Элективный курс На перекрестке элементарной и высшей алгебры

Специальный курс по математике
«На перекрестке высшей и элементарной алгебры»

(для 10-11х классов)

Цели и задачи курса.

Знания, умения, компетенции.

Основной утилитарной целью изучения курса «На перекрестке высшей и элементарной алгебры» является:

1. Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.

В то же время курс направлен на достижение следующих целей:

2. Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.

3. Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.

4. Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.

5. Получение представления об универсальном характере математических методов, о тесной взаимосвязи элементарной алгебры с высшей математикой: арифметикой, высшей алгеброй, математическим анализом; о единстве математики в целом.

6. Развитие внутренней мотивации и интрапсихического фактора поисковой активности в предметной деятельности, формирование устойчивого и осознанного интереса к ней.

При изучении данного курса перед учащимися ставятся конкретные задачи:

− получение знаний об основных логических и содержатель­ных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, совокупностей с рациональными, иррациональ­ными функциями/выражениями; овладение навыками со­ответствующих алгебраических преобразований выраже­ний и логических преобразований алгебраических задач;

− овладение логическими, аналитическими, графическими методами решения алгебраических задач с изучаемыми классами выражений и функций;

— освоение методов решения и исследования вычислитель­ных и логических задач с параметрами;

— получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики (арифметики, высшей алгебры, математического анализа) с элементарной алгеброй на основе использования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.

Образовательные результаты

(планируемые результаты обучения)

Предметные знания.

Алгебраические задачи: уравнения, нера­венства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена.

Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано—Тарталья.

Алгебраические задачи: уравнения, нера­венства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными — координатная интерпретация. Метод областей.

Уравнения и системы с несколькими переменными. Основ­ные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограни­ченности, оценок и монотонности. Системы с тремя перемен­ными — основные методы.

Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный.

История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).

Предметные умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:

• умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);

• умение использовать основные методы при решении алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены, разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симмет­рии, однородности, оценок, монотонности;

• умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.

Общеинтеллектуальные умения:

• умение анализировать различные задачи и ситуации, выделять главное, достоверное в той или иной информации;

• владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;

• умение конструктивно подходить к предлагаемым задачам;

• умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.

Общекультурные компетенции:

• понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;

• понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;

• восприятие математики как развивающейся фундамен­тальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во вза­имосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.

Программа курса

Содержание курса

Тема 1. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

Представление о целых рациональных алгебраических выражения. Многочлены над полями R,Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольцо многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано. Графический анализ кубического уравнения х³+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Схема разложения Феррари. Метод неопределенных коэффициентов Декарта.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 2. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

Логика алгебраических задач: элементарные алгебраические задачи как предложение с переменными, следование и равносильность, системы и совокупности задач.

Представление о рациональных алгебраических выражениях.

Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

Тема 3. Алгебраические уравнения и неравенства с параметром.

Что такое задача с параметром. Основные типы задач с параметром.

Линейные, квадратные уравнения и неравенства с параметром. Теорема Виета в задачах с параметром.

Уравнения и неравенства высокого порядка с параметрами.

Тема 4. Рациональные алгебраические системы.

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными.

Замена переменных в системах уравнений.

Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметричных многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Система Виета и симметрические системы с двумя переменными.

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виеты с тремя переменными.

Линейные системы с параметрами.

Решение нелинейных систем с параметрами аналитическими методами.

Решение нелинейных систем с параметрами графическими методами.

Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи.

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие алгебраических и арифметических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

Освобождение от кубических радикалов.

Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные проблемы.

Смешанные системы с двумя переменными.

Иррациональные уравнения и неравенства с параметром.

Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр.

Системы с параметром.

Календарно-тематическое планирование

(68 часа, 2 раз в неделю)

1.1.2. Корни многочленов и полиномиальных уравнений.

1.1.3. Деление многочлена на двучлен. Теорема Безу.

1.1.4. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини-Горнера.

1.1.5. Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена.

1.1.6. Формулы сокращенного умножения. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

§1.2. Уравнения низших степеней

4

1.2.1. Линейная замена переменной в квадратном трехчлене.

1.2.2. Линейная замена переменной в многочленах.

1.2.3. Метод Руффини-Горнера и треугольник Паскаля.

1.2.4. Решение кубических уравнений.

1.2.5. Уравнение степени 4: схема Феррари.

§1.3. Уравнения разных степеней. Методы упрощения.

4

1.3.1. Простейшие полиномиальные уравнения.

1.3.2. Линейные замены, основанные на симметрии.

1.3.3. Метод разложения. Поиск рациональных корней.

1.3.4. Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений.

