Система уроков по теме «Квадратные уравнения»

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: ...



Система уроков по теме «Квадратные уравнения», 8 класс

Разработала Краснова Валентина Владимировна, учитель математики Донецкой ОШ № 91

Тема урока:  Решение квадратных уравнений.

Цели урока:

  • Дидактические:

  • Обобщить систематизировать знания, умения и навыки по иузчаемой теме.

    • способствовать выработке умений решать всевозможные задачи по теме «Квадратные уравнения»;

    • расширить знания учащихся по данной теме,  ознакомив их с разными способами решения квадратных уравнений;

    • углубить знания учащихся по теме путём рассмотрения нестандартных задач. 

  • Развивающие:

    • способствовать развитию мыслительной деятельности учащихся, развитию математической речи, умения говорить красиво, грамотно, чётко, в нужном темпе;

    • развивать память, умение слушать другого и понимать его речь.

  • Воспитательные:

    • воспитывать аккуратность выполнения записей на доске и в тетрадях;

    • формировать любознательность к истории развития математики;

    • пробуждать интерес ко всему, что нас окружает, удивительному творению – человеку и природе.

Оборудование:  ТСО для презентации урока, компьютеры,  цветной мел,  портрет  французского математика Франсуа Виета (1540–1603) и М. В. Ломоносова, карточки с заданиями (самостоятельная работа, домашняя работа), указка.

В классе со средней математической подготовкой на данный урок отводиться два академических часа.

ХОД УРОКА

Старайся дать уму как можно больше пищи.

М.В. Ломоносов.

1. Организационный момент

2. Вступительное слово учителя

– Здравствуйте, дорогие дети и уважаемые гости!  Итак, мы начинаем наш урок. Тема нашего урока «Решение квадратных уравнений». Так как сегодня не первый урок по этой теме, то мы посвятим его отработке навыков решения квадратных уравнений, приобретённых на прошлых уроках,  рассмотрим новые задачи по пройденному материалу, попробуем разобраться в некоторых более сложных задачах по данной теме.
Сегодня у нас гости. И так как  гостям принято показывать лучшее, их принято радовать и удивлять, то и мы постараемся не отступать от этого правила.
Эпиграфом к нашему уроку мы выбрали, уже полюбившееся нам высказывание М. В. Ломоносова: «Старайся дать уму как можно больше пищи…». Мы не ограничимся здесь I-м, II-м и III-м, как принято с пищей для желудка, а рассмотрим до 10 упражнений и задач. И  в каждом из них будем стараться не пропустить ошибку.
ЛОВИ ОШИБКУ! – это обращение к вам!  Итак, в путь за пищей для ума!..

3. Проверка домашнего задания

1.  Разминка от Демьяненко Леры.

Сообщение о французском математике Ф. Виете, его теореме и следствиях из неё, а также о других свойствах коэффициентов  квадратного уравнения.

Далее  Таней предлагаются примеры из домашней работы, которая носила творческий характер.

2. Повторение теории

а) Каков общий вид имеет квадратное уравнение?
б) Формулы корней квадратного уравнения?
в) От чего зависит количество корней кв. уравнения?
г) Что такое дискриминант? Чему он равен?
д) Теорема Виета?
е) Какое уравнение наз. неполным квадратным уравнением?
ж) Целесообразно ли при их решении применять формулы корней кв. уравнения?
з) Устно. Решите уравнение.

x2 = 0,   4x2 = 0,  3x2 + 12 = 0,    7x2 – 3x = 0,  – x2 + 7 = 0.

3. Самостоятельная работа

[pic]

4. Закрепление и углубление знаний

Учитель:  Кроме свойства коэффициентов, которое мы сегодня использовали, состоящее в том, что если a + b + c = 0, то корнями уравнения являются числа x = 1 и x = c/a, есть ещё одно похожее. В чём оно состоит,  расскажет  Митякина Даша:
Если a – b + c = 0,то корнями уравнения являются числа x = – 1 и x = – c/a. Записываем это свойство в тетради.

