 5х² -10 = 0;

14) х² = 0;

15) 3( х +1)² - 27 = 0.

План-конспект урока по алгебре в 8 классе

по теме «Теорема Виета»

Тип урока: урок объяснения нового материала.

МОУ Струго-Красненская СОШ

учитель математики.

математика.

8 класс.

«Теорема Виета», первый урок по данной теме.

Базовый учебник «Алгебра 8 класс»: учеб. для общеобр. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др., под ред. С.А. Теляковского

Цель урока: выявить зависимость между корнями и коэффициентами

квадратного уравнения, используя метод исследования.

Задачи урока:

Общеобразовательные:

− открыть зависимость между корнями и коэффициентами

приведенного квадратного уравнения;

- доказать теорему Виета и теорему, обратную ей;

- ознакомить учащихся с применением этих теорем при решении

квадратных уравнений и при проверке найденных корней;

− научить применять теорему Виета и обратную ей теорему для

приведенных квадратных уравнений в различных ситуациях;

Развивающие:

- формирование учебно-познавательных действий при выявлении

закономерностей;

− развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета,

что математика может быть увлечением.

Воспитательные:

- формирование умений школьников по проведению дискуссии по

обсуждаемым вопросам;

- воспитание культуры математической речи.

Тип урока: урок объяснения нового материала и формирования знаний.

Формы работы учащихся: использование ЦОР, метод исследования, фронтальная

беседа.

Техническое оборудование: компьютер, проектор, экран, выход в

интернет.

Структура и ход урока.

I. Объяснение нового материала.

1) Вступительное слово учителя.

2) Историческая справка.(+ портрет Франсуа Виета)

[link]