1.3.5. Применение теоремы о рациональных корнях к числовым задачам.

1.3.6. Разложение методом неопределенных коэффициентов.

Тема 2. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

6

§2.1. Рациональные алгебраические уравнения.

2

2.1.1. Рациональные алгебраические выражения и задачи.

2.1.2. Метод замены.

2.1.3. Симметрические и кососимметрические уравнения.

§2.2. Рациональные алгебраические неравенства

4

2.2.1. Простейшие рациональные неравенства.

2.2.2. Методы решения рациональных алгебраических неравенств.

2.2.3. Сведение к системам неравенств.

2.2.4. Метод интервалов.

2.2.5. Метод замены.

2.2.6. Неравенства с двумя переменными.

2.2.7. Метод областей.

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства
с параметрами.

13

§3.1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

5

3.1.1 Что такое задача с параметром.

3.1.2. Линейные уравнения с параметром.

3.1.3. Линейные неравенства с параметром.

§3.2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

6

3.3.1. Квадратные уравнения с параметром.

3.3.2. Квадратные неравенства с параметром.

3.3.3 Теорема Виета и квадратный трехчлен.

3.3.3. Расположение корней квадратного трехчлена.

§3.3. Уравнения 3й и 4й степени с параметрами

2

Тема 4. Рациональные алгебраические системы

21

§4.1. Уравнения с несколькими переменными

2

4.1.1. Рациональные уравнения с двумя переменными.

4.1.2. Однородные уравнения с двумя переменными.

§4.2. Решение систем. Метод подстановки. Однородные системы.

4

4.2.1. Общий метод постановки.

4.2.2. Линейные подстановки.

4.2.3. Однородные системы.

4.2.4. Исключение переменных. Равносильные линейные преобразования.

§4.3. Решение систем: метод замены. Симметрические системы.

4

4.3.1. Метод замены.

4.3.2. Системы Виета.

4.3.3. Общие симметрические системы.

§4.4. Решение систем: метод разложения. Частные методы и приемы.

4

4.4.1. Решение систем методом разложения.

4.4.2. Метод оценок.

4.4.3. Метод итераций.

4.4.4. Сведение уравнений к системам.

4.4.5. Оценка значений переменных.

§4.5. Системы с тремя переменными.

3

4.5.1. Метод подстановки.

4.5.2. Метод замены.

4.5.3. Использование однородности.

4.5.4. Система Виета с тремя переменными.

4.5.5. Симметрические системы.

4.5.6. Метод разложения.

§4.6. Системы с параметрами.

4

4.5.1. Линейные системы с параметрами.

4.5.2. Решение нелинейных систем с параметрами аналитическими методами.

4.5.3. Решение нелинейных систем с параметрами графическими методами.

Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи.

16

§5.1. Уравнения с радикалами.

4

5.1.1. Иррациональные алгебраические выражения.

5.1.2. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.

5.1.3. Неэквивалентные преобразования с проверкой.

5.1.4. Метод эквивалентных преобразований.

5.1.5. Сведение уравнений к системам.

5.1.6. Освобождение от кубических радикалов.

5.1.7. Использование монотонности.

5.1.8 Использование однородности.

§5.2. Неравенства с радикалами.

4

5.2.1. Сложности неравенств с радикалами.

5.2.2. Эквивалентные преобразование неравенств.

5.2.3. «Дробно-рациональные» неравенства.

5.2.4. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

5.2.5. Замена при решении иррациональных неравенств.

5.2.6. Использование монотонности при решении иррациональных неравенств.

5.2.7 Смешанные системы с двумя переменными.

§5.3. Уравнения и неравенства с модулями.

3

5.3.1. Уравнения с модулями.

5.3.2. Неравенства с модулями.

5.3.3. Комбинированные задачи с модулями

§5.4. Иррациональные алгебраические задачи с параметрами.

5

5.4.1. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром.

5.4.2. Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр.

5.4.3. Системы с параметром.

Литература.

1. Земляков, А.Н. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.– М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.-319с. ил.

2. Земляков, А.Н. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.– М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 118с.: ил.

3. Земляков, А.Н. Введение в алгебру и анализ: культурно-исторический дискурс. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-320 с. ил.

4. Земляков, А.Н. Введение в алгебру и анализ: культурно-исторический дискурс. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.–127 с. ил.

5. Высоцкий, В.С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.: 262 ил.

6. Козко, А.И., Панферов, В.С., Сергеев, И.Н., Чирский, В.Г. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.– М.: МЦНМО, 2013.– 180 с.: ил.

7. Субханкулова, С.А. Задачи с параметрами – М.: ИЛЕКСА, 2010.– 208 с.: ил.– (Математика: элективный курс).