Например:

1) 5x2 – 9x – 14 = 0
2) x2 + 8x + 7 = 0
3) 5x2 – 7x – 12 = 0
4) 3x2 + (3 – a)x – a = 0   

Учитель: В чём состоит теорема Виета? Как она читается для приведённого кв. уравнения?

У доски  Маковецкая Наташа.
– Один из корней уравнения x2 – 26x + q = 0  равен 12. Найдите другой корень   и свободный член q.

– А теперь  пример
– Найдите площадь прямоугольника, длины сторон которого численно равны корням уравнения      [pic] x2 – 17x + 3 = 0. 


– Найдите длину средней линии трапеции, длины оснований которой численно равны корням уравнения [pic] x2 – 9x + 5 = 0.
Вопрос от класса: …? Оценка:  «  ».    

– У доски. Решаем уравнение:  x2 – (2p + 1)x + (p2 + p – 2) = 0. (Это уравнение с параметром).  
Вопрос от класса: …?  Оценка: «  ». 

– Самостоятельно решаем уравнения с параметрами.

Вариант 1: №839 (а)
Вариант 2: №839 (б)

– Кроме пищи для души, т. е. духовной пищи, есть пища для тела. В её состав входит  пища для желудка и… ФИЗКУЛЬТУРА.

Физкультминутка.  Дирижёр: Подольский Владик.

– И на десерт: 
Пример из области  ОЛИМПИАДЫ. (Межрегиональная заочная математическая олимпиада для школьников 6-10-х классов, проводимая Всероссийской школой математики и физики «Авангард» совместно с газетой «Математика» и журналом «Квант» 2007-2008 уч/год).
Решите уравнение: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Самостоятельно: (задание высокого уровня сложности из заданий итоговой аттестации  для 9 класса)

Решите уравнение: 

Вар.1      (x – 2)(x – 1)(x + 2)(x + 3) = 60.
Вар.2.    x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 120.

5. Итоги урока

– Итак, что нового мы узнали на уроке?

Ответы.   

– Решение  кв. уравнений способом замены переменной.
– Решение уравнений с параметром.
– Научились решать кв. уравнения используя свойство коэффициентов:
 Если a + b + c = 0, то корнями уравнения являются числа x = 1 и x = [pic] . 
Если a – b + c = 0,то корнями уравнения являются числа x = –1 и x = – [pic]  .
– Рассмотрели примеры высшей степени сложности из материалов экзаменов для 9-го класса. 

– Очень надеюсь, что ваши головушки пополнились полезной пищей… А вы почувствовали это? ...
– Немецкий учёный физик 18-го века Лихтенберг когда-то сказал  «То, что вы были  вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы можете снова воспользоваться, когда в этом возникнет необходимость». Думаю, что  материалы сегодняшнего урока, которые вынуждали вас самих  что-то открывать для себя новое, оставят в вашем уме дорожку, которой вы при случае сумеете воспользоваться. Во всяком случае, я смею на это надеяться.

6. Домашнее задание: № 816(а, б), 820(в), дополнительно – №879(а)

– Благодарю всех за урок. До встречи на следующем уроке!







Разработка урока "Графическое решение квадратных уравнений"


Цели урока:

  • Формировать умения и навыки в решении квадратных уравнений графически;

  • Расширение кругозора учащихся; развитие мышления, умения работать в парах;

  • Воспитание общей культуры, взаимовыручки.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие учащихся. Прежде чем начать наш урок, я хотела, чтобы каждый из вас подумал, как ему удобно выполнять любую работу одному или совместно с товарищем:.

Конечно, каждый из нас должен обладать таким качеством, как готовность прийти на помощь другому. Взаимопомощь или взаимовыручка воплощение добропорядочности, отзывчивости. Сегодня на уроке попробуем убедиться, в том что даже выполняя математические задания работа в парах дает более высокий результат. И тогда подтверждаются известные слова, что учиться не легко, но интересно.

Тема нашего урока: "Квадратные уравнения (методы решения)". Мы рассмотрим несколько графических способов решения квадратных уравнений. А значит, нам нужно вспомнить графики каких функций мы уже умеем строить в координатной плоскости. Остановимся на построении графика квадратичной функции.

Математический диктант. (интерактивная доска)

1 вариант

1. Какая из следующих функций является квадратичной: а) [pic] ; б) [pic]

2. Назовите коэффициенты а, в, с квадратичной функции: [pic]

3. Назовите коэффициенты а, в, с квадратичной функции: [pic]

4. Составьте квадратный трехчлен [pic] , у которого а = 9,в = -3, с = -1

5. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы у = [pic]

6. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы [pic]

7. Найдите координаты вершины параболы [pic]

2 вариант

1. Какая из следующих функций является квадратичной: а) [pic] ; б) [pic]

2. Назовите коэффициенты а, в, с квадратичной функции: [pic]

3. Назовите коэффициенты а, в, с квадратичной функции: [pic]

4. Составьте квадратный трехчлен [pic] , у которого а = 2, в = -1, с = 4

5. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы у = [pic]

6. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы [pic]

7. Найдите координаты вершины параболы [pic]

Взаимопроверка. (учащиеся в парах обмениваются тетрадями)

II. Актуализация знаний (интерактивная доска)



Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными. /Уравнение вида , где х - переменная, a,b,c - числа, называется квадратным. / Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

/ а - старший коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член/ .

[pic]





Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными. /Уравнение вида , где х - переменная, a,b,c - числа, называется квадратным. / Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

/ а - старший коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член/ .

К методам решения уравнений относятся:

  • разложение на множители;

  • введение новой переменной;

  • графический способ.

Рассмотрим наиболее "зрелищный" метод. - Графический метод

Предварительная подготовительная работа.

У учащихся на столах заготовки (на пленке) с декартовой системы координат. Предлагается работать в парах. Нужно построить графики следующих функций:

Построив по первому графику, совместим заготовки . Точка пересечения графика?

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций  y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.  Вспомним применение этого метода при решении квадратного уравнения.

Применяя графический метод в данном случае, мы нашли точное значение корней, но так бывает не всегда. Однако графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Историческая справка

[pic]





[pic]



[pic]

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н. э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н. э. - Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат "Арифметика" содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате "Алгебра" классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.



Физминутка.

Разгадывание кроссворда

[pic]


III. Закрепление изученного на уроке.

Работа в парах. Учащимся предлагается решить двумя способами - графическим и аналитическим уравнения. №23. 1(а) [pic] на доске 0 и 2

IV. Самостоятельная работа.

На доске карточки с ответами:

1) КО 1 и -1

2) ТЬСЯ- 0 и 6

3) ИНТЕРЕС 3 и -3

4) ЛЕГ 0 и -8

5) НО 2 и -2

6) НЕ 0 и -4

7) УЧИ 0 и 2

V. Подведение итогов.

Высказывание Я. А. Коменского: "Учиться нелегко, но интересно".

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Стопроцентную гарантию дает алгоритм решения квадратных уравнений, выработанный математиками, о котором мы поговорим позже. Ребята, как вам работалось в парах? Думаю, что вы всегда будете советоваться с товарищами и оказывать им помощь.





Тема "Теорема Виета"


Цели урока:

Образовательная цель:

  • научить учащихся применять теорему Виета при нахождении корней квадратного уравнения.

Развивающие цель:

  • содействовать развитию познавательного интереса, творческих способностей, волевых качеств, памяти,

  • обобщать и систематизировать полученные знания.

Воспитательная цель:

  • воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении корней квадратного уравнения.

Оборудование:

компьютер,

  • карточки для индивидуальных и групповых работ,

  • чертежные инструменты,

  • мультимедийный проектор.

Тип урока: Урок объяснения нового материала.

Ход урока

1. Организационный этап.

  • приветствие;

  • проверка готовности учащихся к уроку;

  • организация внимания учащихся.

2. Этап проверки домашнего задания.

  • выявление факта выполнения домашнего задания;

  • выявление причин невыполнения задания.

Проверяем домашнюю работу следующим образом:

Замените целые корни уравнений 1) 5х2-18х+16=0, 2)8х2+х-75==0, 3) 4х2+7х+3=0, 4) х2-х-56+0, 5) х2-х-1=0 на соответствующие буквы и отгадайте фамилию ученого, французского математика.

(Виет).

[pic]

Историческая справка. “Франсуа Виет - французский математик”. (Можно вывести на экран с помощью проектора.)

3. Этап актуализации знаний.

-Что значит решить уравнение?

-Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

-Заметили ли вы зависимость между корнями квадратного уравнения?

4. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

  • постановка целей и задач изучения нового материала;

  • мотивация учащихся к его усвоению;

  • постановки перед учащимися учебной проблемы.

- Мы с вами на уроке постараемся ответить на вопрос о зависимости между корнями квадратного уравнения и решении квадратного уравнения другими способами.

5. Этап формирования новых знаний.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида [pic] в котором старший коэффициент [pic] равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

[pic]

Если уравнение записать в виде [pic] , то формула будет ещё проще:

Мнемонические правила

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.

Ну, а под корнем, приятель,
сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное [link] q.

  • (другой вариант):

p, со знаком взяв обратным,
на два мы его разделим,
и от корня аккуратно
знаком «минус-плюс» отделим.

А под корнем очень кстати
половина p в квадрате
минус q — и вот решенья,
то есть корни уравненья.

Решите уравнение х2+5х+6=0. Найдите сумму и произведение корней уравнения.

Решение: D=25-24=1, х1=-2, х2=-3.

х1+х2=-5, х1х2=6.

- Какое квадратное уравнение вы решили? (Приведенное.)

- Какую зависимость между корнями и коэффициентами вы заметили?

- Да, действительно, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену. Вы сами сделали открытие! Вот в этом и заключается теорема Виета. Сформулируйте эту теорему.

Теорема. (Ребята формулируют самостоятельно.)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.

  1. Докажем теорему Виета для приведенных уравнений:



[pic]



[pic]

Выводы: (Повторяем еще раз формулировку теоремы.)

2) Докажем теорему Виета для квадратных уравнений общего вида ax2+bx+c=0. Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид: x2+ [pic] х+ с=0 .

По теореме Виета: х1+х2=- [pic] , х1х2= [pic] .

3) Справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируйте эту теорему.

Теорема.

Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+bх+с=0.

(Доказательство разобрать дома.)

6. Этап формирования умений и навыков.

1.(Устно). Выберите среди данных уравнений приведенные:

a) 2х2+3х-1=0,
б) х2-х-6=0,
в) 3х2+5=0,
г) х2+7х+6=0.

2. (Устно). Чему равна сумма и произведение корней уравнений:

a) х2+7х+6=0,
б) х2-8х+12=0,
в) х2-х-6=0.

3. (Письменно). Определите корни квадратного уравнения методом подбора:

(Самопроверка проводится с помощью вынесения решений на экран.)

4) Зная, что х1 и х2- корни квадратного уравнения, применяя теорему Виета, составьте квадратные уравнения:

а) х1=4, х2=-3,
б) х1=5, х2=2.

(х2-х-12-0) (х2-7х+10=0)

(Самопроверка проводится с помощью вынесения решений на экран.)

7. Этап первичной проверки.

1) Учащиеся выполняют самостоятельно по группам. Класс разбит на 4 группы. Каждая группа решает задания своего варианта по карточкам. Дана инструкция с алгоритмом решения.





Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Залогом успеха является,

в первую очередь,

хорошая подготовка.

Генри Форд

Учитель математики: Краснова В.В.

Тип урока: урок-практикум по решению текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений с использованием элементов мультимедиа.

Приемы активизации познавательной деятельности: создание комфортных условий для успешной учебной деятельности; сочетание фронтальной и индивидуальной форм самостоятельной работы учащихся; использование компьютерных технологий.

Цели урока:

образовательная: опираясь на предыдущий опыт учащихся по решению текстовых задач на математическое моделирование, закрепить умение решать квадратные и дробные рациональные уравнения и определять, соответствуют ли найденные корни условию задачи;

развивающая: способствовать развитию внимания, логического мышления, умений анализировать, сравнивать и делать выводы.;

воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение

Оборудование урока:

  1. Компьютер с проектором.

  2. СД «Уроки алгебры Кирилла и Мефодия», 7-8 классы.

  3. Презентация к уроку.

  4. Учебное пособие "Алгебра 8", под редакцией Ш.А. Алимова.

  5. Тетрадь для самостоятельной работы на печатной основе.

План урока:

  1. Постановка цели и задач урока.

  2. Тестирование по теме: «Квадратные уравнения».

  3. Решение устных упражнений.

  4. Решение текстовых задач способом математического моделирования.

  5. Самостоятельная работа в тетрадях на печатной основе.

  6. Подведение итогов урока, выставление оценок, задание на дом.

Ход урока:

  1. Эпиграфом нашего урока являются слова Генри Форда « Залогом успеха является, в первую очередь, хорошая подготовка»; они имеют отношение не только к предпринимательской деятельности, но и к учебной, в том числе и к изучению математики. Для того чтобы успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений, сводящихся к квадратным, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых квадратных уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы.

Тест «Продолжить фразу»

  1. Квадратным уравнением называется уравнение вида …

  2. Корни квадратного уравнения находятся по формуле …

  3. Количество корней квадратного уравнения зависит от …

  4. Приведённым квадратным уравнением называется уравнение вида …

  5. Корни приведённого квадратного уравнения находятся по формуле …

  6. Если x1 и x2 корни приведённого квадратного уравнения, то справедливы равенства …

3. Решение устных упражнений.

1.Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами? (х/60 - х/90 = 3/2)

2.Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано? (х/12 – х/18 = 3)

3.Знаменатель дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить на 15, а знаменатель – на 3, то получится число . Найдите дробь. (30/32)

  1. Решение текстовых задач с помощью уравнений.


Рассмотреть решение задачи 1 из мультимедийного урока 08 « Дробные рациональные уравнения»,СД «Уроки алгебры Кирилла и Мефодия», 7-8 классы.

Задача 1

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?


Время,

ч

Путь,

км

Автобус

Х

60/Х

60

Такси

Х+10

60/(Х+10)

60

Уравнение;

(В тетрадях сделать подробную запись решения.)

720(х+10) – 720х= х (х+10)

Ответ; 80км/ч

Вопросы по решению;

  1. Что означает дробь 1/12?

  2. Сравните дроби 60/х и 60/(х+10)

  3. Являются ли корни полученного уравнения решениями задачи?

Задача 2

Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке?


Тоннаж машин

(т)

Число

Машин

(шт)

Общий груз

(т)

Заказано



х

80

На самом

деле



80


х+4 х-4 4-х х : 4 Ответ 20 машин


Решение задачи обсуждается коллективно. Заполняется таблица, составляется уравнение, которое учащиеся решают самостоятельно в тетрадях. Решение уравнения проецируется на экран с целью самопроверки учащимися.




5.Самостоятельная работа в тетрадях на печатной основе.

Проверочная работа №11, задание 4

Вариант 1 (стр. 48)

Ученик решил прочитать книгу, содержащую 480 страниц, за несколько дней. Но каждый день он читал на 20 страниц больше, чем предполагал, и поэтому прочитал книгу на 4 дня раньше. За сколько дней была прочитана книга? (480/(х-4) – 480/х = 20; х = 12)

Вариант 2 (стр. 50)

Теплоход прошёл 18 км по озеру и 40 км по течению реки за 2 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

(18/х + 40/(х+3) = 2, х = 27)

Вариант 3.(на карточках)


Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами? (270км.)

Решение задач 1 и 2 вариантов проверить с записью на доске после того, как учащиеся сдадут работы.

  1. Подведение итогов урока, выставление оценок.

Домашнее задание: №)487, № 551(2, 4




Список

учащихся

Тест

Устная

работа

Самостоятельная

работа

Итог












Тема:Алгебраические уравнения»


Тип урока: урок введения нового материала

Основные понятия. Определение алгебраического уравнения, алгоритм решения алгебраического уравнения.

Самостоятельная деятельность учащихся. Решение задач по теме «Алгебраические уравнения».

Использование новых информационных технологий. В качестве дополнительного иллюстративного материала показ на компьютере модели курса «Алгебраические уравнения»).

Ход урока

  1. алгоритм приведения дробей к общему знаменателю;

  2. правило сложения и вычитания алгебраических дробей;

  3. применение алгоритма сложения и вычитания алгебраических дробей на конкретных примерах.

Мы рекомендуем рассмотреть решение примеров, данных и разобрать их с учащимися.

Выполните действие:

  1. [pic]

  2. [pic]

  3. [pic]

  4. [pic]

Алгоритм решения рационального уравнения

  1. Перенести все члены уравнения в одну часть.

  2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби [pic]

  3. Решить уравнение p (x) = 0.

  4. Для каждого корня уравнения p (x) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию [pic] или нет. Если да, то это – корень заданного уравнения; если нет, то это – посторонний корень, и в ответ его включать не следует.

Решить уравнение [pic]

Решение.

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

  1. Преобразуем уравнение к виду [pic]

  2. Выполним преобразование левой части этого уравнения (приведение алгебраической дроби к общему знаменателю известно учащимся). После тождественных преобразований данное уравнение принимает вид [pic]

  3. Решим уравнение x2 – 6x + 8 = 0. Находим: x1 = 4; x2 = 2.

  4. Для найденных значений проверим выполнения условия 2x(x – 2) ≠ 0.

Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 – нет. Значит, 4 – корень заданного уравнения, а 2 – посторонний корень.

Ответ: 4.

Далее приведём подборку примеров для отработки алгоритма решения рационального уравнения.

Решите уравнение

  1. [pic]

  2. [pic]

  3. [pic]

  4. [pic]

  5. При каких значениях a значения дробей [pic] и [pic] равны?

  6. Существуют ли такие значения переменной, при которых сумма дробей [pic] и [pic] равна 1?

  7. При каких значениях переменной разность дробей [pic] и [pic] равна их произведению?

Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:

  1. x4 – 17x2 + 16 = 0;

  2. 9x4 – 40x2 + 16 = 0;

  3. 10x6 – 7x3 – 8 = 0;

  4. (3x – 4)2 – 5(3x – 4) + 6 = 0;

  5. 2(7x – 6)2 + 3(7x – 6) + 1 = 0;

  6. (x2 + 2x)2 – 2(x2 + 2x) – 3 = 0;

  7. 2(x2 + 2x + 1)2 – (x + 1)2  = 1;

  8. * (x2 – 3x + 1)(x2 – 3x + 3) = 3;

  9. * [pic]

  10. (x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 1;

  11. * [pic]

  12. * x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 15;

  13. * (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3;

  14. * [pic]

Ответы на вопросы

  1. Какое уравнение называется рациональным?

  2. Сформулируйте алгоритм решения рационального уравнения.

Домашнее задание





Тема: Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений

Основная цель: формирование знаний и умений учащихся в решении задач на водное движение, если известны: расстояние, пройденное объектом по и против течения, собственную скорость объекта и время движения, на движение по местности и совместную работу.


Ход урока

Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп:

  • Задачи на движение по местности.

  • Задачи на движение по воде.

  • Задачи на работу.

  • Задачи на нахождение дробей и т.д.

Приведем пример оформления задачи:

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 120км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 10 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Пусть [pic] км/ч - скорость автобуса, тогда составим и заполним таблицу:

Т.к. по условию задачи пассажир опоздал на автобус на 10 минут = [pic] часа, то составим и решим уравнение:

[pic] , ОДЗ: [pic] >0 (т.к. скорость положительна)

720(х+10) - 720х= х (х+10),

х2+10х-7200=0,

Далее решая квадратное уравнение, получаем:

х1=80,

х2=-90,

-90 - не входит в ОДЗ, значит, скорость автобуса равна 80 км/ч.

Ответ: 80км/ч.

Основная часть класса уверенно заполняет таблицу и составляет уравнение.

Список предлагаемых задач:

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на [pic] . Найдите эту дробь.

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?

Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

Моторная лодка прошла против течения 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?

На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 час раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик?

Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч?

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 часа пути вынужден был сделать остановку на 10 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.



Решение задач с помощью дробно - рациональных уравнений на совместную работу

Алгоритм: Если в условии задачи известны:

  1. Время выполнения работы двумя объектами (t).

  2. Время, за которое один объект выполняет работу быстрее другого (t1);

то время, за которое выполнит эту работу каждый объект в отдельности, находится из уравнения [pic]

Для составления уравнения удобно пользоваться  следующей таблицей:

1 объект

2 объект

Общая

Производительность

 

 

 

Задача: Две автомашины, работая вместе, перевезли груз за 6 дней. Сколько дней понадобилось каждой машине в отдельности на перевозку всего груза, если известно, что одна из них могла бы перевезти весь груз на 5 дней быстрее, чем вторая? [1]

Решение: анализируем содержание задачи и определяем, что оно соответствует необходимым условиям. Составляем таблицу:

1 объект

2 объект

Общая производительность

Производительность

[pic]

[pic]

[pic]

Составляем уравнение и решаем его:по теореме Виета имеем корни. Ответ ч.

Упражнения

  1. Две бригады рабочих могут выполнить работу за 3 дня. За сколько дней сможет выполнить эту работу каждая бригада в отдельности, если одна из них выполняет её на 8 дней быстрее? (Ответ: 4 и 12 дней).

  2. Две бригады учащихся, работая вместе, посадили школьный сад за 2 дня. Сколько дней понадобилось бы каждой бригаде в отдельности на посадку сада, если известно, что одна из них могла бы закончить работу на 3 дня быстрее, чем вторая?

  3. Первый тракторист вспахивает поле на 2 ч быстрее второго, а вместе они вспахивают то же поле за 15/8 ч. За сколько часов вспашет поле второй тракторист?



Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Задачи на водное движение.

 
Алгоритм
     Пусть объект движется в водной среде и при этом известны:

  1. Расстояние, пройденное по течению (S1) и против течения (S2).

  2. Собственная скорость объекта (V).  

  3. Время, движения  t

      Тогда скорость течения находится с помощью уравнения: [pic] , где (V + x) - скорость по течению реки и (V - x) - скорость против течения реки. Для составления уравнения удобно пользоваться  следующей таблицей:

Расстояние (по течению)

Скорость по течению

Расстояние (против течения)

Скорость против течения

Время движения

Задача: Моторная лодка прошла по течению реки 14 км, а затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 5 км/ч.

Решение: анализируем содержание задачи и и определяем, что оно соответствует необходимым условиям. Составляем таблицу

Расстояние (по течению)

Скорость по течению

Расстояние (против течения)

Скорость против течения

Время движения

14

5 + х

9

5 - х

5

Составляем уравнение и решаем его: [pic]

[pic]

Ответ: 2 км/ч.

Подведение нтогов. Д\З

Упражнения:

  1. Теплоход прошёл по течению 96 км и столько же против течения, затратив на весь путь 10 ч . Скорость течения реки равна 4 км/ч. Определите скорость теплохода в стоячей воде.

  2. Моторная лодка прошла по течению реки 56 км, а затем 56 км против течения. На весь путь ушло 9,5 ч, из которых 2,5 ч затрачено на остановки. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

  3. Катер прошёл 5 км против течения и 14 км по течению за то же время, которое ему понадобилось для прохождения 18 км по озеру. Найдите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.





 Квадратные уравнения, способы их

решения. Итоговый урок.


Тип урока: Урок систематизации знаний.

Углубленное изучение свойств квадратных уравнений”.

Цель урока: Обобщение знаний учащихся, умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида разными способами.

Оборудование к уроку:

  1. Компьютер, мультимедийный проектор.

  2. Презентация в Power Point.

  3. Тест “Квадратные уравнения. Теорема Виета”.

  4. Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Актуализация знаний учащихся. Слайд 3.

[pic]

II. Повторение пройденного материала.

  1. Решить уравнение 7х2-9х+2=0. Слайд 4.

[pic]

а) Класс решает самостоятельно, 1 ученик с обратной стороны доски.

б) Для сильных учеников карточки:

Вариант 1. х2-43х+12=0

Вариант 2. (3х-1)(3х+2)-2х(1+4х)=-2

2. Устно (Задание на определение вида уравнения).

Ребята, здесь вы видите уравнения определенные по какому-то признаку.

Как вы думаете, какое из уравнений каждой группы является лишним. Слайд 5.

А.

  1. 2х2-х=0

Б.

  1. х2-5х+1=0


  1. х2-16=0


  1. 9х2-6х+1=0


  1. 4х2+х-3=0


  1. х2+2х-2=0


  1. 2х2=0


  1. х2-3х-1=0

А. 3)- лишнее, т.к. это полное квадратное уравнение, а 1), 2), 4) – неполные квадратные уравнения.

Б. 2) – лишнее, т.к. это уравнение общего вида, а 1), 3), 4) – приведенные квадратные уравнения

Вопрос: Вспомнить определение:

  • неполного квадратного уравнения;

  • приведенного квадратного уравнения.

Вопрос: Как можно решить приведенное квадратное уравнение?

Ответ: По формуле корней или по теореме Виета.

Вопрос: Сформулировать теорему Виета. Слайд 6.

[pic]

Вопрос: Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ax2+bx+c=0?

Ответ: Заменить это уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением.

  1. Дано уравнение x2-6x+5=0 Слайд 7.

[pic]

Вопрос: Не решая уравнения, найти:

1) сумму корней; 6

2) произведение корней; 5

3) корни данного уравнения; 1; 5

Класс выполняет задание в тетрадях самостоятельно с последующей проверкой (объяснить, как подбираются корни).

  1. Найти сумму и произведение корней следующих уравнений. Слай [pic]



Ребята записывают в тетрадях только ответы (затем проверяем ответы с места)

III. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

Вопрос: Ребята, вспомните способы решения квадратных уравнений.

[pic]



1) выделение квадрата двучлена;

2) по формулам корней;

3) с помощью теоремы Виета.

Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решения, который позволит устно находить корни квадратных уравнений.

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов.

Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома.

Проверка домашнего задания – заполним следующую таблицу. Слайд 10.

Уравнение

Корни

a+b+c

x2+x-2=0

x1=-2 x2=1

1+1-2=0

x2-3x+2=0

x1=1 x2=2

1-3+2=0

5x2-8x+3=0

x1= [pic] x2=1

5-8+3=0

3x2-x-2=0

x1=- [pic] x2=1

3-1-2=0





Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратных уравнений.

Ребята, посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти закономерность (у каждого на парте лист с памяткой).

  • в корнях этих уравнений;

  • в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;

  • в сумме коэффициентов.

Ученики отвечают, что они увидели:

  • один из корней равен 1;

  • второй равен q или [pic] ;

  • сумма коэффициентов равна 0.

Сформулируйте правило. Слайд 11.

[pic]

Учащимся предлагается решить уже известные уравнения с помощью этого правила. Слайд 12.

[pic]

IV. Тест. Слайд 13.

[pic]

V. Итог урока.

VI. Домашнее задание. Слайд 14.


1. № 932.
2. № 1001(а,б,д)- не решая уравнений, найти их корни.
3. Придумать три уравнения, у которых а+b+с=0.
Читать полностью »